函数新定义综合题型

1、新定义函数综合1、对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M 0 ，对于任意的函数值 y ，都满 足 M y M ，则称这个函 数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称 为这个函数的边界值例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1（ 1）分别判断函数 y 1 x 0 和 y x 1 4 x 2 是不是有界函数？若是有界函 x数，求其边界值；（ 2）若函数 y x 1 a x b， b a 的边界值是 2，且这个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围；（ 3）将函数 y x2 1 x m， m 0 的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边 界值是t ，当 m在什么范围时，满足 3 t

2、 1？42、对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值 y，都满 足 yM ，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2（1）分别判断函数 y 1 （ x0 ）和 y=2x-3（x2） 是不是有上界函数？如x果是有上界函数，求其上确界；（ 2）如果函数 y=2x-3 （ axb, b0），若对于此函数图象上的任一两点 （x1， y1），（x2，y2），都有| y1-y2| H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常 数 H 的最小值，称为该函数的界高。例如：下面所表示的函数的界高为 4.（1）

3、若函数 y=kx+1（-2x1）的界高为 4，求 k 的值；（ 2）已知 m-2，若函数 y=x2（-2xm）的界高为 4，求实数 m 的取值范围； （3）已知 a0，函数 y=x2-2ax+3a（-2x1）的界高为 254，求 a 的值。4、设 a、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 ax b的实数 x 的所 有取值的全体叫做闭区间，表示为 a ，b 对于一个函数，如果它的自变量x与函数值 y 满足：当 m xn 时，有 my n，我们就称此函数是闭区间 m，n 上的“闭函数”（1）反比例函数 y= 2013是闭区间 1 ，2013上的“闭函数”吗？请判断并说明x理由；（2）若一次

4、函数 y=kx+b（k0）是闭区间 m，n 上的“闭函数”，求此函数的 解析式；（3）若实数 c，d满足 c2，当二次函数 y 1 x2 2x 是闭区间 c,d 上2 的“闭函数”时，求 c，d 的值。（4）若二次函数 y=1 x2 4 x 7 是闭区间 a ，b上的“闭函数”，求实数 a，b5 5 5的值5、把函数必须经过的点叫做函数的“任性点”，如 y=kx 必经过 O（0,0 ）点， 则 O 点称为函数 y=kx 的“任性点”。（1）y=k 有没有任性点，如果有求出其坐标，没有说明理由。x（2）直线 AB：y=kx+2k+4 和抛物线： y=ax2+ax+1 有没有任性点，求出其坐标；（

5、3）已知直线 AB：y=kx+2k+4与抛物线 y=1x2交于 A，B两点若在抛物线上 2存在定点 D使 ADB=90 ，求任性点 D的坐标。6、在直角坐标系中， 我们不妨将横坐标、 纵坐标均为整数的点称之为 “中国结”。（1）求函数 y= 3 x+2 的图像上所有“中国结”的坐标（2）若函数 y= k （k0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结” ，试求出x常数 k 的值与相应“中国结”的坐标。（3）若二次函数 y=（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k（k 为常数）的图像与 x 轴相交得到两个不同的“中国结” ，试问该函数的图像与 x 轴所围成的平面 图形中（含边界

6、），一共包含有多少个“中国结”？7、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（ 1， 1），（0，0），（ ， ），都是“梦之点”，显然，这样的“梦 之点”有无数个（1）若点 P（2，m）是反比例函数 y= （n 为常数， n0）的图象上的“梦之点”， 求这个反比例函数的解析式；（ 2）函数 y=3kx+s1（k，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请 求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）若二次函数 y=ax2+bx+1（ a，b 是常数，a0）的图象上存在两个不同的 “梦 之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足 2x12，

7、|x1x2|=2，令 t=b 22b+ ， 试求出 t 的取值范围8、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数y x 1，令y=0，可得 x=1，我们就说 1 是函数 y x 1 的零点。2（1）求出函数 y=2 1的零点；x（2）己知函数 y x2 2mx 2（m 3） （ mm为常数 ） 。当 m =0时，求该函数的零点；证明：无论 m 取何值，该函数总有两个零点；设函数的两个零点分别为 x1和 x2，且 1 1 1 ，此时函数图象与 x 轴的交 x1 x24点分别为 A、B（点 A在点 B左侧） ，点 M在直线 y x 10上，当 MA+MB最小时， 求直线 AM的函数解

