数学分析第12章数项级数

1、 / 19第十二章数项级数目的与要求：1。使学生掌握数项级数收敛性的定狡和收敛级数的性质，掌握等比级 数与调和级数的敛散性；2.掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比 式判别法，根式判别法和积分判别法.重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定爻，基本性质和判别正项级数敛散性 的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.第一节 级数的收敛性一级数的概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数,“2,心相加，其结果仍是一个实数，在 本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征。如11 1 1- + + + - + + 22222n从直观上可知，其和为1.又如，l + (-

2、l) + l + (-l) + .其和无意义；若将其改写为：(1-1) + (1-1) + (1-1) +则其和为：0;若写为：1 + (1) + 1 + (1) + 1 +则和为：1.（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；如呆存在，和等于什么。级数的概念定狡1给定一个数列ull,将它的各项依次用加号“ + ”连接起来的表达式Wl +w2 +M3 + + Wzr + 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中心称为级数（1）的通项级数（1）简记为：力“，或工X。-!级数的部分和Sll =ZHk =IIl +U2 + + Hn称之为级数工的第个部分和，简称部分和/!-1级数的收敛性

3、定狡2 若数项级数的部分和数列S,r收敛于S （即肿卢” =S）,则称数项级数-lth收敛，称S为数项级数的和，记作-lr-lS = UiI =Ml +M2 +w3 + + Un + n-1若部分和数列S发散，则称数项级数发散. -i例1试讨论等比级数（几何级数）Y aqZ = a + aq + aq2 + + ，(a 0)n-l的收敛性.解：见P2.例2 讨论级数1+Z(Z + 1)1 1+1F1-22-33-4 的收敛性.解：见P2。二收敛级数的性质级数与数列的联系由于级数 IlII的敛散性是由它的部分和数列S”来确定的，因而也可以认为数项级-!数是数列s“的另一表现形式。反之，对于任意的

4、数列仏,总可视其为数项级数-lXTJIln =aI +（。2 -5）+（。3 -心 +“一勺J +n-1的部分和数列，此吋数列仏与级数 +（“2-5）+ （3-2）+ +（。-1）+有相同的 敛散性，因此，有级数收敛的准则定理1 （级数收敛的Ca UCh y准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数g ,总存在正整数N,使得当In N以及对任意的正整数卩，都有Um 1 Itnl 2 * Ilm p 0,对任何正整数N,总存在正整数WO （ TV）, P0,有ItnlO+l + Un2 + + 勺 o级数收敛的必要条件推论（必要条件）若级数（1）收敛，则Iim u =Oonx注：此条件只是必要的

5、,并非充分的，如下面的例3。例3 讨论调和级数lil-23的敛散性.解：显然，有Iim Un =Iirn 丄=0,但当令 *nP = In时，有IWnJ1 w,n+2 +t+3 + + “2,”| =1 1 1+In +1 m + 2 In + 3 2m、1 Il11 + + + + =- 2n 2m 2m2n 2因此，取（）=丄，对任何正整数N,只要7 N和P = Ill就有2%+%+2 + + %故调和级数发散。例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数Y丄收敛.证明：由于IIm 1 + Ilm +2 + + +p1 1 1=7 +T + +T(In +1)(？ + 2)-(m + Py1 1+

6、1 1 1 1- + - += 0,取N =丄,使当加 N及对任何正整数p,都有1Um 1 + Um +2 + + % ” N都有Itn 叫，证明：由定义及定理5即可得X 1例1考第施解：由于当n2时,有nn -1)1X 1 X 1因正项级数技孑叫故若E城比较判别法的极限形式推论(比较判别法的极限形式)设工“和是两个正项级数，若 -in-1Iinl = I9n V则(1 )当0 /V0 ,有 Nt),有 1 ,则级数工知发散.证明：(1)不妨设对一切，有仏g成立，于是，有 -qt 1(可为+ )时，级数工冷发散；当 = 1时，级数“可能收敛，也可能发散如：Y-, yoH Ir 证明：由比式判别

7、法和极限定SC即可得。例4讨论级数2 25 25825 8 2 + 3( 一1)111-P1 15 159159 -1 + 4(h-1)的收敛性.例5 讨论级数 XnX,x 0)的收敛性.3根式判别法定理8 (柯西判别法，或称根式判别法) 设工血为正项级数，且存在某个正整数Nu及 正常数/,(1)若对B2N(),有诉7 NO ,有师1,则级数工叫发散。证明：由比较判别法即可得.根式判别法的极限形式推论(根式判别法的极限形式)设”为正项级数，且则(1)当vl时，级数工X收敛;(2)当/1 (可为+ )时，级数Xx发散;当0 = 1时，级数工“”可能收敛，也可能发散。如：一例6讨论级数工弓工的敛散

8、性.解：由上推论即得 说明：因 Iim匕竺=gn Iim诉；=q 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数， 也能用根式判别法来判斷，即根式判别法较之比式判别法更有效.但反之不能，如例6.三 积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判斷正项级数的敛散性。定理9设/(x)为1,+S)上非负减函数，则正项级数Xf(n)与反常积分ix(-同 时收敛或同时发散.证明:由假设f(x)为1,+s)上非负减函数，则对任何正数A, f(x)在1, A上可积，从而有f(n) f(x)dx f(n -1) , = 2,3,J“一l依次相加，得OO1 Jx)dx f(n -I)

