单向方差分析

1、单向方差分析第1页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二一、问题的提出先看一个例子：某医生为研究一种降糖药的疗效，以统一的纳入标准和排除标准选择了39名II型糖尿病患者，随机将其分为两组进行双盲临床试验。其中试验组19人，对照组20人，对照组服用公认的降糖药物。治疗4周后测得其餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)，结果如表1。问治疗4周后餐后2小时血糖下降值的两组总体水平是否不同？第2页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二表1 II型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值(mmol/L) 试验组对照组 0.612.45.70.912.87.04.13.9

2、 4.39.46.43.87.07.55.48.43.112.26.0第3页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二显然，当两个样本来自正态总体，且两个总体方差相等时，我们可用两样本均数比较的t-检验来解决这个问题。其检验假设：为其检验统计量为：其中：第4页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二但在实际工作中，常常会遇到两个以上的样本均数的比较，如将上述问题改为：某医生为研究一种降糖药的疗效，以统一的纳入标准和排除标准选择了60名II型糖尿病患者，随机将其分为三组进行双盲临床试验。其中高剂量组21人，低剂量组19人，对照组20人，对照组服用公认的降糖药物。治疗4周

3、后测得其餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)，结果如表2。问治疗4周后餐后2小时血糖下降值的三组总体水平是否不同？第5页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二表2II型糖尿病患者治疗4周后餐后2小时血糖的下降值(mmol/L) 高剂量组低剂量组对照组5.6 0.6 12.49.5 5.7 0.96.0 12.8 7.08.7 4.1 3.9 4.9 4.3 9.48.1 6.4 3.83.8 7.0 7.56.1 5.4 8.413.2 3.1 12.216.5 6.0 9.2第6页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二如何解决这个问题呢？这里，先介绍几个概念

4、：要考察的指标称为试验指标-本例即血糖的下降值；影响试验指标的条件称为因素（处理因素）-本例即药物；因素所处的状态称为该因素的水平-本例药物有3个不同的水平(三个不同的处理组)。在一项试验中，如果影响试验指标的因素只有一个，则称该试验为单因素试验(本例)；如果影响试验指标的因素有多个，则称该试验为多因素试验。第7页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二我们在因素(药物)所处的每一水平下进行了独立试验，其结果是一随机变量。如果将因素的每一水平分别视为一个总体，各总体的均值分别为，则表中数据可视为来自三个不同总体的样本值。如果三个总体都服从正态分布，且三个总体方差都相等（方差齐性）

5、，则本例的问题即为如下的检验假设问题：下面，我们把这个问题推广到更一般的情形。第8页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二一般地，对于单因素试验，假设因素A有s个水平：A1，A2，As。在水平Aj(j=1,2,s)进行nj次独立试验，得到如下的试验结果：水平A1A2As样本观测值样本总和T1T2Ts样本均值总体均值表3单因素方差分析的资料格式第9页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二 假定各水平Aj均为正态总体 ， j =1,2,s， 且各水平下的样本之间相互独立 . 在这个假定之下，方差分析的任务就是要检验如 下的假设：其备择假设为：如何来检验这个假设呢？英

6、国统计学家从方差构成的角度对这个问题进行了探讨，并于1923年首次给出了如下的平方和分解定理。H0:1=2 = =s H1:1 ，2 ，s 不全相等第10页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二二、Fisher的平方和分解考虑总平方和 (total sum of squares)其中：是所有样本观测值的总平均；SS总又称为总变差，它反映了全部试验数据之间的差异。记水平Aj下的样本均值为第11页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二对总平方和SS总可作如下的分解：注意到于是总平方和SS总可分解为 第12页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二其中：

7、中的各项表示在水平Aj下，样本观测值与样本均值之间的差异，这种差异是由抽样所引起的，故SS组内 (Error sum of squares)称为组内离差平方和(又称为误差平方和)，且可以证明： SS组内的自由度为ns。中的各项表示水平Aj下的样本均值与全部观测数据的总平均值之间的差异，这种差异是由水平Aj及随机误差所引起的，故称SS组间 (Model sum of squares)为组间平方和，且可以证明： SS组间的自由度为s1。而第13页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二于是，Fisher构造了如下的统计量：并证明了这个F 统计量服从自由度为(s1，ns)的F 分布。由

8、于分子MS组间是由各水平组不同所引起的差异及随机误差所构成的，而分母MS组内仅由随机误差所构成，故当F 1，可以认为各水平组之间的差异不存在，即推断H0成立；F1，则认为各水平组之间存在差异，即推断H0不成立。注意：F 值非负。 其中： MS组间 SS组间/(s1)称为组间均方(Model Mean Square)， MS组间 SS组内/(ns)称为组内均方(Error Mean Square)。第14页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二 对于事先给定的检验水准若，则p ，拒绝H0若，则p ，不拒绝H0至于F 值究竟要大到何种程度才能拒绝原假设，可由F分布的临界值来确定。通

9、常可以通过查F 分布的界值表来决定。第15页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二三、方差分析的步骤1.建立检验假设，确定检验水准；2.按照表3的格式，整理并计算出相应的统计量；3.计算出各平方和、自由度及相应的均方；单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度均方F 值组间SS组间s1MS组间组内SS组内nsMS组内总SS总n15.查F 界值表，确定 p 值，并作出统计学推断。4.列出如下形式的方差分析表：H0:1=2 = =s H1:1 ，2 ，s 不全相等第16页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二在方差分析的计算中，上述第2、3步计算量较大，在实际应用中，

10、通常是利用统计分析软件来完成的。下面我们通过一个实例，介绍在SAS（Statistics Analysis System)软件中进行方差分析的方法。第17页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二四、实例 考虑本章开头的例子。 首先提出检验假设： 并取 为了进行方差分析，我们调用SAS系统，并执行 如下的计算程序：第18页，共21页，2022年，5月20日，2点16分，星期二Data fcfx;Input x ;If _n_=20 then g=1;If 20_n_=39 then g=2;If 39 F Model 2 176.764976 88.382488 5.54 0.0063 Error 57 909.871524 15.962658 Corrected Total 59 1086.636500上述结果即是一个方差分析表。由此可作出如下的统计推断：由于p0.00630.05，于是按0.05的水准，拒绝H0，即认为II型糖尿病患者经药物（新药和标准药