逆向思维策略在解数学题中的应用

1、第 PAGE 8 页 共 NUMPAGES 8 页逆向思维策略在解数学题中的应用在解答数学问题的过程中，经常接触到的不是标准的模式化了的问题，要顺利地解答这些问题，就需要进行创造性的思维，寻求一种解题策略而对于某些问题，当运用正面思维策略很难得出解题途径，甚至有时还是不可能的，这时可以改从目标的“反面”去思维，间接地解答问题这种解题策略称为逆向思维策略或正难则反例1、设设 a、 b、 m、 n、 p均均为实数数，且满满足 aap2bn + ccm = 0与与 bb2ac 0则有 mp nn2 0 ，由 b2ac b20 aacmpp b2 n2式又由 a pp 2 b nn + c mm =

2、0 可可得b n = ( aap + cmm ) / 22 式将代入入得aacmpp ( aap + cmm )22 /44化简整理理得 ( app cm )2 ， (1b ) c ，(1 c ) aa 同同时成立立以上第一一式两边边同乘以以a，得得： (11 a ) aa b 式考虑到 (11 a ) aa ，两边边同乘以以 bb ，得：( 1 a ) aa b式由、式得，即 a b，类似地地可得 b cc ， c aa， 综合以上上结果有有： aa b c aa这显然是是不成立立的故故原命题题正确这样，在在肯定命命题的条条件的前前提下，并否定定命题的的结论，推出一一个导致致逻辑矛矛盾的结结

3、果从而而肯定命命题为真真，是反反证法证证题的全全过程二、同一一法同一法常常用于证证明某图图形具有有某种性性质的命命题，多多用于几几何方面面当欲欲证某图图形具有有某种性性质而又又不易直直接证明明时，可可以作出出具有所所示性质质的图形形，然后后证明所所作的图图形跟所所给的某某图形就就是同一一个，把把它们等等同起来来，这种种证法叫叫做同一一法例 3、以正方方形ABBCD的的一边CCD为底底向内作作等腰ECDD，使其其两底角角为 115，则 ABBE是等等边三角角形证明：以以AB为为边向正正方形内内作等边边 ABBE ，我们来来证明，点 EE跟 EE同为一一点(图1)所示 D C显然BBCE 应是等等

4、腰三角角形，它它的顶角角： ECBEE = 990ABEE = 330，所以它的的底角 BCEE = (1800 300) = 755E 从而DDCE = 15 ，仿仿此有CDEE = 155 A BB点 EE与 E重合合，ABEE是等边边三角形形可以用同同一法证证明的命命题，实际上上是依据据这(图图1)样的事实实：具有所所示性质质的图形形是唯一一的三、淘汰汰法淘汰法就就是考虑虑某个问问题中的的一切情情形，通通过去掉掉其中不不合要求求的部分分，而得得到合乎乎要求的的部分的的一种解解题方法法例 4、从8位位男生，5位女女生组组成的集集体中选选出3名名代表，求至少少有一位位女生的的选法有有多少种种

5、？用正面解解法求出出是：(种)而当用淘淘汰法求求解时，只要考考虑到任任选三名名代表的的选法减减去所选选代表全全是男生生的选法法，即： (种种)显然，只只要得当当地运用用淘汰法法，往往往可使复复杂的问问题得到到简化求求解四、逆推推法即执果索索因：从结论论出发，向条件件逐步上上溯，先先设想要要证明的的结论成成立，推推出它成成立的原原因，再再把这些些原因看看成新的的结论，再推求求使它们们成立的的原因，如此逐逐步上溯溯，直到到推出已已知条件件或已知知的事实实为止逆推法法也叫分分析法例5、在在ABCC中，已已知B = 2C，求求证：AAC2 = AB22 + ABBC 用分析法法探索时时，思路路如下：（

6、如图图2） AA分析：要要证 AC2 = AB22 + ABBC， B只要证：AC2=AB ( AAB + BCC ) DD CAC22AB2= ABBBCAC22ABBC = ABB2（图图2）对上面三三种情况况进行分分析，式可能能是通向向已知条条件的途途径，下下面对式继续续追索要证 AC22 = AB ( AAB + BCC ) 成立，只要证证明： ，从从这里我我们设想想构造一一个以AAC为一一边，另另一边等等于ABB + BC ，且且与ABCC相似的的三角形形为此此，我们们延长AAB到 D，使使 BDD = BC ，连结结CD，则有：AD = AAB + BCC于是是要证 证证 证证AC

7、BB ADCC 证D =ACBB ( A为公公共角） 证ABCC = 2D，根根据辅助助线的作作法，这是容容易证明明的，故故命题可可证（证明明略）本题亦可可在ACC上适当当地取一一点 EE ，将 AC22 转化化为 AACAE + ACEC来来进行探探索可见，分分析法是是先认定定结论为为真，倒倒推而上上，容易易启发思思维，每每一步推推理都有有较明确确的目的的，知道道推理的的依据，使人了了解思索索过程五、常量量与变元元的换位位在解决有有关变元元的问题题时，由由于思维维定势的的影响，人们总总是习惯惯于抓住住变元不不放，这这在很多多情况下下当然是是正确的的，但在在抓住变变元解题题较为困困难，甚甚至产生生难以克克服的障障碍时，也可考考虑采取取常量与与变元换换位的策策略例6、解解方程 = 00此题按解解三次方方程方法法求解相相当困难难，可把把常量 看作“未知数数”，x看作作常量 ，则可可得到一一个关于于 的“一元二二次方程程”解之，得得 = 1x 或 =( xx2 + x + 1) / x (xx0)x = 1或 x = ( +11 ) / 2六、构造造反例例 7、试证下下列命题题是假命命题：:若、都是无无理数，则+也是无无理数分析：只只要取= 、= ，均均为无理理数