9、 = X/00-2/-2r-l若反常积分收敛，则对Pm,有Sm = fn) / +f(x)dx 1),有f(x)dx Sz = yjf (H) X/(n) = S O-l又因f() 1,+S)上非负减函数，故对任何Al,有O f(x)dx Sn 0./1 = 12 )(1)的敛散性.作业 P 1 61,2,3, 4,5,6, 7, 8, 9.P -M- 笫二T交错级数1 交错级数的定狡若级数的各项符号正负相间，即l1 -W2 +w3 _“4 + + (_1) J仏 + 则称(1)为交错级数.2交错级数收敛的判别定理11 （莱布尼茨判别法）若交错级数（1）满足下述两个条件:1o数列仏单调递减；2

10、 o Iinl Un = 0nx则级数（1）收敛。证 （证明部分和数列$的两个子列$,”和s2m_收敛于同一极限。）考察交错级数（1 ）的部分和数列szl的偶子列02”和奇子列s2m,is2in- = Ml _ （w2 _ “3）一一（”2,n-2 _ U2m-），S2,”+ （W3-H4）+ （M2,n-l -ItlJ 由条件1 . 上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列s2.1是递减的,而数列S是递增的。又由条件2知道 V Slm_x - Slm = Ulm 0（m S）,从而52i,S2w.1是一个区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数S,使得迥 S2” Ll= 52w1-x=SQ

11、所以数列仅收敛，即交错级数(1 )收敛.推论 若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛的交错级数的余和心的符号与余和的首项相同，并有| 1+1 o例1判别级数g(-l)(x0)的敛散性。 TOC o 1-5 h z XVM解 OVXS 1时，由莱布尼茨判别法知，Y(-l)n-收敛；rnXr,tX 1时，通项(-If 0,所以Y(-l)n 发散n铝U二 绝对收敛级数及其性质1 绝对收敛和条件收敛OCOOOO若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数心为绝对收口】-l/1-1敛.OCOCOO若级数匕收敛，但各项绝对值所组成的级数乞帆不收敛，则称原级数你W-I-l/I-!为条件收敛.以级数（-o

12、H-为例，先说明 收敛 # 绝对收敛。2绝对收敛与收敛的关系定理12绝对收敛的级数一定收敛。证 （用柯西收敛准则）o一般项级数判敛时， 先应判其是否绝对收敛。例2判断级数E各是绝对收敛还是条件收敛.3绝对收敛级数的性质1o 绝对收敛级数可重排性我们把正整数列1, 2,到它自身的映射f : nkn称为正整数列的 重排，相应的对于数列叫按映射F : Un Ukin）所得到的数列仏的称为原数列w 的08重排，相应于此，我们也称级数工）是级数工“的重排.-l-i定理13X设级数工心绝对收敛，且其和等于S,则任意重排后所得到的级数/1-1工你加也绝对收敛亦有相同的和数。/7-12 级数的乘积X则它们的乘

13、积为心工叫 /1-1-I TOC o 1-5 h z XIX设有收敛级数工知=A与收敛级数工 =B9 -l-l按正方形排列顺序有:XX工 工叫=WlVl +wiv2 +w2v2 +m2v! +wiv3 +2V3 +V3+M3V2 + 心人 + -l/1-1按对角线排列顺序有:OCX知 Vn = MlVl +M1V2 +u2 +H1V3 +W2v2 +Z3v +Uv4 +M2V3 + H3IS +M4V +八 -i-l定理14若级数=A与级数=3都绝对收敛，则按任意顺序排列所得 -iW-I TOC o 1-5 h z XX到的级数乘积工5 工乙也绝对收敛，且其和等于A3。-!/!1例3 等比级数

14、J = 1 + r + r2 + + r, + ,Irl 1是绝对收敛的，将 rn 按对角线顺序排列，则得到0,存在正数N,使当nN时，对任一正 /1-1整数/儿都有又由于数列单调有界，所以存在M0,使III M ,应用阿贝尔引理可得到“十“3M =t+l由柯西收敛准则知级数 YJanbn收敛.H-I狄利克雷判别法定理16 （狄利克雷判别法）若数列qr单调递减，且Iim心=0,又级数化的部-!分和数列有界，则级数XanbH收敛.H-I注1 取数列仏单调递减，且Iimcj=O- TOC o 1-5 h z Xbn =(-1)h+,由狄利克雷判别 r-i-l法， 得交错级数（-1）h+,6收敛. 可见莱布尼茨判别法是狄利克雷判别法的特例. W-I2o 由狄利克雷判别法可导出阿贝尔判别法.事实上由数列%单调有界,可知“收敛，设 Ci （n CO）O考虑级数工（冷一）乞+abn , an - a单调趋 W-IH-IXXqX，于零,因化收敛,从而化的部分和有界,故级数Ya-咙r收敛，又级数CJbn-