2015年中考数学试题版含解析

1、2015 年山东省莱芜市中考数学试卷参考与试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分）1（3 分）（2015莱芜）3 的相反数是（）A 3 B 3 CD 考点：专题：分析：解答：相反数 常规题型根据相反数的概念解答即可解：3 的相反数是 3，故选：A点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 02（3 分）（2015莱芜）将数字 2.03103 化为小数是（A 0.203 B 0.0203 C 0.00203 D 0.000203）考点： 科学记数法原数分析： 绝对值小于 1 的正数也可以利

2、用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定解答： 解：2.03103 化为小数是 0.00203故选 C点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3（3 分）（2015莱芜）下列运算正确的是（）A （a2）a3=a6 B a6a 3=a2 C a2+a3=a5 D （a3）2=a6考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方分析： 根据同底数幂的除法，底数不变指数相

3、减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解解答： 解：A、（a2）a3=a5，故错误；B、a6a 3=a3，故错误； C、a2a3=a5，故错误； D、正确；故选：D点评： 本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易，一定要记准法则才能做题4（3 分）（2015莱芜）要使二次根式有意义，则 x 的取值范围是（）A xB xC xD x考点：分析：解答：二次根式有意义的条件二次根式的被开方数是非负数解：依题意得 32x0，解得 x 故选：B点评： 本题考查了二次根式的意义和性质概念：式子开方数必须是非负数，否则二次根式无意义（a0）

4、叫二次根式性质：二次根式中的被5（3 分）（2015莱芜）如图，ABCD，EF 平分AEG，若FGE=40，那么EFG 的度数为（）A 35 B 40 C 70 D 140考点： 平行线的性质分析： 先根据两直线平行同旁内角互补，求出AEG 的度数，然后根据角平分线的定义求出AEF 的度数，然后根据两直线平行内错角相等，即可求出EFG 的度数解答： 解：ABCD，FGE=40，AEG+FGE=180，AEG=140，EF 平分AEG，AEF= AEG=70，ABCD，EFG=AEF=70故选 C点评： 此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线

5、平行同旁内角互补6（3 分）（2015莱芜）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）ABCD考点：分析：解答：中心对称图形；轴对称图形根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；解B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确故选 D点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合7（3 分）（2015莱

6、芜）为了解当地气温变化情况，某研究小组了寒假期间连续 6 天的最高气温，结果如下（：）：6，3，x，2，1，3若这组数据的中位数是1，则下列结论错误的是（A 方差是 8 B 极差是 9 C 众数是1 D 平均数是1）考点： 方差；算术平均数；中位数；众数；极差分析： 分别计算该组数据的平均数，众数，极差及方差后找到正确的解答： 解：根据题意可知 x=1，平均数=（6311+2+3）6=1，数据1 出现两次最多，众数为1，极差=3（6）=9，即可方差= （6+1）2+（3+1）2+（1+1）2+（2+1）2+（1+1）2+（3+1）2=9故选 A点评： 此题考查了方差、极差、平均数、中位数及众数

7、的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键8（3 分）（2015莱芜）下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）ABCD考点：分析：解答：简单几何体的三视图分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断解：A、主视图和左视图都为圆，所以A 选项错误；B、主视图和左视图都为矩形的，所以 B 选项正确；C、主视图和左视图都为等腰三角形，所以 C 选项错误；D、主视图为矩形，左视图为圆，所以 D 选项错误故选 B点评： 本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等记住常见的几何体的三视图9（3 分）（2015莱芜）一个多边形除一

8、个内角外其余内角的和为 1510，则这个多边形对角线的条数是（）A 27 B 35 C 44 D 54考点： 多边形内角与外角分析： 设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答解答： 解：设这个内角度数为 x，边数为 n，（n2）180 x=1510，180n=1870+x，n 为正整数，n=11，=44，故选：C点评： 此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识10（3 分）（2015莱芜）甲乙两人同时从 A 地出发到 B 地，如果甲的速度 v 保持不变，而乙先用 v 的速

9、度到达中点，再用 2v 的速度到达 B 地，则下列结论中正确的是（A 甲乙同时到达 B 地 B 甲先到达 B 地C 乙先到达 B 地 D 谁先到达 B 地与速度 v 有关）考点： 列代数式（分式）分析： 设从A 地到 B 地的距离为 2s，根据时间=路程速度可以求出甲、乙两人同时从 A 地到 B 地所用时间，然后比较大小即可判定选择项解答： 解：设从 A 地到 B 地的距离为 2s，而甲的速度v 保持不变，甲所用时间为，又乙先用 v 的速度到达中点，再用 2v 的速度到达B 地，乙所用时间为，甲先到达 B 地故选：B点评： 此题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题时首先正确理解题意，

