变异数分析与实验设计

1、变异数分析与实验设计第1页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二第 13 章變異數分析與實驗設計變異數分析介紹變異數分析：檢定 k 個母體平均數是否相等 多重比較程序實驗設計介紹完全隨機設計隨機區集設計因子實驗第2页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異數分析(ANOVA)可用來檢定三個或三個以上得自觀察型或實驗型研究的資料母體平均數是否相等。我們可以使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定。如果拒絕 H0 ， 我們不能下結論說所有的母體平均數都不相等。拒絕 H0 意指至少有兩個母體平均數不相等。H0：1=2=3=. . . = k Ha：所有母體平均數不全相

2、等變異數分析介紹第3页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異數分析的假設每個母體之反應變數均呈常態分配。所有反應變數的變異數，記為 2 ，均相等。由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。第4页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異數分析：檢定 k 個母體平均數是否相等母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理內估計值比較變異數之估計值：F 檢定ANOVA 表第5页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二2 之處理間估計值的概念，稱之為處理間均方(MSTR)。MSTR 的分子稱為處理間平方和(SSTR)。MSTR 的分母為 SSTR 的自由度。母體變

3、異數之處理間估計值第6页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二共同變異數 2 之處理內估計值的概念，稱之為誤差均方(MSE)。MSE 的分子稱為誤差平方和(SSE)。MSE 的分母為 SSE 的自由度。母體變異數之處理內估計值第7页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二比較變異數之估計值：F 檢定若虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從 MSTR 自由度為 k - 1，MSE 自由度為 nT k 的 F 分配。如果 k 個母體平均數不全相等，則因 MSTR 高估 2 ，MSTR/MSE 值將提高。因此，當 MSTR/MSE之值太

4、大，使其不似來自 F 分配時，我們將拒絕H0 。第8页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二假設檢定統計量拒絕法則其中 F 值係由分子自由度 k -1，分母自由度 nT - k 之F分配查表而得。若 F F，拒絕 H0F = MSTR/MSEH0 ：1=2=3=. . . = k Ha ：所有母體平均數不全相等檢定 k 個母體平均數是否相等第9页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二此圖顯示顯著水準為 時的拒絕域，其中 F 為臨界值。MSTR/MSE之抽樣分配不拒絕 H0拒絕 H0MSTR/MSE臨界值F第10页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星

5、期二變異來源 平方和 自由度 均方 F處理 SSTR k - 1 MSTR MSTR/MSE誤差 SSE nT - k MSE總和 SST nT - 1SST 除以它的自由度nT - 1 ，即為總樣本異變數，其為將nT 個觀察值視為同一組樣本計算而得。ANOVA表第11页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二範例變異數分析國家電腦產品公司(NCP)係生產印表機與傳真機的公司，它在亞特蘭大、達拉斯、西雅圖三地均設有工廠。為瞭解到底有多少員工知道全面品管的概念，我們從每間工廠各隨機選取 6 名員工參加品質認知測驗。18名員工的測驗成績及各個工廠的樣本平均數、樣本變異數及樣本標準差均

6、列於表13.1。第12页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異數分析 廠 1 廠2 廠3 觀察值亞特蘭大 達拉斯 西雅圖 1 85 71 59 2 75 75 64 3 82 73 62 4 76 74 69 5 71 69 75 6 85 82 67 樣本平均數 79 74 66 樣本變異數 34 20 32 樣本標準差 5.83 4.47 5.66範例第13页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異數分析虛無與對立假設H0: 1= 2= 3Ha:所有母體平均測驗成績不全相等 其中： 1 = 母體1平均測驗成績 2 = 母體2平均測驗成績 3 = 母體3

7、平均測驗成績範例第14页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異數分析處理間均方 因為樣本數均相同 x = (79 + 74 + 66)/3 = 73 SSTR = 6(79 - 73)2 + 6(74 - 73)2 + 6(66 - 73)2 = 516 MSTR = 516/(3 - 1) = 258誤差均方 SSE = (6 1)34 + (6 1)20 + (6 1)32 = 430 MSW = 430/(18 - 3) = 28.67=範例第15页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異數分析F 檢定假設虛無假設為真，此時MSTR與MSE為兩個相互

