因式分解精选例题

1、因式分解例题讲解及练习【例题精选】：（1）5x2y15x3y220 x2y3，评析：先查各项系数（其它字母暂时不看）确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。解：5x2y15x3y220 x2y3=5x2y(13xy4y2)（2）3x2y12x2yz9x3y2评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y解:3x2y12x2yz9x3y2=(9x3y212x2yz3x2y)=3(3x3

2、y24x2yzx2y)=3x2y(3xy421)（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)评析：在本题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)（4）（4）把32x3y42x3分解因式评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式解：32x3y42x3=2x3(16y41)=2x3(4y21)(4y21)=2x3(2

3、y1)(2y1)(4y21)（5）（5）把x7y2xy8分解因式评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作(x3)2(y3)2用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。对于x6-y6也可以变成(x2)3(y2)3先运用立方差公式分解，但比较麻烦。解：x7y2xy8=xy2(x6-y6)=xy2(x3)2(y3)2=xy2(x3y3)(x3y3)=xy2(xy)(x2xyy2)(xy)(x2xyy2)（7）（7）把2分解因式（6）把(xy)212(xy)z36z2分解因式评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平

4、方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a，（6Z）换公式中的解：(xy)212(xy)z36z2=(xy)22(xy)(6z)(6z)2=(x+y-6z)21(x22y2)22(x22y2)y22y4评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。1解：21=21=21=2(x22y2)22(x22y2)y22y4(x22y2)22(x22y2)2y2(2

5、y2)21(x22y22y2)2(x24y2)22(x2y)2(x2y)2（8）（8）分解因式a2-b2-2b-1评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。解：a2-b2-2b-1=a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=a+(b+1)a-(b+1)=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。（9）（9）把a2-ab+ac-bc分解因式解法一：a2-ab+a

6、c-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a-b)(a+c)（10）（10）把2x22xy3x3y分解因式解法一：2x22xy3x3y=(2x22xy)(3x3y)2x(xy)3(xy)(xy)(2x3)解法二：2x22xy3x3y=(2x23x)(2xy3y)x(2x3)y(2x3)(2x3)(xy)（说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。2）题解法一1：1，解法二也是1：1；（3）题解

7、法一是1：1，解法二是2：（-3）(11)分解因式x3x2x1评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组解法一：x3x2x1=(x3x2)(x1)x2(x1)(x1)=(x1)(x21)(x1)(x1)(x1)(x1)2(x1)解法二：x3x2x1=x3x(x21)x(x21)(x21)=(x21)(x1)(x1)(x1)(x1)(x1)2(x1)解法三：x3x2x1=(x31)(x2x)(x1)(x2x1)x(x1)=(x1)(x2x1x)(x1)(x22x1)(x1)(x1)2（12）（12）分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)

8、+c2评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c2=(a-b)2-2c(a-b)+c2-1=(a-b)-c2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式8a2-5ab-42b28a-21b解：8a2-5ab-42b2a+2b=(8a-21b)(a+2b)-21ab+16ab=-5ab（14）（14）分解因式a6-10a3+16解：a6-10a3+16a3-2=(a3-2)(a3-8)a3-8=(a3-2)(a-2)(a2+2a+4)-8a3-2a3=-10a3（15）（15）分

9、解因式-x2+x+30解：-x2+x+30（先提出负号）x+5=-(x2-x-30)x-6=-(x+5)(x-6)+5x-6x=-x（16）（16）分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7解：12(x+y)2-8(x+y)-72(x+y)+1=2(x+y)+16(x+y)-76(x+y)-7=(2x+2y+1)(6x+6y-7)-14+6=8（17）把x3y3x2xyy2分解因式评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是x3y3按立方差公式分解后的一个因式：解：x3y3x2xyy2=(x3y3)(x2xy

10、y2)=(xy)(x2xyy2)(x2xyy2)=(x2xyy2)(xy1)（18）（18）把x2y2z22yz2x1分解因式评析：把x22x1看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。解：x2y2z22yz2x1=(x22x1)(y22yzz2)=(x1)2(yz)2=(x1yz)(x1yz)（19）分解因式(x2x1)(x2x2)6评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是x2x这一显著特点，我们不妨设x2x=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分

11、解为（a+4）（a-1）解：(x2x1)(x2x2)6=(x2x)23(x2x)26=(x2x)23(x2x)4=(x2x)4(x2x)1=(x2x4)(x2x1)（20）把(x22x4)(x22x3)8分解因式解：(x22x4)(x22x3)8=(x22x)2(x22x)128=(x22x)2(x22x)20=(x22x)5(x22x)4616-9的形式，展开后有a+22a+96，利用十字相乘，得到（a+6）a+16）2aa=(x22x5)(x22x4)（21）把(x23x2)(x29x20)72分解因式评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有(x

