《水力学》课件（共十一章）

裴国霞唐朝春主编机械工业出版社水力学第2版第1章绪论1.1水力学的任务及其发展概况1.2液体的连续介质模型1.3

作用在物体上的力1.4液体的主要物理性质1.5水力学的研究方法水力学的主要任务是研究水的平衡和机械运动规律以及工程应用的一门学科。它是力学的一个分支，是很多工科专业的重要技术基础课。流体力学§1.1水力学的任务及其发展概况流体与固体的主要区别：流动性切应力连续变形平衡相对地球静止相对运动坐标系静止机械运动运动规律工程应用§1.1水力学的任务及其发展概况第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展——欧拉、伯努利

第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞速发展§1.1水力学的任务及其发展概况第一阶段（16世纪以前）流体力学形成的萌芽阶段：公元前2286年－公元前2278年：大禹治水——疏壅导滞（洪水归于河）；公元前300多年：李冰都江堰——深淘滩，低作堰公元584年－公元610年：隋朝的南北大运河、船闸应用埃及、巴比伦、罗马、希腊、印度等地水利、造船、航海产业发展；系统研究：古希腊哲学家阿基米德《论浮体》（公元前250年）奠定了流体静力学的基础§1.1水力学的任务及其发展概况§1.1水力学的任务及其发展概况第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段：1586年斯蒂芬——水静力学原理1650年帕斯卡——“帕斯卡原理”1612年伽利略——物体沉浮的基本原理1686年牛顿——牛顿内摩擦定律1738年伯努利——理想流体的运动方程即伯努利方程1775年欧拉——理想流体的运动方程即欧拉运动微分方程§1.1水力学的任务及其发展概况第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展——欧拉（理论）、伯努利（实验）:工程技术快速发展，提出很多经验公式1769年谢才——谢才公式（计算流速、流量）1895年曼宁——曼宁公式（计算谢才系数）1732年比托——比托管（测流速）1797年文丘里——文丘里管（测流量）理论1823年纳维，1845年斯托克斯分别提出粘性流体运动方程组（N-S方程）§1.1

水力学的任务及其发展概况第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞速发展:理论分析与试验研究相结合量纲分析和相似性原理起重要作用1883年雷诺——雷诺实验（判断流态）1904年普朗特——边界层概念（绕流运动）1933-1934年尼古拉兹——尼古拉兹实验（确定阻力系数）§1.1水力学的任务及其发展概况水力学水利工程建筑水力发电农田水利机电排灌港口工程河道整治给排水水资源环境保护冶金土木化工石油机械采矿§1.1水力学的任务及其发展概况微团质点连续介质模型（假设）:1755年瑞士数学家欧拉认为：液体是由无数质点组成，质点之间没有空隙，连续充满其所占空间的连续介质。§1.2液体的连续介质模型应力切线方向：切向应力——剪切力内法线方向：法向应力——压强ΔFΔAΔFnΔFτ表面力具有传递性流体相对运动时因粘性而产生的内摩擦力表面力：外界对所研究流体表面的作用力，作用在外表面，与表面积大小成正比。1.3.1

表面力§1.3

作用在物体上的力质量力：作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比单位质量力1.3.2

质量力§1.3

作用在物体上的力惯性就是物体保持原有运动状态的特性。密度常见的密度（在一个标准大气压下）：4℃时的水20℃时的空气容重（重度）1.4.1

液体的密度§1.4

液体的主要物理性质在外力作用下，液体微团间出现相对运动时，随之产生阻抗相对运动的性质称为黏性，阻抗相对运动的力称为内摩擦力微观机制：分子间吸引力、分子不规则运动的动量交换

牛顿内摩擦定律：切应力：hvv+dvvydyx1.4.2

黏性和理想液体§1.4

液体的主要物理性质1.速度梯度的物理意义——角变形速度（剪切变形速度）vdt(v+dv)dtdvdtdydθ流体与固体在摩擦规律上完全不同正比于dv/dy正比于正压力，与速度无关§1.4

液体的主要物理性质1.4.2

黏性和理想液体2.动力黏性（系数）μ：与液体性质有关Pa·s运动黏性（系数）：m2/s流动性流动阻力§1.4液体的主要物理性质1.4.2

黏性和理想液体微观机制：液体吸引力T↑

μ↓气体

热运动

T↑

μ↑3.黏性系数影响因素理想液体模型1.4.2

黏性和理想液体§1.4液体的主要物理性质τdv/dy牛顿流体o牛顿流体——服从牛顿内摩擦定律的流体（水、大部分轻油、气体等）4.牛顿流体与非牛顿流体§1.4

液体的主要物理性质1.4.2

黏性和理想液体

塑性流体——克服初始应力τ0后，τ才与速度梯度成正比（牙膏、新拌水泥砂浆、中等浓度的悬浮液等）dv/dyττ0o塑性流体§1.4液体的主要物理性质1.4.2

黏性和理想液体牛顿流体的适用条件τ0du/dyτμ1牛顿流体理想宾汉流体(泥浆、血浆)伪塑性流体(油漆、染料)膨胀性流体(生面团、淀粉糊)理想液体§1.4液体的主要物理性质1.4.2

黏性和理想液体例题：汽缸内壁的直径D=12cm，活塞的直径d=11.96cm，活塞长度L=14cm，活塞往复运动的速度为1m/s，润滑油的μ=0.1Pa·s。求作用在活塞上的黏性力。dDL§1.4

液体的主要物理性质1.4.2

黏性和理想液体解：注意：面积、速度梯度的取法§1.4液体的主要物理性质1.4.2

黏性和理想液体当外筒开始旋转时，内圆筒随之产生同方向的扭转。当外筒转速达到定值时，内圆筒将平衡在一定的扭转角度上。外筒停止转动，内圆筒也将随之恢复到原来的位置。黏性系数测定§1.4

液体的主要物理性质1.4.2

黏性和理想液体压缩性：压强增高时，分子间的距离减小，液体宏观体积减小，密度增加，除去外力后能恢复原状的性质。式中的负号表示压强增大体积缩小。体积压缩系数当温度保持不变，单位压强增量引起的体积变化率

单位：或1.4.3

压缩性和热胀性§1.4

液体的主要物理性质工程上常用体积模量衡量液体压缩性压缩系数的倒数体积弹性模量：一般工程设计中，水的体积弹性系数可近似地取为

§1.4

液体的主要物理性质1.4.3

压缩性和热胀性热胀性：温度升高，液体宏观体积增大，密度减小，温度下降后能恢复原状的性质。

§1.4液体的主要物理性质1.4.3

压缩性和热胀性液体表面薄层内能够承受微小拉力的特性，存在于液体表面或两种不相混合的液体的交界面。表面张力系数σ——液面上单位长度所受的拉力，单位N/m。1.4.4