8、獨立的 2 之不偏估計值。第11章曾提及，對一個常態分配母體而言，兩個相互獨立的母體變異數 2 之估計值的比，所形成的抽樣分配必服從 F 分配。因此，若虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從分子自由度為 k 1 ，分母自由度為n k 的 F 分配。拒絕法則 若 F = MSTR/MSE 3.68，則拒絕 H0 範例第16页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二範例變異數分析檢定統計量 F = MSB/MSW = 258/28.67 = 9.00結論由於 F = MSTR/MSE = 258/28.679.00大於臨界值 F = 3.68。因此，

9、我們有充分的證據拒絕三個母體平均數相等的虛無假設。換言之，變異數分析支持NCP公司中，三家工廠平均測驗成績不全相等之結論。第17页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異數分析ANOVA 表 變異來源 平方和 自由度 均方 F 處理 516 2258.00 9.00 誤差 430 15 28.67 總和 946 17範例第18页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二費雪 LSD 程序假設變異數分析已提供拒絕母體平均數相等之虛無假設的統計證據。此時，費雪最低顯著差異 (LSD) 程序可用以決定哪些母體平均數間存在差異。第19页，共46页，2022年，5月20日，

10、5点16分，星期二假設檢定統計量拒絕法則其中 ta/2 值係查自由度為 nT k 之 t 分配表而得。若 t ta/2，拒絕 H0費雪 LSD 程序H0: i = jHa: i j第20页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二假設檢定統計量拒絕法則其中以檢定統計量 xi xj 為基礎之費雪 LSD 程序_H0: i = jHa: i j若 |xi - xj| LSD ，則拒絕 H0_xi - xj_第21页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二費雪 LSD假設 = 0.05, 虛無與對立假設 (1) H0: 1 = 2 Ha: 1 2統計檢定量 |x1 - x2

11、| = |79 - 74| = 5結論我們無法下亞特蘭大之平均測驗成績與達拉斯之平均測驗成績不相等之結論。_範例第22页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二費雪 LSD虛無與對立假設 (2) H0: 1 = 3 Ha: 1 3統計檢定量 |x1 - x3| = |79 - 66| = 13結論由於此值大於6.59，我們可以拒絕亞特蘭大廠與西雅圖廠之平均測驗成績相等之假設。_範例第23页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二費雪 LSD虛無與對立假設 (3) H0: 2 = 3 Ha: 2 3統計檢定量 |x2 - x3| = |74 - 66| = 8結論由於

12、母體2與母體3的樣本平均數差為 8 6.59，我們也拒絕達拉斯廠與西雅圖廠之平均測驗成績相等之假設。_範例第24页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二實驗設計介紹統計研究可分為實驗型與觀察型兩類。在實驗型研究中，控制研究中另一個或更多個其他因素，即可獲得這些因素如何影響欲探討變數之資料。在觀察型研究中，我們不需控制因素。在觀察型研究中建立因果關係較實驗型研究困難。第25页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二實驗設計介紹因素是實驗中選取之欲探討變數。處理是因素之水準。實驗單位是在實驗中欲研究之主體。完全隨機設計是每個處理被隨機指派給實驗單位之實驗設計。如果實驗

13、單位性質互異，區集的方法可使其同質化，即隨機區集設計。第26页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二完全隨機設計母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理內估計值比較變異數估計值：F 檢定ANOVA 表兩兩比較第27页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二實驗設計中，2 的處理間估計值稱為處理間均方(MSTR)。計算 MSTR 的公式如下：其分子稱為處理間平方和 (SSTR)。其分母 k - 1 為 SSTR 的自由度。母體變異數之處理間估計值第28页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二2 的第二個估計值為處理內估計值，稱為誤差均方(MSE)。

