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文档简介

1、第五章 贝赛尔函数在第二章，我们用分离变量法求解了一些定解问题在2.3，我们将方程化为极坐标系下的方程，经过分离变量后，就会出现变系数的线性常微分方程。由于我们当时考虑的是圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以，得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章我们将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝赛尔方程，接着我们来讨论它的解的一些性质。下面将会看到：在一般情况下，贝赛尔方程的解不能用初等函数表出，这就导入一类特殊函数，称为贝赛尔函数。贝赛尔函数具有一系列性质。在求解数学物理方程时主要用的是它的正交完备性。5.1 贝赛尔方程的引出(5. 1)

2、(5. 2)(5. 3)下面来求这个定解问题的解。用分离变量法。则代入方程(5.1)得令由此得(5. 4)(5. 5)(5. 4)解得(5. 5)(5.5)称为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。为了求出方程(5.5)满足条件(5.6)的解,我们将方程(5.5)化为极坐标系下的方程。条件(5.3),即(5. 6)(5. 7)(5. 8)用分离变量法则即(5.9)(5.10)是单值函数在极坐标下，与表示同一点也是单值函数应有即对应于有以代入(5.10),得(5.11)(5.11)则有这是阶贝赛尔方程的标准型。方程(5.11)变为它的解称为贝赛尔函数。这个方程是变系数的二阶线性常微分方程,在描述柱形域（或圆形域）中发生的各种物理现象时，贝赛尔函数起着重要的作用，因此，也称之为柱函数.说明(5.8)(5.12)所以，原定解问题归

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