表面张力特性§1.4

液体的主要物理性质实际应用中的空化现象与液体的汽化压强有关。汽化压强是指液体汽化和凝结达到平衡时液面的压强。汽化压强随液体的种类和温度的不同而改变。1.4.5

汽化压强§1.4液体的主要物理性质连续介质

液体微元——具有流体宏观特性的最小体积的流体团理想流体不考虑粘性的液体不可压缩性

ρ=c§1.4液体的主要物理性质

力学模型→物理基本定律→求解数学方程→分析和揭示本质和规律1.5.1

理论分析法无限微量法有限控制体法（平均值法）§1.5

水力学的研究方法相似理论→模型实验装置1.5.2

实验研究法§1.5

水力学的研究方法

计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一1.5.3

数值计算法§1.5

水力学的研究方法

第2章水静力学2.1静水压强及其特性2.2液体的平衡微分方程及其积分2.3重力作用下的液体平衡2.4压强的度量及量测2.5重力和惯性力同时作用下的液体平衡2.6平面上的静水总压力2.7曲面上的静水总压力§2.1

静水压强及其特性

静止液体作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压力，用P表示。平板闸门上，取微小面积△A作用于△A上的静水压力为△P

当△A无限缩小至趋于点M时，比值的极限值定义为M点的静水压强，常以字母p表示单位为Pa或kPa。

2.1.2静水压强的特性

1．静水压强垂直指向受压面2．作用于同一点上各方向的静水压强的大小相等M×B

表明任一点的静水压强仅是空间坐标的函数，压强p是一个标量，即p=p(x,y,z)§2.1

静水压强及其特性质量力

证明：边长分别为dx、dy、dz

设四个面形心点的压强为px、py、pz

和pn

。取出一个包括O点在内的微小四面体OABC.表面力§2.1

静水压强及其特性x坐标轴投影的平衡方程：

当四面体无限缩小到O点时可忽略不计，同理可得§2.1

静水压强及其特性表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式。

在静止液体中取一个微小六面体作为微元体,边长为dx，dy，dz，中心点M的坐标为(x,y,z)质量力：

x轴上

ρfxdxdydzy轴上

ρfydxdydzz轴上

ρfzdxdydz作用于ABCD面上压力为，方向沿x轴负向。2.2.1液体的平衡微分方程§2.2液体的平衡微分方程及其积分同理，对y、z轴方向的可推出类似的结果，从而得到微分方程组：在x轴方向表面力和质量力的平衡关系式为：，即作用于面上压力为，方向沿x轴正向。§2.2液体的平衡微分方程及其积分物理意义是：平衡液体中，单位质量的液体所受到的表面力（压力）与质量力彼此相等。

该式是瑞士学者欧拉(Euler)在1775年提出的，故又称为欧拉平衡方程。§2.7曲面上的静水总压力2.2.2液体平衡微分方程液体平衡微分方程式的综合式

需将欧拉平衡方程进行积分。为了求得平衡液体中任意一点的静水压强p，

全微分化简§2.2液体的平衡微分方程及其积分

具有力势函数的质量力称为有势力。

有势力所作的功与路径无关，而只与起点及终点的坐标有关。

不可压缩液体要维持平衡，只有在有势的质量力作用才有可能。说明：对于不可压缩液体，密度为常量，可得出下列关系从而有满足该式的函数W（x，y，z）称为力势函数。§2.2液体的平衡微分方程及其积分积分

有势力作用下任意一点的压强：液体平衡微分方程式的综合式：§2.2液体的平衡微分方程及其积分2.2.3等压面的概念

由压强相等的点系组成的面，称为等压面。等压面可以是平面，也可以是曲面。2）等压面恒与质量力正交。只受重力作用的连通的同一种液体内，等压面为水平面；反之，水平面为等压面。连通容器连通容器连通器被隔断等压面的性质：1）在平衡液体中等压面即是等势面。§2.2液体的平衡微分方程及其积分坐标平面xoy与液面重合，z轴铅垂向上。液面上的压强为液体密度为单位质量液体的质量力在坐标轴方向的分量分别为：液体中任意一点的压强为：令§2.3重力作用下的液体平衡对于不可压缩均质液体，=常数。对积分可得：化简可得：该式称为静水压强基本方程对于静止液体中任意两点来说，上式可写为：§2.3重力作用下的液体平衡质量力只有重力作用的静水压强,具有如下性质：1）质量力只有重力作用的静止液体中等压面为水平面。2）平衡状态下，液体内（包括边界上）任一点压强的变化，等值地传递到其他各点。3）位置较低点的压强恒大于位置较高的压强。4）当已知某点的静水压强值及其位置标高时，便可求得液体内部其它点的静水压强。§2.3重力作用下的液体平衡2.3.2压强分布图

压强分布图是根据静水压强基本方程绘出的作用在受压面上各点的压强方向及其大小的图示。用带有箭头的直线表示压强的方向。用直线的长度表示压强的大小。

所画出的几何图形称为压强分布图。§2.3重力作用下的液体平衡对于受压面为平面的情况对于受压面为曲面的情况A点，B点：1.画出它们的压强pA及pB

2.将它们的尾端连一直线DE

1.各点的压强均在该点处与受压面垂直2.压强分布图的外包线是曲线§2.3重力作用下的液体平衡若将当地大气压强用pa表示，则有真空度（或真空压强）压强的单位

应力单位工程大气压单位液柱高度

1个工程大气压=98kN/m2=10mH2O=736mmHg压强的度量

绝对压强相对压强——以当地大气压作为零点计量的压强，用表示。——以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，用表示——指绝对压强小于大气压强的数值，用来表示例题幻灯片432.4.1压强的度量§2.4压强的度量及量测2.4.2压强的量测

