点线面位置关系

1、第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第62炼点线面位置关系的判定一、基础知识（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该

2、直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（）若平面外的一条直线l与平面上的一条直线平行，则l（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（）若直线l与平面上的两条相交直线垂直，则l（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直

3、线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何平面：法向量、向量关系与线面关系的转化：设直线a,b对应的法向量为a,b，平面对应的法向量为m,n(其中a,b在外)()abab()aba幺()a()aam()mn4H()mqn、有关向量关系的结论-44()若ab,b/c，则ac平行平行一平行()若ab4/c，则f4c平行垂直一垂直()若ab,bc，则a,c的位置关系不定。、如何用向量判断位置关系命题真假444-44()条件中的线面关系翻译成向量关系()确

4、定由条件能否得到结论()将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假、典型例题:例：已知,是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，现给出下列命题:若m,n,mn，则:若m，则m；若m,m，则；若mn,m，则n/.其中正确命题的个数是()本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载昂由日者独家

5、授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载思路：为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而中m,n不一定相交。所以无法判定面面平行；为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面垂直。而中m不一定与交线垂直。所以不成立：可用向量判定，设,对应法向量为m,n，直线m方向向量为a，则条件转换为：allm,an，可推得mn，即，正确；为线面平行判定，要求n在夕卜，所以错误；综上只有个命题正确44H4-44答案：例：已知m,n,l是不同的直线，,是不同的平面，以下命题正确的是（）若mn,m,n，则；若m1,n,lm，则ln；若m,n，则m/n；若,m,n/，则m

6、n；.思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平行，例如在正方体中在平面ABCD和平面CC1D1D中，虽然AB/C1D1,但两个平面不平行，所以错误例如：平面ABCD平面ABCD,BDAC,但BD1111与AB不垂直，所以错误11考虑利用向量帮助解决：mm,nn/，所以可以推断mln，所以可得mn.考虑利用向量解决：mm,nn，由垂直关系不能推出mn，所以错误.答案：D例：对于直线m,n和平面,的一个充分条件为（）m,n,ml,nm/n,m,n/lmn,m,nmn,m,n思路：求的充分条件，即从中选出能判定的条

7、件，选项：例如正方体中的平面ABCD和平面CDDC11可知虽然AB/平面CDDC,CD平面ABCD，但这两个1111平面不平行。选项：也可利用选项的例子说明无法推出，选项可用向量模型进行分析：mnmn,mm,nn，所以可得：，即；选项可利用选项的例子：mBC,3CC1，可知叮n,m平面CDDC1，n平面ABCD，但这两个平面不平行，综上所述，只有为的一个充分条件答案：例4：给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的

8、直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）a和.和.和.和思路：分别判断四个命题：必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以错误；该命题为面面垂直的判定，正确；空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是和答案：例：已知m,n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A若m，n，则mnb若m/,n/则m/nc若m,mn，则nd若m/,mn，则n思路：选项若直线与平面垂直，则直线与这个

9、平面上的所有直线均垂直，所以正确选项可用向量判断，mm,nn，由m,n无法判断出m,n的关系，所以不能推出m/n；选项并没有说明直线n是否在平面上，所以结论不正确；选项也可用向量判断，m/m,mnmn,同理由m,mn无法判断n,的情况，所以无法推断出n，综上所述:.正确答案：A例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（）直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；直线m平面，直线nm，则n；a,b是异面直线，则存在唯一的平面，使它与a,b都平行且与a,b距离相等答案：思路：到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧

10、，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。正确，证明如下：如图，平面,A,C,B,D,且E,F分别为AB,CD的中点，过C作CGAB交于G，连接BG,GD，设H是CG的中点第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何EHBG,HFGDEHHF平面EHF/EF,EF命题中没有说明直线n是否在上，所以不正确；正确，设AB为异面直线a,b的公垂线段，E为AB中点，过E作a,b的平行线a,b从而由a,b确定的平面与a,b平行且与a,b的距离相等。所以该平面即为所求。答案：例7：下列命题正确的个数是（）若直线l上有无数个点不在平

11、面内，则l/若直线l/，则与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行若直线l/，则与平面内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1思路：“无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”即使直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内。所以不正确；若l，说明l与没有公共点，所以l与上任意一条直线m都没有公共点，但即使l,m无公共点，l,m的位置关系不只是有平行，还有可能异面，所以不正确；线面平行的前提是直线在平面外，而命题中没有说明“另一条”直线是否在平面上，所以不正确；命题可由得知，l与上任意一条直线m都没有公共点，命题正确，综上所述，正确的有

12、个答案：例：直线a,b为两异面直线，下列结论正确的是（）过不在a,b上的任何一点，可作一个平面与a,b都平行过不在a,b上的任何一点，可作一个直线与a,b都相交过不在a,b上的任何一点，可作一个直线与a,b都平行过a有且只有一个平面与b平行思路：选项中，如果0点与a确定的平面与b平行，则此平面只和b平行，a在此平面上，所以这样的P是无法作出符合条件的平面；选项由所构造出的平面可得，若过P的直线l与a相交，贝ql也在该平面上，所以l与b无公共点；若过P的直线l与b相交，则无法与本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何第