12、23x2)(x29x20)(x1)(x2)(x4)(x5)。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）解：(x23x2)(x29x20)72=(x1)(x2)(x4)(x5)72=(x1)(x4)(x2)(x5)72=(x23x4)(x23x10)72=(x23x)214(x23x)32=(x23x)16(x23x)2=(x23x16)(x23x2)(x23x16)(x2)(x1)（22）把(a1)(a2)(a3)(a6)a2分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有16=23=6利用结合律会出现a2+6解：(a1)

13、(a2)(a3)(a6)a2=(a1)(a6)(a2)(a3)a2=(a267a)(a265a)a2=(a26)212a(a26)36a2(a266a)2（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现(x28x7)(x28x15)9的形式，这就不难发现（x2+8x）作为一个整体a同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）（而分解。解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9=（x+1）（x+7）（x+3）（x+5）-9=(x

14、28x7)(x28x15)9以下同于例3=(x28x)222(x28x)1059=(x28x)222(x28x)+96=(x28x)16)(x28x)6=(x28x16)(x28x6)（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式a评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。可以设x2+3x=a，会有（a+2）-24，此时已易于分解解：x（x+1）（x+2）（x+3）-24=x（x+3）（x+1）（x+2）-24=(x23x)(x23x2)24=(x23x)(x23x)224=(x23x)22(x23x)24=(x23x6)

15、(x23x4)（25）把(x23x1)22(x23x)10分解因式评析：不要急于展开(x23x1)2，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。解：(x23x1)22(x23x)10=(x23x)22(x23x)12(x23x)10=(x23x)29(x23x3)(x23x3)（26）把分解因式(abcd)24(ab)(cd)评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和（c+d）。据此可把它们看作为一个整体。解：(abcd)24(ab)(cd)=(ab)(cd)24(ab)(cd)=(ab)22(ab)(cd)(cd)24(ab)(cd)=(ab)22(

16、ab)(cd)(cd)2=(ab)(cd)2(abcd)2（27）把1aa(a1)a(a1)2a(a1)3分解因式评析：把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体（1+a）解：1aa(a1)a(a1)2a(a1)3=(1a)1aa(1a)a(1a)2=(1a)(1a)1aa(1a)=(1a)(1a)(1a)(1a)(1a)4（28）把2x2xy6y22x11y4分解因式评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到2x2xy6y2(2x3y)(x2y)此时可设(2x3ym)(x2yn)2x2xy6y22x11y4再用待定系数法求出m和n解：设2x2xy6y22x11y4=(2

17、x3ym)(x2yn)2x2xy6y2(m2n)x(3n2m)ymn比较两边对应系数得到m+2n=2-3n+2m=11mn=-4由和得到m=4，n=-1代入也成立（2x2xy6y22x11y4=（2x-3y+4）x+2y-1）（29）把x22xy8y24x10y3分解因式解：x22xy8y24x10y3=(x4y)(x2y)4x10y3=（x+4y+m）（x-2y+n）=x22xy8y2(mn)x(4n2m)ymn有m+n=-44n-2m=-10mn=3由和得到m=-3，n=-1代入也成立x22xy8y24x10y3=（x+4y-3）（x-2y-1）（30）当x+y=2时，求x36xyy3的值

18、评析：x+y=2这是唯一的条件。要从x36xyy3中找到x+y或有关（x+y）的表达式解：x36xyy3=（x+y）（x2xyy2）+6xyx+y=2原式=2x22xy2y26xy=2x24xy2y22(x22xyy2)=2(xy)22(2)2=8x=2求x3的值（31）己知x11x3x3=x2解：x311111(x)(x21)(x)(x)23xxxx1x=2原式=2（2）2-3=21（32）己知x-y=2，求a2(x2y2axay2xy6a2)的值1解：a2(x2y2axay2xy6a2)1=a21=a21=a2(x22xyy2)(axay)6a2(xy)2a(xy)6a2(xy3a)(xy

19、2a)（x-y）-3a（x-y）+2a原式=a2x-y=a11(2a)(3a)(6a2)6a2初中因式分解的常用方法（例题详解）一、提公因式法.如多项式ambmcmm(abc),其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用a2b2(ab)(ab),a22abb2(ab)2,a3b3(ab)(a2abb2)写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两

20、项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！=(mn)(ab)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：2ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)练习：分解因式1、a2a

21、bacbc2、xyxy1（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2y2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2y2)(axay)=(xy)(xy)a(xy)=(xy)(xya)例4、分解因式：a22abb2c2解：原式=(a22abb2)c2=(ab)2c2=(abc)(abc)注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、x2x9y23y4、x2y2z22yz综合练习：（1）x3x2yxy2y3（2）ax2bx2bxaxab（3）x26xy9y216a28a1（4）a26ab12b9b24a（5）a42

