托卡马克物理基础-2

1、II磁约束聚变装置和反应堆的约束原理聚变反应必须在高温下才能进行。按粒子动能与温度的转换关系1eV=11600 K.通常我 们简单地将1keV与1千万度互相对应。氘氤聚变要在10keV以上才能充分进行，对应于 1亿度的高温。物质在几千度温度下已经气化并在进一步的高温下形成等离子体-物质的第 四态。聚变堆堆心是几亿度的等离子体。就算是实验室中的等离子体，温度也在几百万度以 上。这些等离子体必须放在高真空容器中。通常的材料最高能经受3000 K就很不错了。显 然，不可能用普通的材料来包围聚变堆中的等离子体。最简单的想法是利用电磁场。利用电 场是最简单的，在历史上也有人试验过。现在也有人继续研究用电

2、场约束等离子体。这对低 温等离子体是可以的。但对高温等离子体不行。主要是因为，等离子体中的离子和电子在电 场作用下沿相反的方向运动，于是外加电场很快就被极化的等离子体屏蔽了。另外，也无法 设计一种三维的封闭电场位形。用磁场约束等离子体则有完全不同的图像。带电粒子在磁场中的运动分成两部分，在 垂直于磁力线方向做Larmor运动；沿磁力线方向则可以自由运动（如果磁场是均匀的）。因 此，除非受到其他作用，带电粒子不会离开磁力线。所以，磁场可以将高温等离子体与周围 物质（真空室）隔开。磁场的这种热绝缘本领与磁场的强度有关，也与等离子体的参数有关。 进一步的分析表明，更与磁场位形的特性有关。II.1 磁

3、约束位形（magnetic configuration）磁场是一类无源矢量场，磁力线既不能产生，也不能消除。磁场一定与电流有关。对 稳态磁场，描述磁场的两个电动力学方程是Ampere定律和无散度矢量关系：VxB = u J，v-B = 0（在等离子体物理中，不区分磁感应强度和磁场的差别，即将等离子体当作真空介质处理。 所有的电流都看成真空电流。）磁约束聚变研究近60年的历史表明，现有技术进展只能确保环型磁约束位形有可能建 造聚变反应堆。我们主要介绍环形位形。“位形”一词代表这样一个总体概念：磁力线的几 何形态，产生磁场的电流特征，等离子体的宏观特征，等等。II.1.1环形位形的简单模型，磁力线

4、的旋转变换（rotational transform）考虑一根无限长直线电流和以此直线为中心的一个圆圈电流产生的组合磁场（Tamm位 形）。直线电流产生的磁场很容易表示：B = B = B。匕，圆圈电流产生的磁场也有严格的解析表示式，但包含椭圆积分。现在我们考虑离这个电流很 近地方的磁场，可以近似地将它看成另一个直线电流的磁场，用局部极坐标系：B = B = Bp e2 p r p在环形几何中，将沿小回路方向（the short way）称为“极向”（poloidal）,沿大回路方向（the long way)为环向(Toroidal)。如果我们将环剪断并拉成直线，那么，合成磁场就是简单的螺旋

5、线。现在，环形螺旋线将沿一个环面(近似为圆环面r = const)不断转动，转动快慢可以用:(r) = 土 些dQrB10称磁力线的旋转变换(率)。现在发生一个有趣的现象：当磁力线不断绕环转动时，从Q = const的一个截面看，磁力线每次与圆环面相交与不同点，由无限多个点组成的面称为“磁面”(magnetic surface),现在这个磁面就是近似环面r = const。在托卡马克位形中，圆环电流是由等离子体产生的，而且有一定的分布剖面。但基本 上磁面和磁力线的旋转变换性质与这个简单的Tamm位形没有本质差别。但托卡马克中不用 旋转变换这个量，而用它的倒数，由于磁流体稳定性方面的原因，这个量