测量液体压强的仪器按作用原理，主要分为液位式、弹簧金属式和电测式。（1）测压管AhpaBAhLα测压管通常用来测量较小的压强。1.液位式

§2.4压强的度量及量测（2）U形水银测压计设水银的密度为1-2面为一等压面水平面1-2下部的弯管为一连通管，且为同一种液体—水银。可得即,A点的相对压强:因为

当被测点的压强为真空状态时，则：即为测得的是真空度。§2.4压强的度量及量测（3）差压计==ABs△hxABs△h油x§2.4压强的度量及量测2.弹簧金属式

测定较大的压强时，通常采用金属测压计。虽然精度不如上述几种测压计高，但装置简单，携带方便，工程上经常采用。3.电测式

电测式测压装置可将压力传感器连接在被测液体中，液体压力的作用使金属片变形，从而该金属片的电阻改变，这样通过压力传感器将压力转变成电信号，达到测压的目的。§2.4压强的度量及量测2.4.4位置水头、压强水头、测压管水头z——位置水头,可直接量测,是单位重量液体具有的相对于基准面的重力势能，简称位能。——压强水头，直接量测,物理意义是单位重量液体具有的压强势能，简称压能。——测压管水头,物理意义是静止液体中任一点的单位重量液体具有的总势能。式中：§2.4压强的度量及量测液体相对于地球虽然是运动的，但是液体质点之间及质点与器壁之间都没有相对运动，这种运动状态称为相对平衡。研究处于相对平衡的液体中的压强分布规律，最方便的办法就是采用理论力学中的达朗伯原理。把坐标系取在运动物体上，液体相对于这一坐标系是静止的，这样便使这种运动问题作为静止问题来处理。这样处理问题时，质量力除重力外，尚有惯性力。§2.5重力和惯性力同时作用下的液体平衡2.5.1等加速直线运动器皿中液体的平衡单位质量力的分量为

又由得带入得积分上式得：由边界条件确定§2.5重力和惯性力同时作用下的液体平衡（1）坐标原点取在液面上即：且故：代入上式，得（2）坐标原点取在等压面上则：p为常数可由上式得到等压面方程为§2.5重力和惯性力同时作用下的液体平衡液体的表面也是一个等压面，液面上的压强就是当地大气压。液面通过坐标原点，其方程斜率是一个负数。液面的倾角记为显然表示一簇斜平面，其截距为不同的截距对应于不同的斜平面。§2.5重力和惯性力同时作用下的液体平衡2.5.2液体随容器作匀角速度旋转运动的相对平衡现取图示的动坐标系单位质量液体受到的离心力的大小为质点到中心轴的距离

单位质量力的坐标分量是§2.5重力和惯性力同时作用下的液体平衡又由得液体相对静止的微分方程是任意两个邻点的压强差为积分上式就得到压强分布，即§2.5重力和惯性力同时作用下的液体平衡（1）坐标原点取在液面上故：（2）坐标原点取在等压面上则：p为常数即：且由于因此表示一簇旋转抛物面。是旋转抛物面的截距，不同的截距对应不同的旋转抛物面。§2.5重力和惯性力同时作用下的液体平衡

计算液体的静水总压力，实质上是求受压面上各点静水压强的合力。2.6.1解析法1.静水总压力的大小与方向

与水平面夹角为该平面左侧承受水的作用水面和该面积右侧都作用着大气压强。任意形状的平面，其面积为A

基本条件：§2.6平面上的静水总压力在讨论水的作用力时只计算相对压强所引起的静水总压力即可。xOy平面与水面的交线为Ox将受压面所在坐标面绕oy轴旋转即可展现受压平面。作用在上的压力为积分求其代数和,受压面A上的总压力P

:

§2.6平面上的静水总压力是受压面A对Ox轴的静面矩,其值应等于受压面面积A与其形心坐标的乘积。因此受压面形心点的相对压强受压面形心点的淹没深度表明:作用在任意方位、任意形状平面上的静水总压力P的大小等于受压面面积与其形心点所受静水压强的乘积。任意受压面上的平均压强等于其形心点上的压强。作用在平面上静水总压力的方向是指向并垂直受压面，即沿着受压面的内法线方向。§2.6平面上的静水总压力2.总压力的作用点

利用理论力学中合力矩定理:静水总压力对Ox轴取矩:整理得：受压面A对Ox的惯性矩惯性矩的平行移轴定理：

总压力作用点到Ox轴的距离受压面形心到Ox轴的距离受压面对平行Ox轴的形心轴的惯性矩§2.6平面上的静水总压力例题：

已知：直径d=20cm，水深H=5m。求：闸门所受静水总压力P及作用点位置a。作用在闸门AB上的静水总压力为解：故又由作用点公式：§2.6平面上的静水总压力得：故铰A在水面以下的淹没深度为作用点到铰A的距离为§2.6平面上的静水总压力矩形bh名称图形AyCIC三角形梯形圆形常见平面图形A、yc、Ic值§2.6平面上的静水总压力2.6.2图解法——作用于矩形平面上的静水总压力的计算根据该图计算静水总压力先绘出压强分布图如右图所示，根据静水压强分布规律可得：h1的点A处压强为h2的B点处压强为以直线连接AB两点的压强，可作出该受压平面的压强分布图。压强分布图的面积为S,作用在矩形平面ABEF上的静水总压力的大小为：§2.6平面上的静水总压力静水总压力的方向：垂直并指向受压面。静水总压力的作用点（压力中心或压心）：通过压强分布体的重心（或在矩形平面的纵对称轴上，且应通过压强分布图的形心点）压力中心D离底边的距离e可由力矩定理求得:§2.6平面上的静水总压力h水平分力PxPz铅直分力Pb静水总压力大小：方向:静水总压力的作用线与水平方向的夹角作用点：过Px和Pz的交点，作与水平方向成α角的延长线交曲面于D点，D点即为作用点。§2.7曲面上的静水总压力曲面上静水总压力的水平分力等于曲面在铅垂投影面上的静水总压力。曲面上静水总压力的垂直压力等于压力体内的水体重。ABEPDF§2.7曲面上的静水总压力压力体应由下列周界面所围成：（1）受压曲面本身（2）自由液面或液面的延长面（3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面ABABABC举例§2.7曲面上的静水总压力例题：如图,已知p0=98kN/m2，h=1m，求：该点的绝对压强及相对压强。p0=pah解：例题：如图,已知p0=50kN/m2，h=1m，求：该点的绝对压强及相对压强。p0h解：pa相对压强为什么是负值？什么位置处相对压强为零？返回？§2.4压强的度量及量测ABpaPa+ρgh画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图相对压强分布图ABρghBABCABAB返回幻灯片16§2.3重力作用下的液体平衡画出下列容器左侧壁面上的压强分布图§2.3重力作用下的液体平衡返回§2.7曲面上的静水总压力

第3章液体运动学3.1描述液体运动的两种方法3.2液体运动的基本概念3.3液体运动的类型3.4连续性方程3.5液体微团运动的基本形式3.6无旋流与有旋流液体的运动要素:流速、加速度及动水压强

§3.1

描述液体运动的两种方法1.拉格朗日法

——以研究单个液体质点的运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个液体的运动。又称为质点系法。xzyO