22、a3a29（6）4a2x4a2yb2xb2y（7）x22xyxzyzy2（8）a22ab22b2ab1（9）y(y2)(m1)(m1)（10）(ac)(ac)b(b2a)（11）a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc（12）a3b3c33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。12a特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：x25x6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只

23、有23的分解适合，即2+3=5。12解：x25x6=x2(23)x2313=(x2)(x3)12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：x27x6解：原式=x2(1)(6)x(1)(6)1-1=(x1)(x6)1-6（-1）+（-6）=-7练习5、分解因式(1)x214x24(2)a215a36(3)x24x5练习6、分解因式(1)x2x2(2)y22y15(3)x210 x24（二）二次项系数不为1的二次三项式ax2bxc条件：（1）aaac11（2）cccac1222（3）bacacbacac12211221分解

24、结果：ax2bxc=(axc)(axc)1122例7、分解因式：3x211x10分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：3x211x10=(x2)(3x5)练习7、分解因式：（1）5x27x6（2）3x27x2（3）10 x217x3（4）6y211y10（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：a28ab128b2=a28b(16b)a8b(16b)=(a8b)(a16b)练习8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3

25、)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x27xy6y2例10、x2y23xy21-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)练习9、分解因式：（1）15x27xy4y2（2）a2x26ax8综合练习10、（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(xy)23(xy)10（4）(ab)24a4b3（5）x2y25x2y6x2（6）m24mn4n23m6n2（7）x24xy4y22x4y3（8）5(ab)223(a2b2)10(ab)2（9）4x24

26、xy6x3yy210（10）12(xy)211(x2y2)2(xy)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc五、主元法.例11、分解因式：x23xy10y2x9y25-2解法一：以x为主元2-1解：原式=x2x(3y1)(10y29y2)(-5)+(-4)=-9=x2x(3y1)(5y2)(2y1)1-(5y-2)=x(5y2)x(2y1)1(2y-1)=(x5y2)(x2y1)-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)解法二：以y为主元1-1解：原式=10y2y(3x9)(x2x2)12=10y2(3x9)y(x2x2)-1+2=1=10y2(3x9)y(x1)(x2)2(x-

27、1)=2y(x1)5y(x2)5-(x+2)=(2yx1)(5yx2)5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习11、分解因式(1)x2y24x6y5(2)x2xy2y2x7y6(3)x2xy6y2x13y6(4)a2ab6b25a35b36六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对Ax2BxyCy2DxEyF型多项式的分解因式。条件：（1）Aaa，Ccc，Fff121212（2）acacB，cfcfE，afafD122112211221即：a1c1f1acf222acacB，cfcfE，afafD122112211221则Ax2BxyCy2DxEyF(axcyf)(axcf)111222例

28、12、分解因式（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2xx原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xyxy，4y9y13y，2x3xx原式=(x2y3)(x3y2)练习12、分解因式（1）x2xy2y2x7y6（2）6x27xy3y2xz7yz2z2七、换元法。例13、分解因式（1）2005x2(200521)x2005（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x2解：（1）设2005=a，则原式=ax2(a

29、21)xa=(ax1)(xa)=(2005x1)(x2005)（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x27x6)(x25x6)x2设x25x6A，则x27x6A2x原式=(A2x)Ax2=A22Axx2=(Ax)2=(x26x6)2练习13、分解因式（1）(x2xyy2)24xy(x2y2)（2）(x23x2)(4x28x3)90（3）(a21)2(a25)24(a23)2例14、分解因式（1）2x4x36x2x2观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次

30、数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=x2(2x2x61)(x)61xx2)=x22(x211x2x原式=x2（t22)t6=x22t2t10211设xt，则x2t22xx2x22t5t2=x22x5x2=21xx=x2x5xx2=2x25x2x22x1xx=(x1)2(2x1)(x2)（2）x44x3x24x1=x2x24x1解：原式=x2x24x141xx211x2x1111设xy，则x2y22xx2y原式=x2y24y3=x2y13=x2(x1)(x3)=x2x1x23x1xx练习14、（1）6x47x336x27x6（2）x42x3x212(xx2)八、添项、拆项、配方法。例15、分

31、解因式（1）x33x24解法1拆项。解法2添项。原式=x313x23原式=x33x24x4x4=(x1)(x2x1)3(x1)(x1)=x(x23x4)(4x4)=(x1)(x2x13x3)=x(x1)(x4)4(x1)=(x1)(x24x4)=(x1)(x24x4)=(x1)(x2)2=(x1)(x2)2（2）x9x6x33解：原式=(x91)(x61)(x31)=(x31)(x6x31)(x31)(x31)(x31)=(x31)(x6x31x311)=(x1)(x2x1)(x62x33)练习15、分解因式（1）x39x8（2）(x1)4(x21)2(x1)4（3）x47x21（4）x4x22ax1a2（5）x4y4(xy)4（6）2a2b22a2c22b2c2a4b4c