高中数学《函数的应用》专题训练30题（含解析）

1、试卷第 =page 37 37页，共 =sectionpages 38 38页试卷第 =page 38 38页，共 =sectionpages 38 38页高中数学函数的应用专题训练30题（含解析）1已知定义域为,对任意,都有,当时, ,.（1）求;（2）试判断在上的单调性,并证明;（3）解不等式:.【答案】（1）（2）在上单调递减，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）令，得，令，得，即可求解的值；（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数为上单调递减函数，得到结论. （3）令，得，进而化简得，再根据函数的单调性，得到不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，令，得，解得令，得，所以. （2

2、）函数在上单调递减，证明如下：任取，且，可得，因为，所以，所以即，所以在上单调递减. （3）令，得，又在上的单调且，.，即不等式解集为.【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值问题，以及函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟练应用抽象函数的赋值法求值，以及熟记函数的单调性的定义证明及应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.2如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为

3、AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【解析】【分析】解：解法一：（1）过A作，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别

4、确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离【详解】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PBAB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综

5、上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在中，.由上可知，d15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OHl，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3

6、.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为.因为PBAB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=45，所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处，连结AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当OBP90时，在中，.由上可知，d

7、15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.3围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口

8、，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（）将y表示为x的函数；（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【答案】（）y=225x+（）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元【解析】【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出

9、修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m则45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）当且仅当225x=时，等号成立即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元考点：函数模型的选择与应用4经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以（单位：t，100150)表示下一个销售季度内

10、的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（）将T表示为的函数；（）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.【答案】（）（）0.7【解析】【详解】试题分析：（I）由题意先分段写出，当X100，130）时，当X130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120X150再由直方图知需求量X120，150的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值解：（I）由题意得，当X100，130）时，T=500X300（130X）=800X39000，当

11、X130，150时，T=500130=65000，T=（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120X150由直方图知需求量X120，150的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7考点：频率分布直方图5已知函数，其中，为自然对数的底数.（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有零点，求的取值范围【答案】（）当时， ；当 时， ； 当时， .（） 的范围为.【解析】【详解】试题分析：（）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函

12、数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（）当时，所以.当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以.（）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点. 由（）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.当时，在

13、上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有.解得.当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，故在内有零点.综上可知，的取值范围是.【考点定位】导数的应用及函数的零点.62020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动

14、，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）； （2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【解析】（1）根据题意时，求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费

15、，即可求解. （2）由（1），利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，当时，（万件），则，解得，.所以每件产品的销售价格为（元），2018年的利润.（2）当时，当且仅当时等号成立.，当且仅当，即万元时，（万元）.故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.7已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴（1）求函数的解析式；（2）在中，角、所对的边分别为、，且，若角满足，求的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸

16、长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，且函数在内恰有个零点，求常数与的值【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，令，得

17、，由于直线为函数的一条对称轴，所以，得，由于，则，因此，；（2），由三角形的内角和定理得，.，且，.，由，得，由锐角三角函数的定义得，由正弦定理得，且，.，因此，的取值范围是；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，令，可得，令，得，则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无

18、实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，得.综上所述：，.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.8已知函数，对任意a，恒有，且当时，有求；求证：在R上为增

19、函数；若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围【答案】（）； （）见解析； （）.【解析】【分析】根据题意，由特殊值法分析：令，则，变形可得的值，任取，且设，则，结合，分析可得，结合函数的单调性分析可得答案；根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案【详解】根据题意，在中，令，则，则有；证明：任取，且设，则，又由，则，则有，故在R上为增函数根据题意，即，则，又由，则，又由在R上为增函数，则，令，则，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，令，只需，而，当时，则故t的取值范围是【点睛】本题考查函数的

20、恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题9运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【答案】(1) yx，x50，100 (或yx，x50，100).(2) 当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2

21、6元.【解析】【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.【详解】(1)设所用时间为t (h)，y214，x50，100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50，100(或yx，x50，100).(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立.故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.【点睛】本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.10设函数（R）（1）求函数在R上的最小值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求

22、的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值；（2）恒成立需要保证即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到的范围；（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围.【详解】解：（1）令，则，对称轴为，即，即，即，综上可知，（2）由题意可知，的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有故（3）令，由题意可知，当时，有两个不等实数解，所以原题可转化为在内有两个不等实数根所以有【点睛】（1）三角函数中，形如或者都可以采用换元法求解函数最

23、值；（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.11已知函数，（，且）.（1）求的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）对于，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）定义域为；奇函数;（2）时，；时，.【解析】【分析】（1）由对数的真数大于0，解不等式可得定义域；运用奇偶性的定义，即可得到结论；（2）对a讨论，结合对数函数的单调性，以及参数分离法，二次函数的最值求法，可得m的范围【详解】（1）由题意，函数，由，可得或，即定义域为；由，即有，可得为奇函数；2对于，恒成立，可得当时，由可得的最小值，由，可得时，y取得最小值8，则，当时，由可得

24、的最大值，由，可得时，y取得最大值，则，综上可得，时，；时，【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及对数的运算性质和二次函数的图象与性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.12已知函数的图象过点，.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为