M（a，b，c）（t0）（x，y，z）t初始时刻的位置坐标是（a、b、c）任意时刻的位置坐标是（x、y、z）,a、b、c、t

称为拉格朗日变数。若给定a，b，c，即为某一质点的运动轨迹线方程。、、是速度在x、y、z轴的分量同理，该液体质点在x、y、z方向的加速度分量§3.1

描述液体运动的两种方法跟踪每一个液体质点来得出整个液体运动的状态，在数学上是很困难的。在实际应用中需要研究的是运动要素的空间分布规律，一般不必了解每一个液体质点的运动情况。因此这种方法在水力学上很少采用。可以表示为：然而由于液体具有黏滞性：§3.1

描述液体运动的两种方法2.欧拉法——以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况作为基础，综合所有空间点上的运动情况，构成整个液体的运动。又称为流场法。xzyO

M（x，y，z）t时刻拉格朗日法着眼于液体质点。欧拉法则着眼于液体运动时所占据的空间点。在实际工程中，只需要弄清楚在某一些空间位置上水流的运动情况，而并不去研究液体质点的运动轨迹，所以在水力学中常采用欧拉法。§3.1

描述液体运动的两种方法可将流场中的运动要素视作空间点坐标（x,y,z)和时间t的函数关系式。t时刻x,y,z轴上的速度投影：x,y,z,t称为欧拉变数同样压强也可以表示为若x，y，z为常数，t为变数，则可得到某一固定点上的流速随时间的变化情况§3.1

描述液体运动的两种方法若t为常数，x，y，z为变数，得到在同一时刻，位于不同空间点上的液体质点的流速分布，也就是得到了t时刻的一个流速场。若针对一个具体的质点，x，y，z，t均为变数，且有x（t），y（t），z（t）欧拉法中，液体质点的加速度就是流速对时间的全导数。即§3.1

描述液体运动的两种方法在直角坐标轴上投影对于一维流动，流速或压强都是位置坐标s和时间t的函数。§3.1

描述液体运动的两种方法又由时变加速度（或者当地加速度），在同一空间点上液体质点运动速度随时间的变化。

位变加速度（或者迁移加速度），在同一时刻位于不同空间点上液体质点的速度变化。可得：全加速度加速度的表达式：§3.1

描述液体运动的两种方法当水箱水位H一定,末端阀门K开度保持不变时,即，管中各点的流速不随时间变化，不存在时变加速度。流速:

位变加速度:

当水箱水位H变化时，即管中各点的流速随着时间变化时变加速度

位变加速度

A有无B有有§3.1

描述液体运动的两种方法定义：如果流场中各空间点上的所有运动要素均不随时间变化，这种流动称为恒定流。否则，成为非恒定流。性质：(2)恒定流中，时变加速度为零，位变速度可以不为零。(1)恒定流中，只是空间点位置坐标的连续函数，与时间无关。实际工程中较常见的一类水流运动。如果运动要素随时间变化缓慢，也可近似按恒定流处理。

本书主要研究恒定流，在今后的讨论中，如果没有特别说明，即指恒定流。§3.2

液体运动的基本概念3.2.2迹线、流线及其微分方程迹线——是指某液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线。流线——是指某一瞬时，在流场中绘出的一条光滑曲线，其上所有各点的速度向量都与该曲线相切。流线能反映瞬时的流动方向流线图流线图形具有两个特点：（1）流线分布的疏密程度与液流横断面面积的大小有关。流线的疏密程度直观地反映了流速的大小。（2）流线的形状与固体边界形状有关。§3.2

液体运动的基本概念在某一时刻t，流场上A1点的流速矢量u1，在矢量u1上取微小线段△s1得到A2点。在同一时刻t，绘出A2点的流速矢量u2，同样在流速矢量u2上取微小线段△s2得到A3点。依次绘制下去，就得到一条折线A1—A2—A3……若各微小线段的长度△s1、△s2、……趋近于零，该折线将成为一条曲线，此曲线即为t时刻通过流场中A1点的一条流线。作出t时刻通过流场中另外一些空间点的流线，这样一簇流线就形象直观地描绘出该瞬时整个流场的流动趋势。§3.2

液体运动的基本概念流线图§3.2

液体运动的基本概念流线的特征：在同一时刻，流线不能相交或转折（流速为零的点除外），只能是一条光滑的连续曲线。恒定流中，流线的位置和形状不随时间变化。恒定流中，液体质点运动的迹线与流线相重合。流线的形状与边界条件有关。离边界越近，边界对流线形状的影响越明显。！流线不能相交，不能为折线。§3.2

液体运动的基本概念根据流线的定义，可建立流线的微分方程。在流线AB上取一微分段ds，近似为直线。速度与流线微分段ds相重合速度流线微分段ds§3.2

液体运动的基本概念即由此可知,流线的微分方程式:把某一质点在连续的时间内所占据的空间点连成线，就是迹线。§3.2

液体运动的基本概念迹线的微分方程式为则所取微分段即代表液体质点在

时间内的位移，在恒定流中，各运动要素与时间无关，所以迹线方程式与流线方程式相同，都可用下列微分方程式表示:或若将曲线AB视为某一液体质点运动的迹线时，则所取微分段。§3.2

液体运动的基本概念3.2.3流管、元流、总流和过水断面流管——由流线构成的一个封闭的管状曲面dA元流（微小流束）——充满以流管为边界的一束液流总流——在一定边界内具有一定大小尺寸的实际流动的水流，它是由无数多个微小流束组成过水断面——与元流或总流的流线成正交的横断面过水断面的形状可以是平面也可以是曲面。！§3.2

液体运动的基本概念过水断面图:断面§3.2

液体运动的基本概念单位时间内通过元流过水断面的液体体积即为元流的流量为：

3.2.4流量和断面平均流速流量——单位时间内通过某一过水断面的液体体积，常用单位m3/s或L/s，以符号Q表示。udA在总流中任取一元流，其过水断面面积为上各点的流速为总流过水断面A流量为：§3.2

液体运动的基本概念断面平均流速——是一个假想的流速，过水断面上各点的流速大小均等于v，方向与实际流动方向相同，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等所对应的流速v。根据断面平均流速的定义：得：§3.2

液体运动的基本概念旋转抛物面即为旋转抛物体的体积断面平均流速V即为柱体的体积A§3.2

液体运动的基本概念按运动要素随空间坐标的变化一元流二元流三元流水库hB若运动要素是空间三个坐标的函数，这种流动称为三维流

（或三元流）。若运动要素是空间二个坐标的函数，这种流动称为二维流

（或二元流）。若运动要素仅是空间一个坐标的函数，这种流动称为一维流。§3.3液体运动的类型三维流图二维流图§3.3液体运动的类型对于一维流动，如果流动过程中运动要素不随流程坐标s而改变，这种流动称为均匀流；反之，称为非均匀流。3.3.2均匀流和非均匀流对于一维流动加速度切向加速度法向加速度根据复合函数求导§3.3液体运动的类型时变加速度位变加速度同理，法向加速度：时变加速度位变加速度就是曲线运动的向心加速度切向加速度：§3.3液体运动的类型均匀流特性：过水断面是平面、而且大小和形状都沿流程不变。各过水断面上流速分布情况相同，断面平均流速沿流程不变。同一过水断面上各点动水压强的分布符合静水压强的分布规律，即同一过水断面上各点的。

