利用公式速解空间几何体的外接球半径

1、利用公式速解空间几何体的外接球半径基础知识三角形、矩形的外接圆半径为r，则正三角形r33a(a是边长)a2b2斜边r直角三角形(a和b是直角边)22(a和b是长和宽)r矩形a2b2对角线22外接圆半径万能公式（正弦定理）2raA1O2A1OObcsinAsinBsinC外接圆模型及方法（1）汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）C1C1C1A1O2B1O2B1B1OCCC第二步：算出小圆O的半径AOr，OO122AO1AO1BAO1BB图10-1图10-2图10-3【探究】如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：

2、确定球心O的位置，O是ABC的外心，则OO平面ABC；111AAh（AAh也是圆柱的高）；11111h第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2()2r2R112hr2()2，解出R2秒杀公式1：R()2r2(h表示垂直于底面的棱长，r表示底面外接圆半径)【结论】各顶点都在球面上,且有条棱垂直于底面,且垂点是顶点.h2hr例1直三棱柱ABCABC的各顶点都在同一球面上，若ABACAA2,BAC120，则1111此球的表面积等于。4r2，hAA2,R(【秒解】BC23，2r23h)2r21225，S20sin12012例2点A,B,C,D均在同一球面上，其中ABC是正三角形，AD面ABC，AD2A

3、B6,则该球的体积为D6Cr3AB3323【秒解】hAD6，r33h4a33R()2r29323VR3323，例3已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，【秒解】如图，可知AEB为正三角形，r3AD面AEB，hAD2，R2()2r24，外接球的表面积S4R216.EAEB3,AD2,AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为。3a3333h2E3AD323BC（2）墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）【探究】长方体的外接球直径2Ra2b2c2，c2Rba【结论】秒杀公式2：如以下四种情形的几何体，均可看成对应长方体的一部分，找三条两两垂直的线段，直接用公

4、式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出RPcAbaCPbcCBAaB图1图22OPPccaBbCbCAAaB图4图3bc8，abc24，a3，b4，c2，(2R)2a2b2c229，S4R229，ac6例4若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9【秒解】4R23339，S4R29例5如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是【秒解】三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,cR），则ab12例6已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为【秒解

5、】(2R)2a2b2c23，R2P3344333，R，VR3，423382ACB（3）对棱相等模型（补形为长方体）【探究】三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，c2a2z2a2b2x2b2c2y2(2R)2a2b2c2x2y2z22，补充：VABCD11abcabc4abc63x2y2z2bc第三步：根据墙角模型，2Ra222，2R2，Rx2y2z28x2y2z28，求出R，AxDyzzycxCBab图1

6、2【结论】秒杀公式3：对棱相等的棱锥的外接球半径：Ra2b2c28例7如图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为.【秒解】由条件可知，属于对棱相等的棱锥外接球问题，a5,b6,c7，a2b2c255R2，外接球的表面积S4R255.84例8正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为【秒解】这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，abc2，R2a2b2c23，外接球的表面84积S4R23.(4)正棱锥模型【结论】棱锥各个顶点在球面上,顶点到底面的距离为h,且顶点到底面的垂点为底面外接圆圆心,典型例子为：正三棱锥,正四棱锥.秒杀公式4：Rhh2r22hr例9已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则球的体积为【秒解】h4，r2R42224222544222125VR32423246例10已知正三棱锥SABC及其正视图如图所示，则其外接球的半径为332h6【秒解】ABC边长为23，rS333