14、計算 MSE 的公式如下：其分子稱為誤差平方和(SSE)。其分母 nT k 為 SSE 的自由度。母體變異數之處理內估計值第29页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 變異來源 平方和 自由度 均方 F 處理 SSTR k - 1 誤差 SSE nT - k 總和 SST nT - 1完全隨機設計之 ANOVA 表第30页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二範例Chemitech公司發展出一套新的自來水過濾系統。過濾系統之零件必須向幾個供應商購買，Chemitech公司將在位於南卡羅萊納州哥倫比亞市的工廠組裝這些零件。工業工程部門則須負責決定此套新過濾系統的

15、最佳組裝方式。在考慮很多可行的組裝方式後，工業工程部門選出三種較佳的方法：方法A、B及C。這些方法在組裝產品的先後次序上有所差異。Chemitech公司的管理者希望能知道哪種組裝方式可在一星期內生產最多的過濾系統。第31页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二範例 方法 觀察值 A B C 1 58 58 48 2 64 69 57 3 55 71 59 4 66 64 47 5 67 68 49 樣本平均數 62 66 52 樣本變異數 27.5 26.5 31.0 樣本標準差 5.24 5.15 5.57第32页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二完全隨機

16、設計虛無與對立假設H0: 1=2=3Ha: 所有母體平均數不全相等 其中： 1 = 方法 A 平均每星期產量 2 = 方法 B 平均每星期產量3 = 方法 C 平均每星期產量範例第33页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二完全隨機設計處理間均方因為樣本數均相同 x = (x1 + x2 + x3)/3 = (62 + 66 + 52)/3 = 60SSTR = 5(62 - 60)2 + 5(66 - 60)2 + 5(52 - 60)2 = 520 MSTR = 520/(3 - 1) = 260均方誤差 SSE = 4(27.50) + 4(26.5) + 4(31) =

17、 340MSE = 340/(15 - 3) = 28.33=_範例第34页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二完全隨機設計拒絕法則假設 = 0.05, F0.05 = 3.89假設F 3.89，則拒絕 H0 檢定統計量 F = MSTR/MSE = 260/28.33 = 9.18結論由於 F 之觀察值大於臨界值，因此，我們拒絕虛無假設，得到母體平均數不全相等之結論。範例第35页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二完全隨機設計ANOVA表 觀察來源 平方和 自由度 均方 F 處理 520 2 260.00 9.18 誤差 340 12 28.33 總和 8

18、60 14範例第36页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二隨機區集設計ANOVA 程序計算與結論第37页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二隨機區集設計之 ANOVA 程序將總平方和(SST)分割為三部分：處理間平方和、區集造成的平方和及誤差平方和。公式如下：總自由度 nT 1 為處理之自由度 k - 1 、區集之自由度 b 1 及誤差項之自由度 (k - 1)(b - 1) 之和。SST = SSTR + SSBL + SSEANOVA 程序第38页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二變異來源 平方和 自由度 均方 F處理 SSTR k

19、- 1 區集 SSBL b - 1誤差 SSE (k - 1)(b - 1)總和 SST nT - 1隨機區集設計之 ANOVA 表第39页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二範例一項測量空中交通管制員的疲累與壓力的研究，建議應修改並重新設計管制員的工作站。在考量數個工作站的設計案後，我們選出其中三個可降低管制員壓力的較佳方案。現在面對的主要問題為：這三個方案對管制員壓力的影響程度為何？為解答此問題，我們需先設計一個實驗，以測量在3個設計案下，空中管制員的壓力。第40页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二 管制員 處理 (區集) 系統A 系統B 系統C 區集平均數 1 15 15 18 16.0 2 14 14 14 14.0 3 10 11 15 12.0 4 13 12 17 14.0 5 16 13 16 15.0 6 13 13 13 13.0 處理平均數 13.513.0 15.5範例第41页，共46页，2022年，5月20日，5点16分，星期二範例隨機區集設計處理間均方樣本平均數是 14，因此SSTR = 6(13.5 - 14)2 + (13