8、析式。9、设 xi（i=1，2，3，n）为任意代数式，我们规定： y=maxx1，x2， xn 表示 x1，x2，xn 中的最大值，如 y=max1， 2=2（ 1）求 y=maxx，3；（2）借助函数图象，解不等式 maxx+1， ；2（3）若 y=max|1x|， x+a，x24x+3的最小值为 1，求实数 a 的值10、定义符号 mina，b的含义为：当 ab时，mina，b b；当 ab时， mina，b a.如：min 1， 2 2， min 1，2 1.求 min x21， 2 ；已知 minx22xk，33，求实数 k 的取值范围；已知当 2x3 时，minx22x15，m(x1

9、)x22x15.直接写出实数 m 的取值范围11、在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（a，b）和点 Q（a，b），给出如下定义：b， a 1，若 b则称点 Q 为点 P 的限变点例如：点 （2，3） 的限变点的坐标b，a2）的图象上，其限变点 Q 的纵坐标 b的取值范围是 5b2，求 k 的取值范围（3）若点 P 在关于 x 的二次函数 yx22txt2t 的图象上，其限变点 Q 的纵坐 标 b的取值范围是 bm或 bn.令 smn，求 s关于 t 的函数解 析式及 s 的取值范围12、给出如下规定：两个图形 G1和 G2，点P为G1上任一点，点 Q为 G2上任一 点，如果线段 PQ 的

10、长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1和 G2之间的 距离在平面直角坐标系 xOy 中，O为坐标原点（1）点 A的坐标为 A（1，0），则点 B（2，3）和射线 OA之间的距离为 ，点C（2，3）和射线 OA 之间的距离为 k（2）如果直线 yx 和双曲线 y x之间的距离为 2，那么 k （可在图中x 进行研究 ）（3）点 E 的坐标为（1， 3），将射线 OE 绕原点 O逆时针旋转 60，得到射线 OF， 在坐标平面内所有和射线 OE，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形 M.请在图 （b）中画出图形 M，并描述图形 M 的组成部分； （若涉及平面中某个区域 时可以用阴影表示

11、 ）将射线 OE，OF组成的图形记为图形 W，抛物线 yx22与图形 M的公共部 分记为图形 N，请直接写出图形 W和图形 N 之间的距离13、设点 Q到图形 W 上每一个点的距离的最小值称为点 Q到图形 W的距离.例 如:正方形 ABCD满足 A（1，0），B（2，0），C（2， 1），D（1，1），那么点 O（0，0）到正 方形 ABCD的距离为 1.（1）如果P是以（3，4）为圆心， 1为半径的圆，那么点 O（0，0）到P的距 离为 ；（2） 求点 M（3,0）到直线 y=2x+1 的距离； 如果点 N（0,a）到直线 y=2x+1的距离为 3，那么 a 的值是 ；（3）如果点 G（0,

12、b）到抛物线 y=x2的距离为 3，请直接写出 b 的值.14、在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y），给出如下定义：y x0如果 y ，那么称点 Q为点 P的“关联点”y x0例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（5，6）的“关联点”为点（5， 6）（1） 点（ 2，1）的“关联点”为；3 如果点 A（3，1），B（1，3）的“关联点”中有一个在函数 y x3的x 图象上，那么这个点是（填“点 A”或“点 B”）（2） 如果点 M（1，2）是一次函数 y = x + 3图象上点 M 的“关联点”， 那么点 M 的坐标为 ； 如果点 N（m+1，2）是一次