6、称为安全因子rBq(r) = 1/1 (r) =#0R0 BP 0这个量越大，等离子体的稳定性越好；这个量与等离子体的总环向电流的大小成反比。等离 子体的一类宏观不稳定性正是由环向电流引起的。称“扭曲模”不稳定性(Kink mode)指出一个重要的性质：对于环形轴对称系统，磁面实际只与极向磁场有关，而与环向磁场无关。我们假定W (R,Z)是磁面函数，就是说磁力线与W =常数面处处相切，即满足B -Vv = B R + B -Vv = 0因为轴对称性，第一项为零，于是B -Vv = 0，即只与极向场有关。容易证明，这个极 p向磁面函数实际上可以取为极向磁通函数，定义为v (R, Z) = R d

7、R(2兀RB (R,0)R0以上只是特例。对于一般的拓扑环形几何，如果类似地定义“长路”与“短路”并引进环向和极向角坐标Q和。，则极向磁通函数为V (r, 0)=川B VOdT2兀而环向磁通函数可以一般地定义为中(v)= 2； BlB -vQdT在一个磁面上磁力线的平均旋转变换为/ 、 c dv1 (v) = 2 兀?dII.1.2由真空室外部线圈产生旋转变换：仿星器位形(Stellarator)有几种方法可以不在等离子体内部通电流来产生旋转变换。但可以证明，这种位形一定不具有轴对称性。最早产生磁力线旋转变换的方法是将真空室扭成空间8字形。外部仅有螺 线圈。这是磁约束聚变的先驱，美国Princ

8、eton大学的天体物理学家Lyman Spitser发明的。 可以用空间曲线坐标系来分析这种位形。这里我们简单介绍由外部大螺旋绕组产生旋转变换 的方法。这个方法是后来很多仿星器装置设置磁场线圈的基本方法。在忽略环形效应时，直园柱形真空室外部电流产生的螺旋对称磁场可以用磁标势中(r,u)来表示：【u =0-以匚】B = 0中在无电流区域满足Laplace方程，因此其解可以一般地写成中=B R + bl (nkr) cos lu我们简单介绍一些性质：如果外部电流是由l对正负相间的螺旋绕组组成的，则这个磁场具有平均的旋转变换率，它正比于(b/B )2，随半径变化ix (r/a)21 一4。当l 3，

9、旋转变换0具有磁剪切。另一个重要性质是磁面具有分界面。内部的磁力线是闭合的，而外部的磁力线不闭合。 这一特性符合磁约束基本反应堆的一个重要要求:即将等离子体内部产生的热能传送到外部 时，分界面内外的传送方法有根本差别。在历史上，仿星器装置的研究先于托卡马克，但后来遇到困难而被托卡马克领先。现 在，由于仿星器装置不需内部电流，因而可以稳态运行，而原先在约束和加热的困难都已可 以克服，其研究又开始大规模开展起来。在磁约束聚变中，是仅次于托卡马克的一个方向。 而且很多人相信它优于托卡马克。II.2托卡马克平衡位形的基本特性II.2.1静磁平衡近似及其性质无论是实验装置，还是未来的反应堆，等离子体一般

10、不会处在恒定不变的状态。因为所 有的物理量都在不断变化。定态只是一种近似。对不同的物理问题，应存在多个时标。最快 的时标是磁流体不稳定性的发展。其中又有最危险的不稳定性。变化时间尺度是阿尔芬时间 t a = a/匕，a是小半径，匕=B/牌nm,是阿尔芬速度，对典型的托卡马克参数，这个 时标尺度约为R，因此从磁约束聚变反应堆的角度，这类运动必须被稳定化，否则我们也无 法建造聚变反应堆。但使等离子体对所有的微扰都稳定化是不可能的，可以允许的磁流体不 稳定性是一些不会破坏整体约束的模式。如电阻性不稳定性，这种不稳定性被限制在局部空 间区域内，其发展速率也小于理想磁流体不稳定性。另一个时标是扩散时标，

