导数讨论含参单调性习题(含详解答案)

1、m(x+nf(x)=lnxTg(x)=(tn)设函数“-.当L时，函数匚与在-处的切线互相垂直，求一的值；若函数一)：在定义域内不单调，求的取值范围；2aasxf()f(E+f()$0是否存在正实数，使得对任意正实数计亘成立若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.已知函数I*I：二叭八.是I：心的导函数，为自然对数的底数.讨论乙氏的单调性；当一1时，证明:帖：；当1时，判断函数零点的个数，并说明理由.bf(x)=a(x+-)+blnx3.已知函数“(其中，ri).当-时，若I:心在其定义域内为单调函数，求的取值范围；当：时，是否存在实数，使得当一I、I时，不等式|:：；恒成立，如果存

2、在，求训取值范围，如果不存在，说明理由(其中是自然对数的底数，八).已知函数|I，：，其中为常数.讨论函数；的单调性；匡*丿十弗X+xzg()若已凤存在两个极值点二求证：无论实数取什么值都有；.已知函数H-(为常数)是实数集R上的奇函数，函数是区间II上的减函数.求的值；若在I及所在的取值范围上恒成立，求:的取值范围；inx=x-2ex+rn讨论关于*的方程的根的个数.6.已知函数fix丿=ax一Inx,Flx)=ex+ax，其中x0,a0恒成立，求实数m的取值范围(注:0已知常数a满足alna=1).8.已知函数f(x)=ln(1+mx)x2+一mx2当m=1时，求证：一1x0时，f(x)1

3、,F(x)f(x),求实数a的取值范围.已知函数f(x)=ex+ax一2若a=1求函数f(x)在区间1,1啲最小值；若aeR,讨论函数f(x)在(0,+8)的单调性；若对于任意的x,xe(0,+8),且xx,1212都有xf(x)+a:的定义域为，:，可得(x+L)由题意,1X+2-rn(l-n)+-1x+2-rn(l-n)+-在:：内有至少一个实根且曲线与x不相切，即沖勺最小值为负，由此可得|,:;4,进而得到1nn-(l-nrrri(l-n)4，由此即可求出结果.h(x)=f(兰)f(尹)+f()h(x)=aln2a-alnx-a+-k(x)=aln2a-alnx-a+-令九，可得，令，则

4、，所以在区间工二内单调递减，且在区间工、内必存lnxc=+ln2a-1在实根，不妨设可得心，(*),贝：心在区间工“内单调递增，在区间:：内单调递减,h(xJ-axn+-2.J：fl1Iz将(*)式代入上式，得使2ax1f().f(eax)+f()rriln)4-I；*:-I,iI-h(x)=f(一)f(e)+f(一)=axdn2a-axdnx+Inx-In2a令，其中:,.1h(x)=aln2a-alnx-a+-TOC o 1-5 h z则1k(x)=aln2a-alnx-a+-则v,.a1ax+1kfx)=(。厂)+上为减函数；当时，解：3：亠可得6故小啲减区间为增区间为;(2)根据门;,

5、构造函数，设当厂，时，*：；,所以-八是增函数，：.一，得证；(3)判断函数的零点个数，需要研究函数的增减性及极值端点，由(1)可知，当时，门厂是先减再增的函数，其最小值为1111-_17gH=aln-+a-a(ln-+1)0-ae白白日，而此时卓)=1+电I卓且鼻，故盼恰有两个零点，从而得到I：心的增减性，当：时，+;.；当“时，小；0,从而f凶在也两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值flX*H0,所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点.试题解析：,1g(x)=f(x)=alnx+-对函数山:求导得.a1ax-1S(x)=-xv23当时,小7,故护在:巴上为减函数；1111x(0i)(