10、根据题意设未知数，然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题11（3 分）（2015莱芜）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点 P 沿 ABCD 的路径移动设点 P 经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是（）ABCD考点： 动点问题的函数图象分析： 根据题意，分三种情况：（1）当 0t2a 时；（2）当 2at3a 时；（3）当 3at5a 时；然后根据直角三角形中三边的关系，判断出 y 关于 x 的函数解答： 解：（1）当 0t2a 时，PD2=AD2+AP2，AP=x，y=x2+a2式，进而判断出 y 与 x

11、 的函数关系的图象是哪个即可（2）当 2at3a 时，CP=2a+ax=3ax，PD2=CD2+CP2，y=（3ax）2+（2a）2=x26ax+13a2（3）当 3at5a 时，PD=2a+a+2ax=5ax，PD2=y，y=（5ax）2=（x5a）2，综上，y=能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是选项D 中的图象故选：D点评： （1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要图象的含义即学会识图（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握12（3 分）（2015莱芜）如图，在直角梯

12、形 ABCD 中，ABCD，ABBC，以 BC 为直径的O 与 AD相切，点 E 为 AD 的中点，下列结论正确的个数是（1）AB+CD=AD；）（2）SBABE+SDCE；（3）ABCD=；（4）ABE=DCEA 1 B 2 C 3 D 4考点： 圆的综合题分析： 设DC 和半圆O 相切的切点为 F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可解答： 解：设 DC 和半圆O 相切的切点为 F，在直角梯形 ABCD 中ABCD，ABBC，ABC=DCB=90，AB 为直径，AB，CD 是圆的切线，AD 与以 AB 为直径的O 相切，AB=AF，CD=DF，AD=AE+DE=A

13、B+CD，故正确；如图 1，连接 OE，AE=DE，BO=CO，OEABCD，OE= （AB+CD），OEBC，SBCE=BCOE=（AB+CD）=（AB+CD）BC=SABE+SDCE，故正确；如图 2，连接 AO，OD，ABCD，BAD+ADC=180，AB，CD，AD 是O 的切线，OAD+EDO= （BAD+ADC）=90，AOD=90，AOB+DOC=AOB+BAO=90，BAO=DOC，ABOCDO，ABCD=OBOC= BCBC= BC2，故正确，如图 1，OB=OC，OEBC，BE=CE，BEO=CEO，ABOECD，ABE=BEO，DCE=OEC，ABE=DCE，故正确，综上

14、可知正确的个数有 4 个，故选 D点评： 本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用二、填空题（本大题共 5 小题，每小题填对得 4 分，共 20 分，请填在答题卡上）13（4 分）（2015莱芜）计算：|2|+（1）3+21=考点：专题：分析：实数的运算；负整数指数幂计算题原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即到结果解答： 解：原式=321+ = ，故为：点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本

15、题的关键14（4 分）（2015莱芜）已知 m+n=3，mn=2，则 m2n2=考点： 平方差公式分析： 根据平方差公式，即可解答解答： 解：m2n2=（m+n）（mn）=32=6故为：6点评： 本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式15（4 分）（2015莱芜）不等式组的解集为考点：分析：解一元一次不等式组先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可解答：解：由得：x1，由得：x2，不等式组的解集是1x2，故为1x2点评： 本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集16（4 分）（2015莱芜）如图

16、，在扇形 OAB 中，AOB=60，扇形半径为r，点 C 在上，CDOA，垂足为 D，当OCD 的面积最大时，的长为考点： 垂径定理；弧长的计算；解直角三角形分析： 由OC=r，点 C 在上，CDOA，利用勾股定理DC 的长，求出 OD=时OCD 的面积最大，COA=45时，利用弧长得到解答： 解：OC=r，点 C 在上，CDOA，DC=，SOCD=OD，SOCD2= OD2（r2OD2）= OD4+ r2OD2= （OD2）2+当 OD2=，即 OD=r 时OCD 的面积最大，OCD=45，COA=45，= r，的长为：故为：点评： 本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，求出 OD=时OCD

17、的面积最大，COA=45是解答此题的关键17（4 分）（2015莱芜）如图，反比例函数 y= （x0）的图象经过点 M（1，1），过点 M 作 MNx轴，垂足为N，在x 轴的正半轴上取一点 P（t，0），过点 P 作直线OM 的垂线 l若点N 关于直线 l 的对称点在此反比例函数的图象上，则 t=考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征由点 A 坐标为（1，1）得到 k=1，即反比例函数式为 y= ，且 ON=MN=1，则可判断OMN 为等腰直角三角形，知MON=45，再利用 PQOM到OPQ=45，然后轴对称的性质得 PN=PN，NN