对于均匀流来说，不存在位变加速度，即§3.3液体运动的类型在均匀流过水断面

上取一个微分柱体，高为，底面积为

，并与铅垂线成夹角。-根据牛顿第二定律得：得：积分得：§3.3液体运动的类型均匀流及非均匀流均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流非均匀流§3.3液体运动的类型3.3.3渐变流和急变流当流线之间的夹角较小或流线的曲率半径较大，各流线近似是平行直线时，称为渐变流。流线之间的夹角较大或流线的曲率半径较小，这种非均匀流称为急变流。均匀流、渐变流过水断面的重要特性：均匀流是流线为彼此平行的直线。过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变。同一流线上不同的流速应相等，从而各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。§3.3液体运动的类型均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的测压管水头为一常数；推论：均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总压力的计算方法相同。对于由孔口或管道末端射入大气中的水流，如图所示，虽然在出口不远处的c-c过水断面上，水流可视为渐变流，但因该过水断面的周界都处在大气中，一般认为c-c过水断面上各点的压强都近似地等于大气压强，而不再服从静水压强的分布规律。§3.3液体运动的类型渐变流及急变流均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流急变流急变流急变流§3.3液体运动的类型在连续介质假设的前提下，液体运动必须遵循质量守恒定律，该定律应用于研究液体运动亦称之为连续性原理，它的数学表达式即为液体运动的连续性方程。3.4.1控制体的概念流场中确定的空间区域称之为控制体

控制体的边界面是封闭表面，称之为控制面控制体的形状和位置是根据流动情况和边界位置选定的，它对于选定的参考坐标系是固定不变的。§3.4连续性方程控制面有以下几个特点：⑴控制面相对于坐标系是固定的；⑵在控制面上可以有液体流进和流出，即可以有质量交换；⑶在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内物体上的力；⑷在控制面上可以有能量进入或取出，即可以有能量交换。§3.4连续性方程3.4.2液体运动的连续性微分方程任取一个微小正交六面体为控制体边长分别为六面体形心点M的坐标为（x,y,z)t时刻速度u，在三个坐标轴上的分量为根据略去级数中二阶以上各项的，泰勒级数展开：在时段内§3.4连续性方程由abcd面流入的液体质量为：由面流出的液体质量为：在x轴方向质量的变化为：同理，可得：在y轴方向质量的变化为：在z轴方向质量的变化为：§3.4连续性方程dt时刻初：六面体内的质量为

dxdydz

在dt时刻末：六面体内的质量为则，在dt时段内：六面体内因密度的变化而引起的质量增量为：根据质量守恒定律：§3.4连续性方程上式同除以可得：即为可压缩液体的连续性微分方程，它表达了任何可能实现的流体运动所必须满足的连续性条件。展开得：§3.4连续性方程对于不可压缩液体，连续性微分方程为：此式对于不可压缩液体的恒定流和非恒定流均适用。表明：液体微元在三个坐标轴方向的线变率总和等于零。

物理意义：

液体的体积变形率为零，即它的体积不会随时间发生变化。§3.4连续性方程有限分析法：根据质量守恒原理：对于不可压缩液体，密度上式化简得：此式为不可压缩液体恒定元流的连续性方程。它表明：对于不可压缩液体作恒定流时，元流的流速与过水断面面积成反比。3.4.3恒定总流的连续性方程§3.4连续性方程

将元流的连续性方程对总流过水断面积分，可得恒定总流的连续性方程：即：该式为不可压缩液体恒定总流的连续性方程。它表明：对于不可压缩液体作恒定流动，总流的断面平均流速与过水断面面积成反比，或者说，任意过水断面所通过的流量都相等。§3.4连续性方程连续性方程是水动力学的三大基本方程之一。它反映了水流运动过程中，过水断面面积与断面平均流速的沿流程变化规律。连续性方程式的应用条件：⑴水流是连续的不可压缩液体，且为恒定流。⑵两个过水断面之间无支流。当两个过水断面之间有支流存在时，汇入或分出的流量，有支流汇入时取正号有支流分出时取负号§3.4连续性方程按连续介质模型，流体是由无数质点构成的与流动空间相比无限小，又含有大量分子的微元体其尺度效应(变形、旋转)时，习惯上称为微团，因此微团是流体运动的单元。刚体力学早已证明，刚体的—般运动，可以分解为移动和转动两部分。流体是有流动性且极易变形的连续介质，流体微团在运动过程中，除移动和转动之外，还将有变形运动。§3.5液体微团运动的基本形式以微小六面体液体微团ABCD面为例，介绍二维情况下液体微团运动的基本形式。设矩形液体微团ABCD的边长dx和dy，在t时刻，A点的流速分量为ux和uy，B、C、D各点的流速分量可由泰勒级数展开略去二阶以、上各项得到。§3.5液体微团运动的基本形式1、平移运动（）

只考虑A、B、C、D各点中ux

、uy两项。液体微团由ABCD经过dt时间后，矩形微团ABCD平移到A1B1C1D1,称为流体微团的平移速度。§3.5液体微团运动的基本形式2、变形运动

(1)线变形运动（）当A1B1C1D1,时，经过dt时间后变成A1B2C2D2，这时微团发生线变形运动。单位时间内单位长度的线变形为线变形速率,简称线变率。§3.5液体微团运动的基本形式

是单位时间微团在面上的角变形，称为角变形速度。(2)角变形运动（）§3.5液体微团运动的基本形式3、旋转运动()§3.5液体微团运动的基本形式3.6.1无旋流与有旋流的判别如液体在运动时每个液体质点都不存在着绕自身轴的旋转运动，即旋转角速度为零，称之为无旋流（或无涡流），即：

如在运动中流体微团存在旋转运动，即三者之中，至少有一个不为零，则称之为有旋流。§3.6无旋流与有旋流上述分类的依据仅仅是微团本身是否绕自身轴的轴旋转，不涉及是恒定流还是非恒定流，均匀流还是非均匀流，也不涉及微团(质点)运动的轨迹形状。即便微团运动的轨迹是圆，但微团本身无旋转，流动仍是无旋运动(图3—26)，只有微团本身有旋转，才是有旋流(图3—27)。图3—26图3—27§3.6无旋流与有旋流3.6.2无旋流无旋流则有即由高等数学可知，上式是使表达式为函数的全微分的充分必要条件。§3.6无旋流与有旋流即若时间t给定，则即函数称为流速势函数。无旋流必有流速势函数存在，所以无旋流又称为有势流。§3.6无旋流与有旋流