6、、+当V时，解可得亠故心的减区间为增区间为讥計“，设，贝y-:易知当厂:时，:C,h(x=-x2ee-e20；9由(1)可知，当一1时，曲是先减再增的函数,111g(-)=aln-+a=a(In-+1)0,1x咒叫巳0._)TOC o 1-5 h z山:在“两点分别取到极大值和极小值，且、；，11gxj-alnx.+=0a=-,xjnx,由知，1=Irix.+2i叽111lnx1+2lnx1+=2x_“，但当”时，二贝卜八，不合题意，所以壮：故函数I：心的图象与*轴不可能有两个交点.函数只有一个零点.b(+g)(1)iy：；(2)存在，且二L.【解析】试题分析：(1)当，时，首先求出函数的导数

7、，函数的定义域是，得到ax2-4x+4af(x)=x，分沐和“。两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到d的取值.+bx4-bf(x|二范围；(2)，分荃和两种情况讨论函数的单调性，若能满足当时，当满足函数的最小值大于0即得到的取值范围.4.44ax2-4x+4mk0ff(x=a(x-)-4lnxJx)=a(l-f)试题解析：(1)由题1|1当时，知:，贝贝:心是单调递减函数；当(咐，只有对于匚，不等式厂恒成立，才能使I：心为单调函数，只需-丄解之得弋1或j,此时、八.综上所述，的取值范围是：门b.bb+bx+bf(x)=blnx-x-kOJ(k)=-1(2)：,其中”：.()当:时,17,

8、于是IX在丄:二上为减函数，则在I上也为减函数.b1f(x)E尹=Ke)=b-e-=(l-)b-e0知!恒成立，不合题意，舍去.b+Jt?丰4b()当：时，由：得，列表得X+Jb2+4b2)b*+4b2b+J+4b(1严呵f(x)+0-f(x)71最大值TOC o 1-5 h zb+Jb2+4be2e若，即*-.b+J+4b(er)(f+则“心在*上为增函数，在上为减函数,严)S要使在恒有a：恒成立，则必有二2b-eOf所以由于亡-亡(在1)丸能+K0，贝产*J所以1-1综上所述，存在实数II，使得1;-J恒成立.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值

9、问题；若1：心，就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为若:心恒成立，可转化为X：55(1)当阳1“訴舟十耳1in2a21In2e()=-In伞-一+h(a)=-Ina-+/时，门在区间:上单调递增;当时,在上单调递减，在上单调递增；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究d在：，：上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定厂入T耳2典1越2一单调区间，(2)先由(1)知：，且两个极值点满足.二再代入化简得1；，利用导数研究：单调

10、性，最后根据单调性证明不等式.试题解析：(1)函数的定义域为：二12x*2422记422+2ax+1*+a，记h(x)=2x2+2ax+l，判别式g(x)=2片+二x+a当Lm即上注三二时，心：匚恒成立，八：；，所以沙在区间：上单调递增.当或打时，方程八八有两个不同的实数根根”：记ia2X=-0(ifT八I图象的对称轴r,T门：.-7.两根八在区间:匚上，可知当时函数单调递增：，所以所以心在区间：一一上递增.（ii）若芒,则T人丨图象的对称轴丈、，匚；门，所以电2,当曾时，htx）CO,所以目闵0,所以酥在叫-K丿上单调递减当Yd或时，*-，：,所以：；，所以在在上单调递增.综上，当二汀三二时

11、，小:在区间：，：上单调递增；当时，川在3Ja2-2-3+.ia2-2-a-Ja2-2-a+-2f）（-比）F+ooj22上单调递减，在22上单调递增.（2）由（1）知当i时，皿没有极值点，当时，川：有两个极值点儿，且gfxj+g(x2)=才1(1权丄十a+x；十ln(x2+a)=a?-1-In2,盼J+E(x2)a21-In2xi+xiaa2aa1a?-2r2r1In2hg二-二0厂h（-2）-ln2-+-02日2白，所以h何在时单调递增，422，所以hR,/气）+时勺）xi+x2；二或二一）所以.（1）：；（2）；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义可得lV;：-:-,再

