差分方程的概念

1、教学札记微积分教学设计教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：差分方程概念引入、差分方程的定义及差分方程的阶、差分方程的解、线性差分方程及其解的结构教学目的：理解差分方程及差分方程解的概念教学方法：利用多媒体及黑板相结合进行教学教学重点：对两个差分方程的定义的理解教学难点：线性差分方程的定义及其解的结构教学过程1,差分方程概念的引入（弓I例）例1已知函数ytf （t）在t时刻一阶差分为2t,据一阶差分的定义有关系式yt 2t例2某客户在农行开了一个账户，银行按每年付给5%的利息。假设该客户既不加进存款也不取钱，若用Yt表示t年后的存款余额，则紧挨着的两年的存款余额之间的关系为Yt 1 Yt 0

2、.05Yt 1,05Yt2差分方程的定义及差分方程的阶定义1 :含有自变量t,未知函数yt以及未知函数的差分yt、2 yt、的函数方程称为 常差分方程，简称为差分方程，也简称为 方程。出现在差分方程中的未知函数yt的差分的最高阶数，称为该差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F（t,yt, yt, , nyt） 0其中t 为自变量，yt为未知函数；F（t,yt，yt， , nyt）是t, yt, yt,nyt的已知函数关系式，且nyt一定要出现，而t,yt, yt, n 1yt等可以不出现。注：如果方程中的未知函数是多元函数（未知函数的差分为偏差分），则称该方称为 偏差分方程。教学心得定义2

3、：含有自变量t和未知函数yt的两个或两个以上的函数值yt、yt 1、的函数方程称为 差分方程，简称为方程。这时，称方程中时间脚标的最大差为该差分方程的阶。 按此定义，n阶差分方程的一般形式为F(t,yt, yt 1, , yt n) 0(*)其中t为自变量，yt为未知函数；F(t,yt,yt i, , yt n)是t,yt,yti,yt n的已知函数关系式，且 yt与yt n一定要出现，而t, yt i, yt n i等可以不出现。教学札记注：关于差分方程及其阶数的上述两种定义不是完全等价的。3差分方程的解同微分方程一样，在实际问题中还需找出满足差分方程的函数(解差分方程)，即找出这样的函数，

4、将其带入方程中能使该方程成为恒等式，这个函数就称为该方程的解。一般地，如果函数 yt(t)满足方程(*),即F(t, (t), (t 1), (t n) 0 (t 0,1,2,)则称函数yt(t)为方程(*)的解。如果方程(*)的解中含有n (与方程的阶数相同)个相互独立的教学心得任意常数，即yt(t, Cl, C2 ,Cn)(C1,C2, ,Cn为n个相互独立的任意常数)这样的解就称为方程 (*)的通解。在通解中，当任意常数C1,C2,Cn取为确定的值而得到的相应的解，称为方程(*)的一个特解。由通解确定差分方程的具有某特点的特解，需要给出确定此特解应满足的附加条件，称为方程的初始条件4线性

5、差分方程及其解的结构?线性差分方程若(*)左端函数F为yt, yt 1, yt n的线性函数，则称此方程为n阶线性(差分)方程。一般形式为yt n ai (t) y t n 1an I(t)yt 1 an(t)yt f (t)(1)其中ai(t),an i(t),an(t)和f(t)均为自变量t的已知函数，且an(t)不恒等于零。如果f (t) 0,称(1)的相应方程yt n a1(t)yt n 1an 1(t)yt 1 an (t)yt 0(2)为n阶齐次线性差分方程，简称为齐次线性差分方程。如果f(t)不恒 等于零，称方程(1)为n阶非齐次线性差分方程，简称为非齐次线性 差分方程。并且通常

6、称方程(2)为方程(1)的对应齐次方程。如果a1(t) a1，an 1 (t) an 1, an (t) an为常数，则有方程yt n a1yt n 1 an 1yt 1 anyt f(t) (3)yt n a1yt n 1 an 1Yt 1 an yt0(4)称方程(3)为n阶常系数非齐次线性差分方程 ，方程(4)为n阶常 系数齐次线性差分方程。?齐次线性差分方程的通解结构定理8.2.1 n阶齐次线性差分方程(2) 一定存在n个线性无关 的特解.定理8.2.2 (叠加原理)如果y1(t), y2(t),yk(t)是齐次线性差分方程(2)的k个解，则它们的线性组合y 5y(t) c2y2(t)Ckyk(t)仍是差分方程(2)的解，其中C1,C2, ,Ck为k个任意常数。定理8.2.3 (通解结构定理)如果y1 (t), y2(t),yn(t)是齐次线性差分方程(2)的n个线性无关解，则差分方程(2)的通解为y(t) C1 y1 (t) c2 y2(t)Cnyn(t)教学札记其中C1,C2,cn为n个任意常数。?非齐次线性差分方程的通解结构性质1 如果(t)是非齐次差分方程(1)的解，而y(t)是其对应齐次差分方程(2)的解，则(t) y(t)也是方程(1)的解。性质2 如果丫1。)与丫2代)为非齐次差分方程(1)的解，则它们的差