第4章水动力学基础4.1理想液体元流的能量方程4.2实际液体元流的能量方程4.3实际液体总流的能量方程4.4恒定总流动量方程4.5理想液体运动微分方程及其积分4.6实际液体运动微分方程4.7恒定平面势流§4.1理想液体元流的能量方程

取过水断面1–1及2–2为控制面液体从断面1–1流向断面2–2。4.1.1理液体元流的能量方程两断面之间没有汇流或分流

元流1–2段所具有的动能可视为1–1′段和1′–2段的动能之和。

元流1′–2′段所具有的动能可视为1′–2段和2–2′段的动能之和。由动能增量公式：

经过时段后，元流段的动能增量即为2–2′段和1–1′段液体动能之差等效为：得§4.1理想液体元流的能量方程元流段在时段内重力所做的功为

作用于元流段上的力包括质量力和表面力。质量力只考虑重力，表面力只有动水压力。重力所做功：动水压力所做功：元流段在时段内压力所作的功为根据动能定理§4.1理想液体元流的能量方程可建立下列关系式：整理得：对单位重量液体而言，各项都除以

元流的任意过水断面，即：

常数§4.1理想液体元流的能量方程常数为均质不可压缩理想液体恒定元流的能量方程。

是由瑞士科学家伯努利（Bernoulli）于1738年首先推导出来的，所以又称为理想液体恒定元流的伯努利方程。由于元流的过水断面面积很小，所以沿元流的伯努利方程对流线同样适用。4.1.2理想液体元流能量方程的意义⒈物理意义伯努利方程中各项具有能量的意义。是由不同外力做功得出的，因此§4.1理想液体元流的能量方程由水静力学基本方程可知是单位重量液体所具有的势能，其中代表位能；单位重量液体所具有的压能。是单位重量液体所具有的动能。

因为质量为的液体质点，若流速为该质点所具有的动能为§4.1理想液体元流的能量方程则单位重液体所具有的动能为就是单位重量液体所具有的总机械能，通常用来表示。所以

上式表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流中不同的过水断面上，无论这三种形式的能量如何转换，单位重液体所具有的总机械能始终保持不变。⒉几何意义水力学中常用水头表示某种高度。

§4.1理想液体元流的能量方程从几何意义来看，理想液体元流的伯努利方程的各项是分别表示不同的几何高度，可以用几何线段表示。在水静力学中已经阐明:

代表位置水头代表压强水头表示测压管水头。从物理学可知，它表示在不计外界阻力的情况下，§4.1理想液体元流的能量方程代表了总水头。

表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，在元流不同的过水断面上，位置水头、压强水头和速度水头之间可以互相转化，但其之和为一常数，即总水头沿程不变。液体质点以铅垂向上的速度所能到达的高度，故称为速度水头。§4.1理想液体元流的能量方程4.1.3毕托管测流速原理

毕托管是一种常用的测量液体点流速的仪器，其测量流速的原理就是液体的能量转换和守恒原理。A点处的水流质点沿顶端处的小孔进入内套管。

代表了A点的动水压强代表了A点处水流的总能量

根据伯诺里方程可得：代表了A点的水流的总能量

§4.1理想液体元流的能量方程外套管B处的水流质点垂直流入套管。整理可得：实际液体具有粘滞性，能量转化时有损失。毕托管顶端小孔与侧壁小孔的位置不同。毕托管放入水流中所产生的扰动影响。加以修正后，得A的速度为：

实际上，必须考虑下列影响因素：所以要对式§4.1理想液体元流的能量方程4.2.1一般表达式

实际液体存在着粘滞性，液体运动时克服摩擦阻力要消耗一定的机械能。因此，对实际液体而言：

为元流单位重量液体上游过水断面1-1到下游过水断面2-2的能量损失。则，根据能量守恒原理可得：§4.2实际液体元流的能量方程

在不可压缩实际液体恒定流情况下，元流中不同的过水断面上总能量是不相等的，而且是总能量沿流程减少。方程的物理意义是：

元流各过水断面上单位重量液体所具有的总机械能沿流程减小，部分机械能转化为热能或声能等而损失；同时，亦表示了各项能量之间沿流程可以相互转化的关系。该式表明：4.2.2实际液体元流能量方程的意义§4.2实际液体元流的能量方程

将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。均匀流或渐变流过水断面上动能修正系数,1.05~1.1取平均的hw§4.3实际液体总流的能量方程能量方程与连续性方程联合应用，可以解决一维恒定流的许多水力学计算问题。

总流能量方程的物理意义是：总流的能量方程式揭示了水流运动中各种能量之间的相互转化关系。总流各过水断面上单位重量液体所具有的平均势能与平均动能之和沿流程减小。亦即总机械能的平均值沿流程减小，水流在运动过程中部分机械能转化为热能而损失。

它反映了总流中不同过水断面上值和断面平均流速v的变化规律，能量方程是水动力学中三大基本方程之二，是分析水力学问题最重要最常用的公式。§4.3实际液体总流的能量方程4.3.2能量方程的图示——水头线能量方程沿流程用几何线段图形来表示。0–0为基准面水头为纵坐标位置水头:总流各断面中心点距基准面的高度。测压管水头线:连接各断面的测压管水头得到一条线。

总水头线:连接各断面的总水头得到一条线。

§4.3实际液体总流的能量方程测压管水头线位于中心线以上，压强为正；反之，压强为负。实际液体，随着流程的增加,水头损失不断增大，总水头不断减小。实际液体的总水头线一定是沿流程下降的（除非有外加能量）。§4.3实际液体总流的能量方程当总水头线是曲线时