11、物理量的变化 是扩散过程引起的，等离子体参数的变化较慢。特征时标是粒子约束时间t 和能量约束时间t e，由反常输运过程确定。等离子体中还会存在一些宏观运动，如环向转动和极向转动。这些运动对现代托卡马 克物理非常重要，但在很多情况下，这些运动速度比阿尔芬速度小很多，甚至比声速度也小 很多，即程P 厂=KP + j x B简化为dt(2-1-1)vp = j x B注意其中的电流密度和总磁场包括等离子体内部产生的电流和磁场，即自恰电流和自恰磁 场。加上麦氏方程Vx B = r 0(安倍定律)(2-1-2)V B = 0(2-1-3)这三个方程组成描述托卡马克和其他轴对称环形平衡位形的基本方程组。它

12、们完整地描述这 类平衡条件下对给定的外部磁场，等离子体内部压强剖面和极向磁通面的结构。是托卡马克 物理研究的出发点。由标压强平衡方程可以得出一些具有独特物理特征的一系列基本性质：平衡磁面必然是等压面：B VP = 0，所以P = P(y )； 电流线完全位于磁面上，既不进入，也不逸出：j -VP = 0或j -Vv = 0-电流线必须闭合：V-j = 0 (电流连续性条件) 对此多做一些讨论。由压强平衡方程，可以得到等离子体中垂直于磁力线方向的电流密度为(2-1-4)B xVP这个电流又称“反磁”电流。因为等离子体的电子或离子的Larmor运动产生的磁矩总是“反 磁”性的，所以等离子体总体是反

13、磁性的。现在指出，在上面的平衡方程中，平行于磁力线 方向的电流密度是不起作用的，我们无法从上面的方程知道平行电流是如何产生的。但平行 电流由确实对平衡位形的结构有根本性影响(通过安倍定律)。但由电流连续性条件，可以 知道平行电流又不是任意的，必须满足一定的约束，令-=(j/ B) B + j(2-1-5)由电流连续性条件，得到-2-B - V( j / B) = -V- j广 b VP - (VB x B)(2-1-6)一般称B-Vf = s形式的方程为磁微分方程。这种方程不是一定有唯一解的。存在唯一的有物理意义解的充分和必要条件是E* = 0。代入具体的电流表示式可发现，垂直电流的散度不为零

14、代表电荷分离。因此这个条件有非 常清晰的物理含义，即对磁面平均得到的总电荷分离率为零。因此电场不会无限地增大。可以证明，这个条件与环形位形中磁力线必须具有一定的旋转变换是一致的。II.2.2 Grad-Shafranov 方程重新将三个方程写在下面：VP = j x B(2-2-1)Vx B = |i J(2-2-2)V B = 0(2-2-3)引入圆柱坐标系(R,JZ)，轴对称性V/诞=0。磁场可以用两个流函数来描述：(2-2-4)B = F (R, Z 网 + VW (R, Z) x V这里F = RB , B是环向磁场；极向磁场B =VW xVQ， Bp = |Vw |/R。用(2-2-

15、4)表示的磁场自动满足散度为零条件。显然，W (R,Z) = const代表一个环形磁面，因为jjB VW = Bp VW = 0。我们特别感兴趣的一类磁面结构是，所有磁面互相套起(不相交)， 最中心的磁面退化为一条闭合曲线-“磁轴”。现在将(2-2-4)代入(2-2-2),利用一些矢量运算恒等式，得到=VF xVV。(V2W) -2祟(2-2-5)七R dR对比极向磁场的表示式可知，极向电流=VFxV。P0因此函数F代表极向电流通量，而且是磁面函数F (W) = RB = p 0 jj j dS这里积分区域由磁轴和磁面说任意一条闭合曲线组成。对函数F的主要贡献来自外部电流 产生的环向磁场，但

16、等离子体的自恰磁场也有贡献，主要表现在其一阶导数上。【见后面的 讨论】由(2-2-5)的环向分量可以得到另一个方程LW=RV (半嘿4碧善=瑚0 R。(2-2-6)这里出现一个二阶椭圆型微分算子 L，它与电动力学中讨论过的环形电流产生的磁场有关。例如对一个位于R = R ,Z = Z处的无限细的电流环，方程LW= j S(R-R)5(Z-Z)0 0其解(Green函数)是比较熟悉的：(2-2-7)4 RRG(R,Z,R,Z)=虬、丽(1 -栏)K(k) - E(k) k2k 2 =(R + R )2 + (Z - Z)2这是很有用的基础性表示式，因为所有外部给定的极向场线圈(其中电流方向沿环向