18、PQ，所以NPQ=NPQ=45，于是得到 NPx 轴，则点 n的坐标可表示为（t， ），于是利用 Pn=Pn得 t1=|=，然后解方程到满足条件的 t 的值解答： 解：如图，点 A 坐标为（1，1），k=11=1，反比例函数式为 y= ，ON=MN=1，OMN 为等腰直角三角形，MON=45，直线 lOM，OPQ=45，点 N 和点 N关于直线 l 对称，PN=PN，NNPQ，NPQ=OPQ=45，NPN=90，NPx 轴，点 N的坐标为（t， ），PN=PN，t1=| |= ，整理得 t2t1=0，解得 t1=，t2=（不符合题意，舍去），t 的值为故为：点评： 本题考查了反比例函数的综合题

19、，涉及知识点有反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质和用求根公式法解一元二次方程等利用对称的性质得到关于 t 的方程是解题的关键三、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）18（6 分）（2015莱芜）先化简，再求值：（1，其中 x=3）考点：专题：分析：分式的化简求值计算题原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值解答： 解：原式=，当 x=3 时，原式=2点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键19（8 分）（201

20、5莱芜）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩 频数 频率优秀 45 b良好 a 0.3合格 105 0.35不合格 60 c该校初四学生共有多少人？求表中a，b，c 的值，并补全条形统计图初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率考点： 列表法与树状图法；频数（率）分布表；条形统计图分析： （1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；（2）利用（1）中所求，结合频数总数=频率，进而求出；（

21、3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率解答： 解：（1）由题意：该校初四学生共有：1050.35=300（人），答：该校初四学生共有 300 人；（2）由（1）得：a=3000.3=90（人），b=0.15，c=0.2；（3）画树形图得：一共有 12 种情况，抽取到甲和乙的有 2 种，P（抽到甲和乙）= 点评： 此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键20（9 分）（2015莱芜）为保护渔民的生命安全，我国在海域新建了一批观测点和某日在观测点A 处发现在其北偏西 36.9的 C 处有一艘渔

22、船正在作业，同时检测到在渔船的正西 B 处有一股强台风正以每小时 40 海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的D 处进D 在观测点 A 的正北方向，台风中心 B 在观测点 A 的北偏西 67.5的方向，渔船 C行躲避已知与观测点A 相距 350 海里，台风中心的影响半径为 200 海里，渔船的速度为每小时 18 海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.90.6，tan36.90.75，sin67.50.92，tan67.52.4）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 先解 RtADC，求出 CD=ACsinDAC3500.6=210 海里，AD=28

23、0 海里，那么D 处所用时间：21018=11 小时再解 RtADB，求出 BD=ADtanBAD2802.4=672渔船到的海里，那么 BC=BDCD672210=462 海里设强台风移动到渔船 C 后面 200 海里时所需时间为 x 小时，根据追及问题的等量关系列出方程（4018）x=462200，解方程求出 x=11，由于 1111，所以渔船能顺利躲避本次台风的影响解答： 解：由题意可知BAD=67.5，CAD=36.9，AC=350 海里在 RtADC 中，ADC=90，DAC=36.9，AC=350 海里，CD=ACsinDAC3500.6=210 海里，AD=280 海里D 处所用

24、时间：21018=11 小时渔船到的在 RtADB 中，ADB=90，BAD=67.5，BD=ADtanBAD2802.4=672 海里，BC=BDCD672210=462 海里设强台风移动到渔船 C 后面 200 海里时所需时间为x 小时，根据题意得（4018）x=462200，解得 x=11，11 11，渔船能顺利躲避本次台风的影响点评： 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度中等，求出强台风移动到渔船 C 后面 200 海里时所需时间是解题的关键21（9 分）（2015莱芜）如图，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，分别以AB，AC 为直角边向外作等腰直角ABD 和等腰直角AC

25、E，G 为 BD 的中点，连接 CG，BE，CD，BE 与 CD 交于点 F判断四边形 ACGD 的形状，并说明理由求证：BE=CD，BECD考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定专题： 证明题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质易得 BD=2BC，因为 G 为 BD 的中点BG=BC，由CGB=45，ADB=45 得 ADCG，由CBD+ACB=180，得 ACBD，得出四边形 ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得DACBAE，由全等三角形的性质得 BE=CD；首先证得四边形 ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得BCECAD，易得CB