水力学中把水力坡度规定为正值，因总水头的增量沿流程始终为负值，为使J为正值。故在式中加负号。水力坡度J

：总水头线坡度，单位流程上总水头的降

低值或单位流程上的水头损失。当总水头线是直线时§4.3实际液体总流的能量方程

由能量守恒可知，动能和势能之间可以互相转化，因此测压管水头线沿流程可升可降，甚至可能是一条水平线。在断面平均流速不变的流段，测压管水头线与总水头线平行。

——测压管水头线坡度，沿流程下降为正，则沿流程测压管水头线可任意变化，因此值可正、可负或者为零。§4.3实际液体总流的能量方程4.3.3能量方程的应用条件⑴水流必须是恒定流，并且液体是均质不可压缩的。⑵作用于液体上的质量力只有重力。⑶所取的过水断面应在渐变流或均匀流区域，但两个过水断面之间可以是急变流。⑷所取的过水断面之间，除了水头损失以外，没有其它机械能的输入或输出。⑸所取的过水断面之间，没有流量的汇入或分出，即总流的流量沿流程不变。§4.3实际液体总流的能量方程在实际工程中，常常会遇到流程中途有流量改变或外加机械能的情况。⒈有流量分出时的能量方程根据能量守恒原理又由得：§4.3实际液体总流的能量方程2.有流量汇入时的能量方程同理可得：§4.3实际液体总流的能量方程⒉有能量输入或输出时的能量方程管道系统所需的水泵扬程

水泵的轴功率

水泵效率

水轮机的作用水头水轮机的出力水轮机效率§4.3实际液体总流的能量方程能量方程在具体应用时应注意：⑴首先要弄清液体运动的类型，判别是否能应用能量方程。⑵尽量选择未知量个数少的渐变流过水断面，当与其它各项相比很小时，可以忽略不计。⑶基准面可任意选择，但在同一方程中z值必须对应同一个基准面。⑷压强一般采用相对压强，亦可采用绝对压强。但在同一方程中必须采用同一个标准。§4.3实际液体总流的能量方程⑸因为渐变流同一过水断面上各点的（）值近似相等，具体选择哪一点，以计算简单和方便为宜。对于有压管道水流通常取在管轴线上；对于明渠水流通常选在自由表面上。⑹严格地讲，不同过水断面上的动能修正系数值是不相等的，而且不等于1.0。但在实用上，对渐变流的多数情况。可取。§4.3实际液体总流的能量方程应用能量方程式的注意点：（1）选取高程基准面；（2）选取两过水断面；所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面之间，水流可以不是渐变流。（3）选取计算代表点；（4）选取压强基准面；（5）动能修正系数一般取值为1.0。4.3.4能量方程式的应用§4.3实际液体总流的能量方程⒈判别水流运动方向解：已知：§4.3实际液体总流的能量方程

由于1-1断面的总机械能高于2-2断面的总机械能，该段管道水流是从1-1断面流向2-2断面。

据恒定总流的能量方程，水流一定是从总机械能高处流向总机械能低处。判别水流运动方向不能简单地根据位置的高低，流速的大小来决定，应依据单位重量液体总机械能沿流程的变化规律来判别。说明：§4.3实际液体总流的能量方程⒉文丘里流量计总流的能量方程。即：§4.3实际液体总流的能量方程则，通过文丘里流量计的流量为

又若考虑水头损失，得实际流量为：文丘里管流量系数压差计中的液体为水银时，当水管直径及喉管直径确定后，K为一定值，可以预先算出来。§4.3实际液体总流的能量方程依动量定律：即：单位时间内，物体动量的增量等于物体所受的合外力。动量的变化:11221′1′2′2′t时刻t+△t时刻dA1u1u2dA2u1△t△t时段内，动量的增量：又由可以看作是1'-2和2-2′两个流段的动量之和即：

同理：§4.4恒定总流的动量方程式因流动是不可压缩液体的恒定流，相应于两个不同时刻的动量相同。所以1-2流段在时间内的动量变化实际上可写为流出液体的动量流入液体的动量。

就等于时段内从控制体1-2流出液体的动量与流入液体的动量之差。在过水断面1-1上时段内由流入液体的动量为对面积积分，得总流1－1断面流入液体的动量为§4.4恒定总流的动量方程式动量修正系数，代表了实际动量与按断面平均流速计算的动量之比。令在渐变流过水断面上，与方向一致。

故取决于过水断面上流速分布的均匀程度。可整理得：同理动量差：设为时段内作用于总流1-2流段上所有外力之和。§4.4恒定总流的动量方程式当流入和流出各只有一个断面时，这就是不可压缩液体恒定总流的动量方程。

它表示两个控制断面之间的恒定总流，在单位时间之内流出该段的液体所具有的动量与流入该段的液体所具有的动量之差，等于作用在所取控制体上各外力的合力。动量方程的投影表达式：可得：§4.4恒定总流的动量方程式适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：§4.4恒定总流的动量方程式⑴首先要选取控制体。⑵全面分析控制体的受力情况。⑶实际计算中，一般采用动量方程的坐标投影形式。⑷方程式中的动量差，必须是流出的动量减去流入

的动量，两者切不可颠倒。⑸动量方程只能求解一个未知数。当有两个以上未

知数时，应借助于连续性方程及能量方程联合求

解。设β１≈1，β２≈1。

4.4.2应用动量方程式的注意点：§4.4恒定总流的动量方程式下面举例说明动量方程的应用1.确定水流对弯管的作用力已知：求：水流对弯管的作用力。（不计弯管的水头损失）解：由连续性方程

§4.4恒定总流的动量方程式得取过水断面1-1和2-2，以过管轴线的水平面为基准面。能量方程为取动能修正系数§4.4恒定总流的动量方程式故2-2断面形心点的压强取控制体，且选取水平面为坐标平面因流动在同一个水平面内，故重力平面上的投影为零管壁对控制体的作用力§4.4恒定总流的动量方程式x方向的动量方程整理得：y方向的动量方程整理得：§4.4恒定总流的动量方程式，

的计算结果均为正值，说明管壁对控制体作用力的实际方向与假定方向相同。合力的大小合力与x轴的夹角水流对弯管的作用力为，与大小相等，方向相反，而且作用线相同。

直接作用在弯管上，对管道有冲击破坏作用，为此应在弯管段设置混凝土支座来抵抗这种冲击力。§4.4恒定总流的动量方程式2.水流对建筑物的作用力P1122xP1=ρgbh12/2P2=ρgbh22/2R沿x方向列动量方程为：§4.4恒定总流的动量方程式FPV000VV1122RV0VVx沿x方向列动量方程为：整理得：3.射流对平面壁的冲击力§4.4恒定总流的动量方程式§4.5理想液体运动微分方程及积分

液体的运动规律涉及力，在研究理想液体运动时，首先要了解理想液体中的应力。因为理想液体没有粘滞性，所以液体运动时不产生切应力，表面力只有压应力，即动水压强。理想液体的动水压强与静水压强一样亦具有两个特性：

