微积分的发展史对新课标导数教学的启示

1、PAGE 第 PAGE 六 页 共 NUMPAGES 6 页微积分的的发展史史对新课课标导数数教学的的启示台山培英英中学 黄辉辉胜【内容摘摘要】一一般地，导数概概念的起起点是极极限，即即从数列列数列的的极限函数的的极限导数，但对于于高中的的学生来来说，极极限是非非常抽象象和不容容易理解解的，而而新课标标导数教教学并没没有介绍绍形式化化的极限限定义，改从变化化率入手手，用形形象直观观的“逼近”方法定定义导数数。本文文就是从微微积分的的发展史史来弄清清为什么么可以这这样引入入导数的的概念。【关键词词】流数数；变化率率；瞬时变变化率；导数 一般地，导数概概念的起起点是极极限，即即从数列列数列的的极限

2、函数的的极限导数。这种概概念建立立方式有有严密的的逻辑性性和系统统性，但但是也产产生了一一些问题题：就高高中学生生的认知知水平而而言，他他们很难难理解极极限的形形式化定定义。由由此产生生的困难难也影响响了对导导数本质质的理解解。而新新课标导导数概念念是怎样样讲呢？教科书书（人教教版）没没有介绍绍形式化化的极限限定义及及相关知知识。而而是从变变化率入入手，用用形象直直观的“逼近”方法定定义导数数。这种种概念建建立方式式当然就就没有严严密的逻逻辑性和和系统性性了，有有这种必必要吗？笔者从从微积分分的发展展史找到到答案。一、微积积分的发发展史简简介众所周知知，微积积分是由由伊萨克克牛顿（Isaac

3、NNewtton，16443117277）与戈戈特弗里里威廉莱布尼尼茨（GGotttfriied Willhellm，11646617716）分别通通过研究究不同的的问题而而创立的的。对牛牛顿的数数学思想想影响最最深的要要数笛卡卡儿的几何学学和沃沃利斯的的无穷穷算术，正是是这两部部著作引引导牛顿顿走上了了创立微微积分之之路。116666年牛顿顿将其前前两年的的研究成成果整理理成一篇篇总结性性论文流数数简论，这也也是历史史上第一一篇系统统的微积积分文献献。在简简论中，牛顿以以运动学学为背景景提出了了微积分分的基本本问题，发明了了“正流数数术”（微分分）；从从确定面面积的变变化率入入手通过过反微分

4、分计算面面积，又又建立了了“反流数数术”；并将将面积计计算与求求切线问问题的互互逆关系系作为一一般规律律明确地地揭示出出来，将将其作为为微积分分普遍算算法的基基础论述述了“微积分分基本定定理”。“微积分分基本定定理”也称为为牛顿莱布尼尼茨定理理，牛顿顿和莱布布尼茨各各自独立立地发现现了这一一定理。而莱布布尼茨与与牛顿的的切入点点不同，他创立立微积分分首先是是出于几几何问题题的思考考，尤其其是特征征三角形形的研究究。16684年年，莱布布尼茨整整理、概概括自己己16773年以以来微积积分研究究的成果果，在教师学学报上上发表了了第一篇篇微分学学论文一种求求极大值值与极小小值以及及求切线线的新方方法

5、（简称新方法法），它包含含了微分分记号，以及函函数和、差、积积、商、乘幂与与方根的的微分法法则，还还包含了了微分法法在求极极值、拐拐点以及及光学等等方面的的广泛应应用。116866年，莱莱布尼茨茨又发表表了他的的第一篇篇积分学学论文，这篇论论文初步步论述了了积分或或求积问问题与微微分或切切线问题题的互逆逆关系，包含积积分符号号并给出出了摆线线方程：只是莱布布尼茨对对微积分分学基础础无穷穷小量上上的解释释和牛顿顿一样也也是含混混不清的的，这引引起了所所谓第二二次数学学危机。而为了解解决这次次数学危危机才有有极限这这个概念念。由此此可见，传统的的导数教教学只是是按“公理演演绎法”的形式式来铺陈陈数

6、学，即只讲讲述逻辑辑演绎系系统，亡亡象而存存玄珠，按“公理、定义、定理、证明”四部曲曲，干净利利落地呈呈现。但但是，对对于提问问题的艺艺术，一一个概念念的形成成，一个个公式、定理的的发现，乃至一一个理论论的创造造与生长长过程，这些更更有趣部部分，几几乎都不不谈。换换言之，将完整整的探索索过程去去头砍尾尾，即去去掉人文文与历史史土壤，再砍掉掉品味与与欣赏，结果造造成数学学的无趣趣与面目目可憎，迫使学学生为了了“分数”或“升学”而走上上痛苦之之“背记”道路，美其名名是为了了逻辑的的严谨，如此所所付出的的代价实实在太大大了全盘皆皆输！二、新课课标导数数教学的的处理反观新课课标的导导数的教教学，没没有