13、八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载a相交，综上所述对于这样的夕点无法作出符合条件的直线；选项如果过P的直线与a,b均平行，则由平行公理可知ab，与已知条件矛盾，所以错误；选项，如果a,b异面，则过a只能做出一个平面与b平行。在a上取A,B两点分别作b的平行线c,d，则c,d所唯一确定的平面和b平行，且a在此平面上。所以正确答案：例9：设l,m是两条异面直线，P是空间任意一点，则下列命题正确的是（）A.过P点必存在平面与两异面直线l,m都垂

14、直B.过P点必存在平面与两异面直线l,m都平行C.过P点必存在直线与两异面直线l,m都垂直D.过P点必存在直线与两异面直线l,m都平行思路：选项，若平面与l,m均垂直，则推得lm，与l,m异面矛盾；选项如果P点位于某条直线上，则平面无法与该直线平行；选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲l,m平移至共面，过P的直线只需与这个平面线面垂直，即和l,m都垂直，所以正确；选项如果直线与l,m均平行，则由平行公理可得lm，与l,m异面矛盾。所以正确答案：C例10：设l,m,n是不同的直线，,是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）A,若m/n,m/,n在外，则n/若A乙则l若八八加，则lm若A,C,

15、BDAB/CD,且AB。，则思路：选项可通过向量来判断：mnmn,mm，由此可得：n,因为n在外，所以可判定n/,正确;；选项设m,Vn，则号上所有点的投影落在m中，上所有点的投影落在n中，因为/，所以l上所有点的投影均在m,n的交点上，即l，所以正确；选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交则交线平行，所以正确；选项中若位于同侧，则命题成立；但如果位于两侧则满足条件的与相交。故不正确答案：三、历年好题精选1、（2016，山东胶州高三期末）设为不同的平面，m,n,l为不同的直线，则m的一个充分条件为（）A.人加/B.C.111mD.n2、给出下面四个命题:“直线a直线

16、b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”“直线l，平面a内所有直线”的充要条件是“l，平面”；“直线a,b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a,b不相交”;“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”.其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.3、（2016,大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面,且若ab,ac,则若a彳b，则allcaJ给出下列命题（）其中正确命题的个数为（）1个2个3个4个4、（江西中南五校联考）已知m,n是两条不同的直线，,是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若则/B,若m/n,mn则/C.若m/n,mn则/D.若m/n,m/,则n/、（

17、i宁波高三期末）已知平面与平面交于直线l且直线”直线b则下列命题错误的是（）A.若ab，且b与l不垂直，则alb.若,bl，则abC.若ab,bl，且a与l不平行，则d.若al,bl，则6、（2016,上海闸北12月月考）已知m,n是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：若垂直于同一平面，则.与平行若m,n平行于同一平面，则m与n平行若不平行，则在内不存在与平行的直线若m,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A.4B.3C.2D.17、设a,b为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中,正确的命题是（B.a/,b/,/，则a/b若a,则a乙在平面内，l在平面内，

18、l是平面与12l与l,l都相交12l与l,l都不相交12表示平面,下列说法正确的是（）A.若a,bab，则若a/,b,a/b，则8（1广东文）若直线l,l是异面直线，12平面的交线，则下列命题正确的是（）l至少与l，l中的一条相交12l至多与l，l中的一条相交129（,辽宁）已知僧，n表示两条不同的直线若m，n，则m/n若加,n，则mn若m,mn，则n若m，mn，则n第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何第八章第62炼点线面位置关系的判定立体几何本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载习题答案：1、答案：D解析：A选项若m不在上，则无法判定m；B选项：若

19、，则m，所以无法判定；C选项，如果来两两垂直，则无法判定m；D选项，如果nn,则，再由m可判定m2、答案：D解析：若平行于b所在的平面，则,b的关系为平行或异面，所以不是充要条件；由线面垂直定义可知：直线l，平面当且仅当直线l，平面a内所有直线，所以正确;中若直线,b不相交，则可能平行。所以不能得到“直线，b为异面直线”，错误;若平面平面，则内所有点到的距离相等，当内存在不共线三点到的距离相等，则两平面可能相交，这三点位于的两侧。所以“内存在不共线三点到的距离相等”是“平面平面”的必要不充分条件3、答案：C解析：当三个平面两两相交，交线平行或交于一点，所以若aA。，则三条交线交于一点，即a八cB。，若ab，则三条交线平行，ac，所以正确；当三条交线交于一点时，aHb,ac,则b,c夹角不确定，所以错误；若abac,因为b,c均在上，所以可知a，综上所述，正确4、答案：C解析：A选项：垂直同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以A错误B选项：在正方体中，右侧面的棱与底面上的棱平行，但是这两个面不平行，所以B错误C选项：将条件转化为向量：mn,m,n，可推出，即,C正确D选项：若直线n上，也满足题目条件，但n,不平行-44H4H5答案：D解析：A选项：可知a在上的投影为l，若a与l不垂直，且b与l