25、函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，令，得，设，则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，所以，解得，因为，所以的取值为2或3.（3）因为且，所以且，因为，所以的最大值可能是或，因为所以，只需，即，设，在上单调递增，又，即，所以，所以m的取值范围是.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设

26、条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.13已知函数. （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若的最小值为，求实数的值；（3）若对任意的，均存在以，为三边长的三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】分析：（1）问题等价于恒成立，分类参数后转化为求函数的最值即可；（2）由，令，分 三种情况进行讨论求出的最小值，令其为，即

27、可求出的值.（3）由题意对任意恒成立，当时容易判断，当时转化为函数的最值问题即可求解.详解：（1）（2），令，则，当时，无最小值，舍去；当时，最小值不是，舍去；当时， ，最小值为，综上所述，.（3）由题意，对任意恒成立.当时，因且，故，即；当时，满足条件；当时，且，故，；综上所述，.点睛：本题考查了复合函数额单调性、函数的恒成立问题、函数的最值等问题的综合应用，着重考查了转化思想方法和函数性质的综合应用，试题综合性强，难度较大，同时主要函数恒成立问题求解方法中，通常利用分类参数转化为函数的最值求解.14已知函数（1）若，求函数的零点；（2）若在恒成立，求的取值范围；（3）设函数，解不等式.【答

28、案】(1)1；(2) (3)见解析【解析】【分析】（1）解方程可得零点；（2）恒成立，可分离参数得，这样只要求得在上的最大值即可；（3）注意到的定义域，不等式等价于，这样可根据与0，1的大小关系分类讨论【详解】（1）当时， 令得，函数的零点是1（2）在恒成立，即在恒成立， 分离参数得：， ，从而有：.（3） 令，得，因为函数的定义域为，所以等价于 （1）当，即时，恒成立，原不等式的解集是 （2）当，即时，原不等式的解集是 （3）当，即时，原不等式的解集是 （4）当，即时，原不等式的解集是综上所述：当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是【点睛】本

29、题考查函数的零点，考查不等式恒成立问题，考查解含参数的一元二次不等式其中不等式恒成立问题可采用参数法转化为求函数的最值问题，而解一元二次不等式，必须对参数分类讨论，解题关键是确定分类标准解一元二次不等式的分类标准有三个方面：一是二次的系数正负或者为0问题，二是一元二次方程的判别式的正负或0的问题，三是一元二次方程两根的大小关系15已知是定义域为的奇函数，当时，.(1)写出函数的解析式；(2)若方程恰3有个不同的解，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设，则有0，利用可求得，然后写出完整的函数式；（2）作出函数的图象，确定的极值和单调性，由图象与

30、直线有三个交点可得的范围【详解】解：(1)当时，是奇函数，.(2)当时，最小值为；当，最大值为.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程恰有个不同的解，则的取值范围是.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围16设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数

31、在给定区间上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；（2）设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围.试题解析：（1）当时，故其对称轴为.当时，.当时，.当时，.综上，（2）设为方程的解，且，则.由于，因此.当时，由于和，所以.当时，由于和，所以.综上可知，的取值范围是.考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.17已知函数，且函数是偶函数，设(1)求的解析式；(2)若不等式0在区间(1，e2上恒成立，求实数的取值范围；(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围【答案】(1)

32、；(2) ；(3) .【解析】【分析】（1）对称轴为，对称轴为，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数，转化为求函数的最值；（3）令为整体，转化为二次函数根的分布问题求解.【详解】(1) 函数的对称轴为，因为向左平移1个单位得到，且是偶函数，所以 ，所以.(2) 即又 ，所以，则因为，所以实数的取值范围是.(3) 方程即 化简得令，则若方程有三个不同的实数根，则方程必须有两个不相等的实数根 ，且或，令当时，则，即 ，当时， ，舍去，综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查求函数解析式，函数不等式恒成立及函数零点问题. 函数不等式恒成立通常采用参数分离法；函数零点问题要结合函数与方程的关系求解.

33、18已知函数是定义域为的奇函数，当时，.（1）求出函数在上的解析式；（2）画出函数的图像，并写出单调区间；（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）图见解析，在上单调递增，在上单调递减.（3）【解析】【分析】（1）通过由于函数是定义域为的奇函数，则；当时，利用是奇函数，求出解析式即可 （2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间（3）利用函数的图象，直接观察得到的范围即可【详解】（1）由于函数是定义域为的奇函数，则； 当时，因为是奇函数，所以 所以 综上： （2）图象如下图所示： 单调增区间：单调减区间： （3）因为方程有三个不同的解，由

34、图像可知， ，即【点睛】本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，函数图象的画法，考查计算能力19已知函数(为常数，).（1）讨论函数的奇偶性；（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；（2）当函数为偶函数时，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围【详解】（1）函数的定义域为，又当时，即时，可得即当时，函数为偶函数；当时，即时，可得即当时，函数为奇函数.（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，即时，由题可得，令，则有，又，当且仅当