12、根据恒等式定理可得（2）由函数八八宀I是区间-上的减函数，得其导函数恒非正，即;J最小值1，而1在11I恒成立等价于二，从而有：ll：A1：对I恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负Inx.仪）=即可，解不等式组可得:的取值范围（3）研究方程根的个数，只需转化为两个函数x，上人Inxa交点个数，先根据导数研究函数*1=图像，再根据二次函数用十罚上下平移可得根的个数变化规律试题解析：（1）：锐I、儿是奇函数，贝yn|以-7恒成立,i：-I，卩丨:十-I,WI厂，.-：:.（2）由（1）知皿，恥：I、畑又山:在II上单调递减，匚丨-，且【八、对丨I恒成立,即对1恒成立,，：，C：汀-

13、1在、E丨上恒成立，,，.I,即:LI1:(对I恒成立,t+l0-t+Sinl(3)由(1)知一笃Inx；=X-2ex+m方程为、Imf2(x)=x2-2ex+m,1-Inx当*时，f,：心在:上为增函数；当飞上一一心时，m工，J：在工上为减函数;当“一时,函数I、丨九在同一坐标系的大致图象如图所示,m-e-me+-当,!卩时，方程无解;在(0,e2上递减nh(t)h0=0nm的最小值为0.当当，即时，方程有两个根.2121m=-m=e+-，即时，方程有一个根;值范围是(,3；(2)由g(x)=(ax+1)1)eax1X丿1lnxa=1lnxlnx2px)=,plx丿=xp(x)=p(e2)=

14、mine21lnxax1cneax10nf/(x)0在(0,+8)上xx恒成立nf(x)在(0,+8)上单调递减n当1a0，即F(x)在(0,+8)上单调递增，不合题意;当aln3na-3nag(x)=gmin-0,h(t)e2t=h(t)=一lnt+1(0t0,xx.a0,f，(x)0在(0,+a)上恒成立，即f(x)在(0,+a)上单调递减.当-1a0，即F(x)在(0,+)上单调递增，不合题意;当a0，得xIn(-a)，由F(x)0，得0 xln3，解得ae2时，p(x)0；当0vxe2时，P(x)0.由eax-1-0得到a-，设p(x丿-,p(x丿-x-p(2丿-e2从而p(x丿在G,

15、e2)上递减，在(e2,+8)上递增.p(x)min1当a-时,e2a也，即eax-1-丄0,g(x)0,g(x)递减;在f-1,+4上,ka丿ax+10,g(x)递增.g(x)min-gfk-h(t)-lnt+1(0te2),e2h(t丿-丄-1h(e2)-0IM的最小值为0.考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数与不等式.方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解

16、决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.7.(1)m=-1,f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+s)上单调递增；(2)mga-lna,+s).【解析】试题分析：(1)由x=1是函数f(x)的极值点，得fG)=0可得m得值，由导数和单调性的关系得其单调区间；(2)由题意知f(x)二ex+m丄，设h(x)二ex+m-，知hf(x)0得xxh(x)单调递增，即x=x是f(x)二0在(0,+8)上的唯一零点，得m=xlnx，000f(x)=f(x)，使得f(x)0即可，结合alna=1，得参数m范围.min00试题解析：(

17、1)x=1是函数f(x)的极值点，f(1)=0ne1+m一1=0.xex11m=1，f(x)=ex-1x令g(x)=xex11，g(x)=ex1+xex1=(x+1)ex10，g(x)在(0,+8)上单调递增，g(x)g(0)=1，g(1)=0.当xg(0,1)，g(x)0.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，此时，当x=1时f(x)，取极小值.(2)f(x)=ex+m，设h(x)=ex+m，xx则h(x)=ex+m+丄0h(x)在(0,+8)上单调递增,x2f(x)在(0,+8)上单调递增.x=x0是函数f(x)的极值点x=x0是f(x)=0在(0,+8)上的唯一零点,

18、11ex0+m=nx+m=lnnx+m=lnxnm=xlnxx0 x000000T0XX,f(X)X,f(X)f(X)=0,00f(X)在(0,X)上单调递减，在(X,+8)上单调递增，f(x)有最小值.00f(X)min二f(X)二exQmInx001+X+m.X00f(x)0恒成立,1+X+m0,X001+XX00X+lnX，001Inx.X00aIna=1,m=XlnXalna,00mealna,+s).考点：(1)利用导数研究函数的极值；(2)利用导数研究函数的单调性；(3)恒成立问题.【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题,以及对于不等式恒成立问