17、)产生 的磁场都可以通过对Green函数的积分来严格表示。我们可以把托卡马克等离子体的总极向磁通函数分成为外部电流产生的磁通和等离子 体内部电流产生的磁通之和：W =Wp +W。，其中外部电流产生的磁通可以直接由外部已给 定的极向场电流通过Green函数的积分给出：W = Z L jj dR dZ G( R, Z, R, Z )(2-2-8)j j这里I., Sj分别为第j个线圈的电流和截面积。等离子体中的环向电流密度剖面与压强剖面和极向电流通量函数F(W )的剖面有确定的关系。这个关系可以从静平衡条件(2-2-1)得出，例如写出这个方程的R-分量: W人=0),但仍然不知道边界在那里。这称为

18、“自由边界”问题；在很多分析中，可以设 定边界为一定形状(对应于给定一个环形的导体壁)，这时自由边界的困难排除了，但一般 环向电流剖面函数还是非线性的，仍要求解非线性偏微分方程。【如果右方项为仅为空间函 数，则方程化为一般的线性椭圆型偏微分方程】dPdRdW=P(W)寺=j BZ.1 dF F (W) dWj =Z * R dR 七 R dR代入后得到j = R dP +1 dF 2七dW2旦R dW0(2-2-6 )与(2-2-9 )结合起来，得出最后的结果:(2-2-9)dp1 dF 2LWf R 2矿2商(2-2-10)这是著名的Grad-Shafranov方程。一方面，它联系了极向磁通

19、函数与等离子体压强和极向电 流通量间的关系；另一方面，它也可以成为求解极向磁通的方法，即如果预先设定等离子体压强及极向电流函数与极向磁通函数的一种关系，即设函数P(W),F(W)为已知函数，则Grad-Shafranov方程变成关于W二阶非线性椭圆型偏微分方程。这里非线性是两重因素引起的。第一，函数P(W),F(W)可以是W的任意函数，因而一般是非线性的；其次，边界条件是非线性的，因为边界条件必须是W =K这里的边界极向磁通值是外部环向电流和内部等离子体电流的磁通之和，在解求出之前并不知道。即使设定其为一个给定值(例如现在常常应用于托卡马克位形设计或分析的一个方法是：设定P P + a W+

20、a W2 + ,F2 F 2 + bW + b W 2 +.(2 2 10)对预先给定的系数a ,a ,.b ,b，假定可以求出满足边界条件的解，倒回来可以由解求出压 1212强剖面和函数F。调节这组系数，就可以得到很多类型的位形。即使这样，求解仍需采用迭 代方法。这类求解平衡问题的数值编码已经有很多，基本每个主要的磁约束聚变研究实验室 都有自己的编码。而且对(2-2-10)中函数的形式也推广到更为非线性的情况下。II.2.3如何驱动等离子体的环向电流以上假定P(W),F(W)的方法是一种数学方面的方法，虽然在一定程度上也可以用于设 计位形或分析问题(如稳定性，输运)，但对确定环向电流方面仍有

21、很大的缺点。尤其是在 堆芯等离子体问题中，由于等离子体环向电流中有一部分是等离子体自己产生的，上面的方 法会与实际电流剖面不匹配。在目前已发展的理论框架下，等离子体内部自身产生的环向电 流密度剖面不能按空间点确定，只能按磁面平均的形式确定。首先我们把平行电流密度的形式确定下来。为此，要利用环向电流密度的公式(2-2-9) 好垂直电流密度的公式(2-1-4)以及两者直接的关系式：七j/气/B +匚匕，可以得(2-2-11)_F dP _ B dFB dW 目 dW0定义对磁面的平均我们可以将环向电流密度与电流驱动机制联系起_ R dP 1 _F 2dWR 2 (2-2-12)这个方程将环向电流与