13、函数 y = x + 3图象上点 N的“关联点”，求 点 N的坐标（3）如果点 P在函数 y=-x2+4（ 2xa）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标 y 的取值范围是 4m 时， y1y2恒成立，则 m 满足的条件为 .（ 3）若 y1=ax2+bx+c （a 0和） y2=x2+n 为关于 y=x 的对称函数，且对于任意的实数 x，都有 y10）的“抛物线三角形 ”是等腰直角三角形，求 b 的 值；（3）如图， OAB是抛物线 y=x2+b（xb0）的 “抛物线三角形 ”，是否存在 以原点 O为对称中心的矩形 ABCD？若存在， 求出过 O、C、D 三点的抛物线的表 达式；若不存在，说明理由

14、19、如图 Z109，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3）， B（6，3），连接 AB. 若对于平面内一点 P，线段 AB 上都存在点 Q，使得 PQ1，则称点 P 是线段 AB 的“邻近点”7 19（1）判断点 D（57，159）是否是线段 AB 的“邻近点”（填“是”或“否” ）；（2）若点 H（m，n）在一次函数 yx1 的图象上，且是线段 AB 的“邻近点”，求 m 的取值范围；（3）若一次函数 yxb的图象上至少存在一个邻近点，直接写出 b 的取值范围20、定义：对于平面直角坐标系中的任意线段 AB 及点 P，任取线段 AB上一点 Q， 线段 PQ长度的最小值称为点 P 到线段A

15、B的距离，记作 d（PAB） 已知 O 为坐标原点， A（4，0），B（3，3），C（m，n），D（m4，n）是平面直角坐标系 中四点根据上述定义，解答下列问题：（1）A 到线段 OB的距离 d（AOB） ；已知点 G到线段 OB的距离 d（GOB） 5 ，且点 G的横坐标为 1，则点 G 的纵坐标为 当m的值变化时，点 A到动线段 CD的距离 d （ACD）始终为 2，线段 CD的中 点为 M 在图中画出点 M随线段 CD运动所围成的图形并求出该图形的面积点 E的坐标为（0，2），m0，n0，作 MHx轴，垂足为 H是否存在 m的 值，使得以 A、M、H 为顶点的三角形与 AOE相似，若存在

16、，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由21、概念： P、Q分别是两条线段 a和 b 上任意一点，线段 PQ长度的最小值叫 做线段 a 与线段 b 的距离 已知 O（0，0），A（4，0），B（m， n），C（m+4， n）是平面直角坐标系中四点（1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图 1，线段BC与线段 OA的距离是；当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC与线段 OA 的距离（即线段 AB长）为；（2）如图 3，若点 B落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC与线段 OA的距 离记为 d，求 d 关于 m 的函数解析式（3）当 m 的值变化时，动线段 BC与线段 OA 的距离

17、始终为 2，线段 BC的中点 为 M， 求出点 M 随线段 BC运动所围成的封闭图形的周长； 点 D 的坐标 为（0，2），m0，n0，作 MNx轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A、M、 H为顶点的三角形与 AOD相似？若存在，求出 m 的值；若不存在 请说明理由22、在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，P是坐标系内任意一点，点 P 到O的距离 Sp的定义如下：若点 P 与圆心 O 重合，则 Sp为 O的半径长；若 点 P与圆心 O 不重合，作射线 OP交O 于点 A，则 Sp为线段 AP的长度 图 1 为点 P在O 外的情形示意图1（1）若点 B1,0 ，C1,1 ，D

18、0, ，则SB _； SC _； SD _；3（2）若直线 y=x+b上存在点 M，使得 SM=2，求 b的取值范围；（3）已知点 P，Q在x轴上，R为线段 PQ上任意一点若线段 PQ上存在一点 T， 满足 T在O内且 STRS，直接写出满足条件的线段 PQ长度的最大值23、定义:对于平面直角坐标系 xOy中的线段 PQ和点 M，在MPQ中，当 PQ边 上的高为 2时，称 M 为 PQ的“等高点”，称此时 MP+MQ为 PQ的“等高距离” （1）若 P（1，2）， Q（4，2） 在点 A（1，0），B（ 5 ，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是；2 若 M（t，0）为PQ的“等高点”，求 PQ的“等高距离”的最小值及