(1)动水压强的方向总是沿着作用面的内法线方向；

(2)任意一点的动水压强大小与作用面的方位无关，

即同一点上各个方向的动水压强大小相等。4.5.1理想液体的运动微分方程液体是一种物质，在运动过程中亦必须遵循牛顿第二定律。下面应用牛顿第二定律建立理想液体的运动微分方程。在理想液体流场中，任取一点该点的动水压强为速度为以为中心，取微小平行六面体，如图4-24所示。§4.5理想液体运动微分方程及积分设液体为均质，密度为因为是理想液体，表面力只有动水压力。

六面体上形心点的压强仍采用泰勒级数并略去二阶以上小量而得。根据牛顿第二定律，在x轴方向，所有作用于六面体上的力投影的代数和应等于六面体的质量与加速度投影之乘积。

§4.5理想液体运动微分方程及积分即对单位质量而言，化简得同理：即为理想液体的运动微分方程，是由欧拉在1775年首先推导出来的，所以又称为欧拉运动微分方程。它表示了液体质点运动和作用力之间的相互关系，适用于不可压缩的理想液体或可压缩的理想气体。对前者密度值为常量，而后者值为变量。§4.5理想液体运动微分方程及积分对于静止液体，得即为液体的平衡微分方程，即欧拉液体平衡微分方程。

欧拉运动微分方程可写为§4.5理想液体运动微分方程及积分对于不可压缩的均质理想液体而言,未知数仅为,,,与连续性微分方程式联合构成封闭的方程组，结合具体问题的定解条件，才能求得不可压缩理想液体运动的解。§4.5理想液体运动微分方程及积分4.5.2葛罗米柯（TpoMeko）运动微分方程因，由此可写出对轴偏导数的表达式:故将上式代入§4.5理想液体运动微分方程及积分整理得：因，代入上式整理后得：同理§4.5理想液体运动微分方程及积分若液体是不可压缩均质的，密度为常数则,,,可分别写为,

,若为恒定流，则将以上条件代入可化简为同理可得：§4.5理想液体运动微分方程及积分4.5.3理想液体运动微分方程的积分由理论力学可知，力势场中的力在，，三个坐标轴上的分量可用某一函数的相应坐标轴的偏导数来表示即其中，称为势函数或力势函数，而具有势函数的质量力称为有势力，例如重力和惯性力。§4.5理想液体运动微分方程及积分将以上各式分别乘以坐标任意增量，，，并将它们相加，得因为恒定流时各运动要素与时间无关上式等号左边为对空间坐标的全微分，§4.5理想液体运动微分方程及积分等号右边可用行列式的形式来表示显然，当行列式的值等于零时，上式即可积分为=常数该式是理想液体恒定流的能量方程。这个方程式是瑞士科学家伯努利（Bernoulli）在1738年提出的，该方程又称为伯努利方程。§4.5理想液体运动微分方程及积分应用条件⑴液体是不可压缩均质的理想液体，密度为常数；

⑵作用于液体上的质量力是有势的；⑶液体运动是恒定流；⑷行列式§4.5理想液体运动微分方程及积分当质量力只有重力时，并取轴铅垂向上为正，则

，，因此积分得=常数又由可得=常数任意两点§4.5理想液体运动微分方程及积分4.5.4绝对运动和相对运动的能量方程⒈绝对运动的能量方程

绝对运动是指液流的固体边界对地球没有相对运动，作用在液体上的质量力只有重力而没有其它惯性力。若质量力是有势的，则故§4.5理想液体运动微分方程及积分称为不可压缩均质理想液体恒定流的绝对运动能量方程，又称为绝对运动的伯努利方程。

⒉相对运动的能量方程相对运动是指液流沿固体边界运动的同时，固体边界相对于地球是运动的，例如水泵叶轮内水流的运动就是这种情况。一方面液体在叶片之间由中心向外运动右图为离心泵叶轮示意图。另一方面叶轮以等角速度绕中心轴作旋转运动。

§4.5理想液体运动微分方程及积分单位质量力的分量为所以积分得§4.5理想液体运动微分方程及积分整理得即：应用于同一条流线上的任意两点，则即为相对运动的能量方程，它常用来分析流体机械，如离心泵及水轮机中的液体运动。§4.5理想液体运动微分方程及积分

在实际工程中，绝大部分液体运动其粘滞性是不能忽略的，因此，在本节将导出实际液体的运动微分方程。4.6.1液体质点的应力状态在实际液体的流场中任取一点由切应力互等定理可得§4.6

实际液体运动微分方程4.6.2应力与变形的关系牛顿内摩擦定律给出二维平行直线流动中切应力大小为，速度梯度

实际上又代表了液体的切应变率（又称剪切变形速率或角变形率），即将这个结论推广到一般的空间流动，称为广义牛顿内摩擦定律。§4.6

实际液体运动微分方程在平面上的角变形速率为

因为，所以则切应力同理可得§4.6

实际液体运动微分方程关于正应力，即动水压强，在同一点上，三个互相垂直作用面上的动水压强之和，与那组垂直作用面的方位无关，也就是说，无论直角坐标系如何转动，的值总是保持不变。平均值三个互相垂直方向的动水压强§4.6

实际液体运动微分方程对于不可压缩液体附加动水压强和线变形速率之间有下列关系联立上述公式整理得：§4.6

实际液体运动微分方程4.6.3实际液体运动微分方程在实际液体流场中，取一个以任意点，如下图所示。

沿轴方向现根据牛顿第二定律，§4.6

实际液体运动微分方程同理可得y,z轴上的值，并化简整理后可得

这就是以应力表示的实际液体运动微分方程。可整理得：§4.6

实际液体运动微分方程这就是不可压缩均质实际液体运动微分方程。称纳维埃－司托克斯（Navier–Stokes）方程，简称N-S方程。如果液体为理想液体，上式即成为理想液体运动微分方程；如果是静止液体，上式即成为液体的平衡微分方程。§4.6

实际液体运动微分方程按液体质点有无转动，将液体运动分为有旋流和无旋流，无旋流又称为有势流。严格地讲，只有理想液体的运动才有可能是有势流。4.7.1流速势和等势线在恒定有势流中必然存在流速势函数，对平面内的势流来说，且有所以§4.7

恒定平面势流流速势函数可表达为下列积分势函数相等的点连成一条曲线，称为等势线，其方程为常数

给出不同的常数值，可在势流场内得到一簇等势线。因为等势线方程满足，所以若已知流速场，等势线方程也可写为平面流动的连续性方程为§4.7

恒定平面势流可得到可见流速势函数满足拉普拉斯方程。

4.7.2流函数及其性质对于平面流动来说，流线的微分方程式为当§4.7

恒定平面势流即为不可压缩液体的连续性方程令此函数为，称为流函数，则有因为存在可得流速场与流函数的关系式为§4.7

恒定平面势流

流函数存在的充分必要条件就是不可压缩液体的连续性方程，所