26、E=ACD，由ACB=90，易得CFB=90，得出结论解答： （1）解：ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，AB=BC，ABD 和ACE 均为等腰直角三角形，BD=BC=2BC，G 为 BD 的中点，BG= BD=BC，CBG 为等腰直角三角形，CGB=45，ADB=45，ADCG，ABD=45，ABC=45CBD=90，ACB=90，CBD+ACB=180，ACBD，四边形ACGD 为平行四边形；（2）证明：EAB=EAC+CAB=90+45=135，CAD=DAB+BAC=90+45=135，EAB=CAD，在DAC 与BAE 中，DACBAE，BE=CD；EAC=BCA=90，EA=

27、AC=BC，四边形ABCE 为平行四边形，CE=AB=AD，在BCE 与CAD 中，BCECAD，CBE=ACD，ACD+BCD=90，CBE+BCD=90，CFB=90，即 BECD点评： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键22（10 分）（2015莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费 40 万元，第二次花费 60万元已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了 500 元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了 500 元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍试问去年每吨大蒜的平均

28、价格是多少元？该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工 8 吨大蒜，每吨大蒜获利 1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工 12 吨大蒜，每吨大蒜获利 600 元由于出口需要，所有采购的大蒜必需在 30 天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？考点： 一元一次不等式组的应用；分式方程的应用分析： （1）设去年每吨大蒜的平均价格是 x 元，则第一次采购的平均价格为（x+500）元，第二次采购的平均价格为（x500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；（2）先求出今年

29、所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在 30 天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润解答： 解：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是 x 元，由题意得，2=，解得：x=3500，经检验：x=3500 是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨大蒜的平均价格是 3500 元；（2）由（1）得，今年的大蒜数为：3=300（吨），设应将 m 吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300m）吨加工成蒜片，由题意得，解得：100m120，总利润为：1000m+600（300m）=400m当 m=120 时，利润最大，为 228000 元，答：应将 120 吨大蒜加

30、工成蒜粉，最大利润为 228000 元点评： 本题考查了分式方程和一元一次不等式耳朵应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解23（10 分）（2015莱芜）如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上任一点（不与A，B 重合），ABCD于 E，BF 为O 的切线，OFAC，连结 AF，FC，AF 与 CD 交于点 G，与O 交于点 H，连结 CH求证：FC 是O 的切线；求证：GC=GE；（3）若cosAOC= ，O 的半径为r，求 CH 的长考点： 圆的综合题专题： 计算题分析： （1）首先根据 OFAC，OA=OC，判断出BOF=COF；然后根据全等三角形

31、判定的方法，判断出BOFCOF，推得OCF=OBF=90，再根据点 C 在O 上，即可判断出 FC 是O 的切线（2）延长AC、BF 交点为 M由BOFCOF 可知：BF=CF 然后再证明：FM=CF，从而得到 BF=MF，因为 DCBM，所以AEGABF，AGCAFM，然后依据相似三角形的性质可证 GC=GE；（3）因为 cosAOC= ，OE=，AE=由勾股定理可求得 EC=AC=因为 EG=GC，所以 EG=由（2）可知AEGABF，可求得 CF=BF=在 RtABF 中，由勾股定理可求得 AF=3r然后再证明CFHAFC，由相似三角形的性质可求得 CH 的长解答： （1）证明：OFAC

32、，BOF=OAC，COF=OCA，OA=OC，OAC=OCA，BOF=COF，在BOF 和COF 中，BOFCOF，OCF=OBF=90，又点 C 在O 上，FC 是O 的切线（2）如下图：延长AC、BF 交点为 M由（1）可知：BOFCOF，OFB=CFO，BF=CFACOF，M=OFB，MCF=CFOM=MCFCF=MFBF=FMDCBM，AEGABF，AGCAFM，又BF=FM，EG=GC（3）如下图所示：cosAOC= ，OE=，AE=在 RtGOC 中，EC=在 RtAEC 中，AC=EG=GC，EG=AEGABF，即BF=CF=在 RtABF 中，AF=3rCF 是O 的切线，AC

33、 为弦，HCF=HAC又CFH=AFC，CFHAFC，即：CH=点评：本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得 BF=FM 是解答本题的关键24（12 分）（2015莱芜）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，2），B（0，2），其对称轴为直线 x= ，C（0， ）为 y 轴上一点，直线AC 与抛物线交于另一点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）试段 AD 下方的抛物线上求一点E，使得ADE 的面积最大，并求出最大面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得ADF 是直角三角形？如果存在，求点 F 的坐标；如果不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题专题： 综合题分析： （1）利用待定系数法求抛物线式；（2）作 EPy 轴交AD 于 P，如图 1，先利用待定系数法求出直线 AD 的式为 y= x+ ，再通过解得 D（5，2），设 E（x， x2 x2）（3