概率基础知识

1、概率基础知识一、事件与概率(一)随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。从这个定义中可看出，随机现象有两个特点:(1)随机现象的结果至少有两个；(2)至于哪一个出现，人们事先并不知道。抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也并不知道。例1.2-1随机现象的例子:(1)一天内进入某超市的顾客数；(2)一顾客在超市中购买的商品数；(3)一顾客在超市排队等候付款的时间；(4)一颗麦穗上长着的麦粒个数；(5)新产品在未来市场的占有率；(6)一台电

2、视机从开始使用到发生第一次故障的时间；(7)加工机械轴的直径尺寸；(8)一罐午餐肉的重量。随机现象在质量管理中到处可见。认识一个随机现象首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是指今后的抽样单元，故又称样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为。“抛一枚硬币”的样本空间=正面，反面；“掷一颗骰子”的样本空间=1，2，3，4，5，6；“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间=0，1，2，；“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间=t:t0；“测量某物理量的误差”的样本空间=x:-xB，则:P(A-B)=P(A)-P(B)性质4:事件A

3、与B的并的概率为:P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)这个性质称为概率的加法法则，可以从图1.1-5中看出。特别当A与B不相容时，由于P(AB)=P()=0，则:P(A U B)=P(A)+P(B)性质5:对于多个互不相容事件A1，A2，A3，也有类似的性质:P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+下面的例子可帮助我们理解这些性质。例1.2-7抛三枚硬币，至少一个正面出现(记为事件A3)的概率是多少?解:在抛三枚硬币的随机试验中，诸如(正，反，正)这样的样本点共有8个。A3中所含这样的样本点较多，但其对立事件=“抛三枚硬币，全是反面”=(反，反，反)，只含一个样本点，从等

4、可能性可知P()=1/8。再由性质1，立即可得:P(A3)=1-P()=1-1/8=7/8=0.875例1.2-8一批产品共100件，其中5件不合格品，现从中随机抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?解:设A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示为:A=A0A1 U A2并且A0，A1，A2为三个互不相容事件，由性质(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)。余下就是用古典方法算得:Ai的概率。据A0的定义，从100件产品随机抽出10件的所有样本点共有)个。要使抽出的10件产品中有0件不合格品，即全是合格品，则10件必须从95

5、件合格品中抽取，所以:类似地可算得:于是所求的概率是:P(A)=0.5837+0.3394+0.0702=0.9933 可见事件A发生的概率很接近于1，发生的可能性很大；而它的对立事件=“抽10件产品中至少3件不合格品”的概率P()=1-P(A)=1-0.9933=0.0067，发生的可能性很小。例1.2-9某足球队在未来一周中有两场比赛，在第一场比赛中获胜概率为1/2，在第二场比赛中获胜概率是1/3，如果在两场比赛中都获胜概率是1/6，那么该队在这两场比赛中至少有一场获胜的概率是多少?解:设事件Ai=“第i场比赛获胜”，i=1，2。于是有:P(A1)=1/2，P(A2)=1/3，P(A1 A

6、2)=1/6由于事件“两场比赛中至少有一场获胜”可用事件A1A2表示，所求概率为P(A1A2)。另外由于事件A1与A2是可能同时发生的，故A1与A2不是互不相容事件，应用性质(4)来求，即:这表明在未来两场比赛中至少有一场获胜的概率为2/3。(二)条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性(1)条件概率与概率的乘法法则条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为:这表明:条件概率可用两个特定的(无条件)概率之商来计算，在举例说明之前，先导出概率的乘法公式。性质6:对任意两个事件A与B，有:P(AB)=P(A|B)P(B

7、)=P(B|A)P(A)(1.2-4)其中第一个等式成立要求P(B)0，第二个等式成立要求P(A)0。例1.2-10设某样本空间含有25个等可能的样本点，又设事件A含有其中15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点，详见图1.2-11。由古典定义可知:于是在事件B发生的条件下，事件A的条件概率为:这个条件概率也可以这样来认识:当已知事件B发生，就意味着其对立事件是不会发生了。即中18个样本点可不予考虑，可能的情况是事件B中的7个样本点之一。可见事件B的发生把原来的样本空间缩减为新的样本空间B=B。这时事件A所含样本点在B中所占比率为5/7。这与公式计算结果一致，这不是偶然的，

8、任一条件概率都可这样解释。类似地，利用这个解释，可得P(B|A)=5/15=1/3。例1.2-11表1.2-3给出乌龟的寿命表，记事件AX=“乌龟活到X岁”，从表中可以读出P(A20)=0.92，P(A80)=0.87等。现要寻求下列事件的条件概率:20岁的乌龟能活到80岁的概率是多少?要求的概率是条件概率P(A80|A20)，按公式应为:由于活到80岁的乌龟一定要先活到20岁，这意味着A80A20，从而交事件A20 A80=A80，故上述条件概率为:即100只活到20岁的乌龟中大约有95只能活到80岁。120岁的乌龟能活到200岁的概率是多少?类似有:即活到120岁的乌龟中大约有一半还能活到

9、200岁。这里谈论的是乌龟的寿命，假如我们能获得弹药的贮存寿命表，那么就可计算，存放10年的弹药再放5年仍完好的概率是多少?假如有一个国家或地区的人的寿命表，就可算得30岁的人能活到60岁的概率是多少?保险公司正是利用这个条件概率对30岁的投保人计算人身保险费率的。(2)独立性和独立事件的概率设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件A与B相互独立。性质7:假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为:P(AB)=P(A)P(B)(1.2-5)性质8:假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。这是因为:例1.2-12设实验室标本沾有污染的概率为0.15，如今