19、题,解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立.考查函数的单调性，由fC)0，得函数单调递增，fC)h(x)或ah(x)或ah.6)即可，利用导数知识结合单调性求出h(x)或h.(x)即maxminmaxmin得解.8.(1)见解析；(2)当0m1时，有两个零点；当m=1时；有且仅有一个零点.【解析】X3试题分析：(1)首先将m=1代入函数解析式，然后令g(x)=f(x)-专，再通过求导得到g(x)的单调性，从而使问题得证；(2)首先求得f(x)，然后求得f(x)=0时x的值，再对m分类讨论，通过构造函数，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出函数零点的个数试题解析：(1)当m=1时

20、，令g(x)=f(x)X(-1x0),则gr(x)=-X-31+x当-1x0,1+x0,g(x)0，此时函数g(x)递增，当一1x0时,g(x)g(0)=0，当一1x0时，f(x)-1时，1+x0，x20，f(x)0，此时，函数f(x)为增函数,-1x0时，f(x)0时，f(x)f(0)=0,故函数y=f(x)，在x-1上有且只有一个零点x=0；(ii)当0m1时,11且一0，mx0，x-m-一0；同理可得，当xg|m-丄,0，f，(x)0时，f，(x)0；Im函数y=f(x)的增区间为11,mmm和(0,+8),减区间为m,0Im故，当m-xf(0)=0，当x0时，f(x)f(0)=0m函数

21、y=f(x),xefm-丄,+8有且只有一个零点x=0；Im丿=Inm2-211m2m2丿，构造函数申(t)=Int-21(1tt丿0t1，则-(t-1)212，易知，对vtg(0,1),9f(t)00t申(1)=0由0m1，知0m20)，则k(x)=-_-,当0 x0，当x1x时,k(x)0，二函数y=k(x)的增区间为(0,1】，减区间为(1,+),k(x)k(l)=0,则e-m2-1.有g丄1+1,m2m2m2e-m2-11当x匕二1时,mmln(1+mx)-1m2x21而一一mxx2一mx2m2由知f(x)=ln(1x2+mx丿+一mxmm由和函数零点定理知，xe0,巴|，使得f(x0

22、)=0mm0综上，当0m1时，函数f(x)=ln(1+mx)+斗-mx有两个零点,综上所述：当0m4时,3x01,F(x0)f(x0)不成立.的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则9.(1)证明见解析；(一8,4.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证；(2)借助题设条件运用导数的有关知识求解.试题解析：2exi+Inx一2eix+2ei一2.(1)Ta=1+2e-i,T(x)=F(x)f(x),.T(x)=x0,T(x)=2ex-1一2e-1+丄a*2ex-1一2e-1关于x单调递增,xx0,T(x)=2ex-12e-i

23、+0,AT(x)在(0,+a)上单调递增.xx(2)设H(x)=F(x)f(x),则H(x)=2ext+1a.设h(x)=2ext+1+a侧xxh(x)=2ex-1.x1,A2ex-12,1,h(x)1.Ah(x)在Q,+)内单调递x2x2增.a当x1时,h(x)h(1).即H(x)4a,a当a4a0.a当a4时,H(x)在11,+g)内单调递增.a当a1时,H(x)H(1),即F(x)f(x).x1,aH(x)=2ex-1+1+丄一a4时,由x2ex1+2a=0得.2ex-i+2a关于x单调递增,a当a4,1x1+ln-11时，H(x)单调递减.设12丿x=0则H(x)H(1)=0，即F(x)1,F(x)f(x),a的取值范围(8,4.考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用.易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a的两个函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是推证函数T(x)=F(x)-f(x)在(0,+8)上单调递增；第二问中借助导数,运用导数求在不等式Vx1,F(x)f(x)恒成立的前提下实数a的取值范围求解借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证,进而求得实数a的取值范围