7、介绍绍形式化化的极限限定义及及相关知知识，而而是从变变化率入入手，用用形象直直观的“逼近”方法定定义导数数。在一一系列问问题的引引导下，学生经经历从平平均变化化率到瞬瞬时变化化率刻画画现实问问题的过过程，从从代数和和几何两两个方面面理解导导数的含含义，一一方面，通过去去瞬时速速度方法法而引入入导数的的概念，这是牛牛顿创立立导数的的基础，另一方方面，再再讲清导导数的几几何意义义导数数是曲线线上某点点处切线线的斜率率，这是是莱布尼尼茨创立立导数基基础。这样一一来，根根据德国国生物学学家海克克尔（EE.Haaeckkel说法法：“个体的的发生史史重复种种系的发发生史。”类推

8、应应用到学学习上，这意指指一个人人要学习习一门学学问，重重走一趟趟该门学学问的发发展过程程，是比比较容易易且自然然的一条条道路。其一，体体现数学学是自然然的，不不是强加加给人的的这一根根本思想想，避免免学生认认识水平平和知识识学习间间的矛盾盾；其二二，将更更多精力力用于导导数本质质的理解解上；其其三，学学生对逼逼近思想想有了丰丰富的直直观理解解，很自自然使学学生想到到所谓第第二次数数学危机机问题，让学生生体验历历史上发发现微积积分的过过程，激激发学生生学习的的兴趣，知道极极限概念念的必要要性，有有利于在在大学的的初级阶阶段学习习严格的的极限定定义。老老实说，我们在在以前的的传统的的教育下下，在

9、学学习完微微积分都都感觉不不到严格格的极限限定义的的必要性性，反而而陷入极极限定义义的漩涡涡中，弄弄得晕头头转向，但在新课课标导数数教学方方法下，我们将将很自然然明白为为什么需需要这样样。三、导数数教学体体会（1）由由气球膨膨胀率与与高台跳跳水两个个例子引引入变化化率问题题，进一一步引出出平均变变化率过过程，使使学生达达到牛顿顿和莱布布尼兹创创立微积积分的基基础。（2）由由高台跳跳水的数数学模型型很自然然得出我我们要关关心运动动员某一一时刻的的速度瞬时时速度，公式定义义了运动动员在一一段时间间内的平平均速度度，它粗粗略地描描述了这这段时间间内运动动员运动动的快慢慢。可以以想象，如果非非常非常常

10、小，就就可以近近似地反反映t时时刻的瞬瞬时速度度。一个个自然的的想法是是，选取取一个时时刻，如如t22秒，在在具体数数值计算算基础上上，细致致地观察察它附近近的变化化情况。确定思思路后，如下表所示：0时，在这段段时间内内当时，133.0551当时，133.1449当时，133.09951当时，133.10049当时，133.0999511当时，133.1000499当时，133.09999551当时，133.10000449当时，133.099999951当时，133.100000049计算出tt2两两侧各时时间段内内运动员员的平均均速度，观察表表格中的的两列数数值，可可以发现现，当趋趋近于0

11、0时，平平均速度度趋向于于一个定定值，自自然地，这个定定值就是是t22秒时的的瞬时速速度。最最后出于于表述的的方便，用简洁洁的符号号表示上上述思想想，即用用“”代替“当趋近于于0，趋趋于的定定值”。于是是，t2秒时时的瞬时时速度可可以简洁洁地表示示为2秒时的的瞬时速速度133.1这一点避避免提出出复杂的的极限定定义，其其实牛顿顿与莱布布尼兹时时代也是是这样来来理解啊啊！所以以使学生生感到非非常自然然，我们们为什么么讲导数数非要讲讲极限的的定义不不可呢？这是一一个从近近似到准准确，量量变到质质变的过过程。（3）通通过探究究1：运运动员在在某一时时刻的瞬瞬时速度度怎样表表示？使使求瞬时时速度的的方

12、法更更具一般般性。通通过探究究2：函函数在处的瞬瞬时变化化率怎样样表示？进一步步舍弃高高台跳水水的物理理意义，完全抽抽象为数数学问题题。（4）引引出导数数概念，函数在在处的导导数就是是函数在在处的瞬瞬时变化化率。通过上面面的过程程自然建建立导数数概念的的过程，学生会会对历史史上导致致导数产产生的一一类问题题“根据物物体的路路程关于于时间的的函数求求速度和和加速度度”有更深深的体会会，这其其实就是是牛顿创创立微积积分一个个过程啊啊！使学学生充分分感受到到数学知知识的认认识掌握握是水到到渠成的的，不是是死记硬硬背的，还有哪哪种教法法比这样样的教法法好啊！不过，笔笔者在教教学过程程中发现现，学生生对

13、高台台跳水这这个例子子虽然很很有兴趣趣，但学学生对这这个例子子感觉还是是比较难难的，容易易使学生生失去学学习的兴兴趣（本本校的学学生的数数学基础础比较差差），大大多数学学生学习习数学的的能力都都不是太太强的，开始安安排的例例子要尽尽量简单单，然后后在后面面的应用用中逐渐渐拓展，这样符合合人类认认识事物物的发展展规律，不必一一开始就就这么难难，笔者者觉得这这种现象象在新课课标的教教材中还还是比较较常见的的，我们们数学教教学目的的首先不不是培养养数学精精英，是是为了使使每一位位学生都都懂数学学，也即即数学大大众化，可根据据学生的的实际作作调整和和补充。总之，从从微积分分的发展展史可以以看出，新课标标的导数