22、驱动模式联系起来。这里出现一个与平行电流有关的磁面平均值，目前的理论模型没有涉及这个量的产生机制。在实际问题中，这个量应当与具体的电流驱动机制有关。已经知道的驱动方法有：欧姆驱动，束驱动，波驱动及自举电流(Bootstrap current):_ + + + (2-2-13)此外，在(2-2-12)中还原一个与压强梯度有关的附加项，即P(W )F2 /R ，这是由于 电荷分类产生的剩余电场对环向电流的调整，文献上称为Pfirsh-Schluter电流，或简称P-S 电流。同样，对其他驱动电流，自恰电场也会进行一定的调整，反映在 的因子F /R 中。现在我们用欧姆驱动为例进行较详细的讨论。采用最

23、简单的Spitzer电阻 率形式的欧姆定律：- E + V x B =门 j（2-2-14）这里出现的等离子体运动速度仅是扩散量级的，对平衡位形的效应可以忽略。记由欧姆变压 器产生的环向电场分量为E ，不考虑等离子体自身磁通变化产生的电场（等离子体总电流 保持不变，电流的重新分布过程很慢），则有E = E 0 R0（2-2-15）。2 兀 RR非常重要的是，环形约束系统中等离子体存在电荷分离，因此存在自恰静电场：E = V + E 品（2-2-16）这样，（2-2-14）式的平行于磁场的分量给出（2-2-17）引入正交磁面坐标系（W以,G，其中X为极向角坐标，将（2-2-17）式对磁面求平均以

24、消 去静电势函数，得到：j BjdX =- jE BJdX =皇 dX（2-2-18）门叩）。G门 R 2式中J为雅可比量。上式是关于欧姆驱动的基本关系式，这里我们假定1为磁面函数。为了将j,与欧姆驱动联系起来，将其表示成：j = j七+ 弓，其中为压强梯度引起 sG b B 1的逆磁电流：、B x wj = P（V ）（2-2-19）我们首先说明，由于0七。0，对应于离子和电子的环向漂移产生的电荷分离，必须有平 行电流来抵消这种分离：-L j -, BXVWB0（ Jb） = V j = P（W ）V甲（2-2-20）BiB 2这个磁微分方程的一般解的形式如下: j - BC(V)-BP,(

25、v)?V-B乂刊政(2-2-21)此式中的常数C(v )代表由各种驱动机制产生的平行电流(以及自举电流)，而第二项为抵 消电荷分离由等离子体中自恰电场产生的电流，即Pfirsch-Schluter电流。II.2.4托卡马克中带电粒子的漂移运动与自举电流为了说明自举电流这个非常重要概念，简单介绍一点关于带电粒子在不均匀磁场中漂移 运动的知识。在均匀磁场中，带电粒子沿磁力线可以自由运动，垂直于磁力线方向则做回旋运动，其Larmor半径为P = 料，带电粒子的园运动等价于一个磁矩，其大小为q qB日=I兀P 2 =二接，所产生的磁场的方向与原磁场相反。在不均匀磁场中，如果磁场的 q q2 B不均匀性

26、满足E = PVB /B 1，那么，可以证明，磁矩是很好的寝渐不变量(adiabaticinvariance):d/ c、=。( 2)。dt在不均匀磁场中，回旋运动的轨道不再是闭合的园，这表明，粒子存在漂移运动。通 常采用回旋中心坐标系：=+ 3，由于回旋运动是快运动，漂移运动就是慢运动。不均 匀磁场引起两种漂移运动。一是磁场不均匀性产生的漂移，另一是磁力线弯曲引起的漂移。 两者相加，得到 Bx _V = - u 2b -Vb + rVBdm qB 2因此，粒子漂移中心的总运动速度是dr d 广/b + Vdm+ 匕、E x B其中V = DC是电漂移速度。B2现在考虑最简单的托卡马克位形：园截面套环位形。磁场这时，主要的不均匀性来自环向磁场的1/R的依赖关系。当粒子沿磁力线由环的外侧(大R 处)向环的内侧方向(小R)运动时，磁场逐渐加强，于是由磁矩不变性条件，粒子的平行 速度逐渐变小。对一些粒子，有可能在运动到最内侧点(在极坐标系中/=兀)之前平行 速度变为零，