电动力学必考题

1、人挪活树挪死电动力学必考题第一章电磁现象的普遍规律例题（课本P7）电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E,并沿径向。1）当ra时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得4ker302)若ra,则球面所围电荷为4兀r3p=兀r3334兀a3/3Qr3应用高斯定理得(ra)EQr4兀8a30(ra时480rVr3V-E=QV-r当rva时4兀8a3根据算符V的微分性与向量性，推导下列公式：V(A-B)=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)BAx(VxA)=+V

2、A2-(AV)A2解：(1)V(A-B)=V(A-B)+V(B-A)cc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)Bcccc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)B(2)在(1)中令A=B得：V(A-A)=2Ax(VxA)+2(A-V)A，所以Ax(VxA)=十V(A-A)-(A-V)A2即Ax(VxA)=十VA2-(A-V)A2设u是空间坐标x,y,z的函数，证明：dAVxA(u)=VuxduVf(u)=dfVu,V-A(u)=Vu-dudu证明:df(u)df(u)(1)Vf(u)=e+-dxxdf/du=(edudxxdA(u)(2)V-A(u)=xd

3、xdAxedux=dfduezdudxdf(u)+edzduvV+e)=Vudzzedyydu+e一,dyydzzdudA(u)dA(u)dAdu+idydA+aeduy+笑包e+df屯edudyydudzz+z-dz+ze)-(e+eduzdxxdyyx+-dudxdududAdudAduy+zdudydudzdudA+e)=Vu-dzzduVux=dueydu/dydA/duydAxzdudzxdudzdudxdA(u)dA(u)dA(u)_,rye+xze+dzxdzdxydxexdu/dxdA/duxdAdu、.y)e+(dudzxezdu/dzdA/duzdudAdu、/z)e+(:

4、ydAdudAdu.yx)edudxdudyzdA(u)dA(u)_,yxedyz=VxA(u)第二章静电场1.一个半径为R的电介质球，极化强度为P=Kr/r2，电容率为e计算束缚电荷的体密度和面密度：计算自由电荷体密度；计算球外和球内的电势；求该带电介质球产生的静电场总能量解：(1)P=V-P=KV-(r/r2)=K(1/r2)V-r+r-V(1/r2)=K/r2pb=n-(PP)=e-P|=K/RP21rr=RD=eE+P=Pe/(ee)TOC o 1-5 h z内00P=V-D=eV-P/(ee)=eK/(ee)r2f内00E=D/e=P/(ee)内内0PdVE=fe夕卜e4兀er2r0

5、0申=jsE-dr=夕卜r夕卜e(ee)r申=JRE-dr+内r内Re(e0eKR外-dr=eKRee)r2r0KcRe(In+)ere0018K2R4Kr2dr182K2R2-EdV=JR+2(8-8)20r228(88)200亠卜4兀r2drrr4=2ksR(1+)()288-80011.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图)，半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b(ba)，试用电象法求空间电势。解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。q=-q,1bQ3=-Q申=1Ta2r

6、=e1b=-be，所以z1；Q=Jq，r=-牛e；z2b2bzQ-QOaQbabQ4兀80vR2+b2一2Rbcos0-.+汝2+b2+2Rbcos0b；R2+a4a2_+2Rcos0b2bbR2+聖-2聖Rcos0b2b这说明两者之差是无旋场第四章(00a)例一、有一平面电磁波，其电场强度为E(x,t)=100兀eei(兀x102z2兀x1061)x(1)判断电场强度的方向和波传播的方向;(2)(3)确定频率、波长和波速；若介质的磁导率卩=4kx10-7(，求磁场强度;(4)求在位时间内从一个与xy平面平行的单位面积通过的电磁场能量。解：(1)(2)E沿x轴方向振荡，kx=kz，k=2兀x1

7、0-2，沿z方向传播。=2kx106，f=106(Hz)，九=102(m)，2kk(3)100兀EEB=V，B=吨，所以H=乔，从而H0=4kx10-7x108=2.5所以H=2.5eeiCnx10-2z-2kx106t)y-*(H与E同位相同频率，与k垂直且与E垂直，故它在y轴方向)。(4)考虑S:单位时间垂直通过单位横向截面的能量，S=vwB2w=sE2=pH2=2510（J）。第六章狭义相对论设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为，它们以相同速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：根据相对论速度交换公式可得Z系相对于2

8、的速度大小是21TOC o 1-5 h zV=2v/（1+V2/C2）（1）在2系中测量2系中静长为0L的尺子的长度为12（I=LH-V2/C2（2）0将（1）代入（2）即得：/=/（1-V2/C2）/（1+V2/C2）（3）0此即是在2系中观测到的相对于2静止的尺子的长度。12静止长度为10的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：根据题意取地面为参考系S，车厢为参考系S,于是相对于地面参考系S,车长为/=/1-V2/c2，（1）0车速为V，球速为U=（u+V）/（1+UV/C2）（2）00所以在地面参考系S中观察小球由车后壁到车前壁uAt=vAt+/所以At=I/（u-v）（3）将（1）（2）代入（3）得：At=L0（1U0v/c2）（4）U1V2/c206.在坐标系E中，有两个物体都以速度u沿x轴运动，在E系看来，它们一直保持距离/不变，今有一观察者以速度V沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为E系，又取固着于AB两物体的参考系为E系在E中,AB以速度u沿x轴运动，相