35、时，等号成立根据对勾函数的性质可知，即此时的取值不存在；此时，可得的取值为综上可得【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令，则方程化简为，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题20已知函数，其中常数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在

36、上至少含有30个零点，则的最小值为【考点定位】考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题21已知向量.（1）求函数f（x）的单调增区间.（2）若方程上有解，求实数m的取值范围.（3）设，已知区间a，b（a，bR且ab）满足：yg（x）在a，b上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的a，b中求ba的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据数量积运算和倍角公式、辅助角公式，求出.令，求出的取值范围，即得函数的单调递增区间；（2）由（1）知.当时，求得.令，则方程在上有解，即方程在上有解，即求实数的取值范围；（3）求出函数的解析式，令，得零点的值，可得零点间隔依

37、次为和.若最小，则均为零点，结合函数在上至少含有100个零点，求得的最小值.【详解】（1），.令，得，函数的单调递增区间为.（2）由（1）知.，即.令，则.方程在上有解，即方程在上有解.又在上单调递增，在上单调递减，即.实数的取值范围为.（3）.令，得或，或.函数的零点间隔依次为和.若最小，则均为零点.函数在上至少含有100个零点，.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、函数与方程及函数的零点，属于难题.22已知，当时，.（）若函数过点，求此时函数的解析式；（）若函数只有一个零点，求实数的值；（）设，若对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围.【答案】（）；（

38、）或；（）【解析】【详解】试题分析：（）将点 代入可得函数的解析式；（）函数有一个零点，即 ，根据对数运算后可得 ，将问题转化为方程有一个实根，分 和 两种情况，得到 值，最后再代入验证函数的定义域；（）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值 整理为 ，对任意 恒成立， 时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解 的取值范围.试题解析：（）函数过点， ， 此时函数（）由得，化为，当时，可得，经过验证满足函数只有一个零点； 当时，令解得，可得，经过验证满足函数只有一个零点， 综上可得：或.（）任取且，则，即，在上单调递减. 函数在区间上的最大值与最小值

39、分别为，整理得对任意恒成立， 令，函数在区间上单调递增， ，即，解得，故实数的取值范围为.【点睛】本题以对数函数为载体，考查了函数的零点，单调性，最值，恒成立问题，以及转化与化归的能力，综合性比较高，最后一问转化为了二次函数的问题，所以需熟练掌握二次函数的恒成立问题.23提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数

40、（1）当0 x200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（1）（2）3333辆/小时【解析】【详解】（1）由题意：当0 x20时，v（x）=60；当20 x200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（2）依题并由（1）可得当0 x20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为6020=1200当20 x200时，当且仅当x=200 x，即x=100时，等号成立所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200

41、上取得最大值综上所述，当x=100时，f（x）在区间0，200上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时答：（1）函数v（x）的表达式（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时24已知点,是函数图象上的任意两点,且角的终边经过点,若时,的最小值为（1）求函数的解析式；（2）若方程在内有两个不同的解,求实数的取值范围【答案】(1)；(2) 或.【解析】【分析】(1)由角的终边经过点可得，由时,的最小值为可得周期，即得，即可求出函数的解析式；（2）先解得在的值域，将问题转化成一元二次方程在给定的范围内解

42、的个数问题，再将一元二次方程个数问题转化成二次函数与直线交点为个数问题，可解得的值.【详解】（1）角的终边经过点，由时,的最小值为，得，即，(2），设，问题转化研究方程在（0，2）内解的情况当时方程在（0，2）内解只有一个，对应x的解有两个m的取值范围是：或.【点晴】本题考查三角函数的定义、三角函数解析式以及根据函数零点求参数，考查了转化与化归的思想，以及数形结合解决问题的能力本题属于难题.25我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产

43、1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时

44、，年利润为704万美元.所以，解得，当时， ，当时， .所以（2）当时， ，所以；当时， ，由于，当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.综合知，当，取得最大值为6104万美元.【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解26已知函数.（1）若，求函数的所有零点；（2）若，证明函数不存在的极值.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（

45、1）首先将代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到（当且仅当时取等号），从而得到函数在单调递增，至多有一个零点，因为，是函数唯一的零点，从而求得结果；（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到在上单调递增，从而证得结果.【详解】（1）解：当 时，函数的定义域为， 且设，则 当时，；当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，（当且仅当时取等号）即当时，（当且仅当时取等号）所以函数在单调递增，至多有一个零点. 因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有 （2）证法1：因为，函数的定义域为，且 当时

46、， 由（1）知即当时，所以在上单调递增 所以不存在极值证法2：因为，函数的定义域为 ，且 设，则 设 ，则与同号当 时，由， 解得， 可知当时，即，当时，即，所以在上单调递减，在上单调递增 由（1）知则所以，即在定义域上单调递增 所以不存在极值【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.27如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞

47、行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】（1）炮的最大射程是10千米（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标【解析】【详解】试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解试题解析：（1）令y0，得kx （1k2）x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米（2）因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka （1k2）a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式（20a）24a2（a264）0a6.所以当a不超过6（千米）时，可击中目标考点：函数模型的选择与应用28因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人