立体几何专题评估测试题及详细答案

1、答案A立体几何专题评估测试题时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2013济宁一模)已知m,n是空间两条不同的直线，a,B,丫是三个不同的平面，则下列命题正确的是A.若aB,mua,nuB,则mnB.若acy=m,BCY=n,mn,贝aBC.若muB,a丄B，则m丄aD.若m丄B,ma,贝a丄B解析根据线面垂直的判定和性质可知，D正确.答案D2.(2013课标全国II)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三

2、视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为解析结合已知条件画出图形,然后按照要求作出正视图.根据已知条件作出图形：四面体CADB,标出各个点的坐标如图所示,11/5/41/Cr1/可以看出正视图是正方形,如图(2)所示.故选A.答案C在空间中，不同的直线m,n,l不同的平面a,B,则下列命题正确的是A.ma,na，贝ymnB.ma,mB，贝UaBC.m丄l,n丄l，则mnD.m丄a,m丄B，贝aB答案D（2013大兴一模）已知平面a,B,直线m,n,下列命题中不正确的是A.若m丄a,m丄B，贝UaBB.若mn,m丄a，则n丄aC.若ma,anB=n,则mnD.若m丄a,mB,

3、贝Ua丄B解析C中，当ma时，m只和过m平面与B的交线平行，所以C不正确.答案C5.（2013滨州模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.13D-21B-31C-2解析由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1,俯视图的面积为1X1=1,所以四棱锥的体积为|x1X1=3,选B.答案B6.下列命题正确的是若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直解析A不正确，满足条件的直线可能相交也可能异面；B

4、不正确，当两个平面相交时也满足条件；由线面平行的性质定理可知C正确；D不正确，垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交.7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.-翻nB.2-翻nC.(W2+1)nD.(2、./2+2)n解析由三视图可知该几何体是两个高相等、底面完全重合的圆锥，圆锥的底面半径为1，高为1,则该几何体的表面积为2Xnrl=2XnXlX羽=2/2n.答案B设m,n是不同的直线，a,B,Y是不同的平面，有以下四个命题：aBa丄BB丫；m丄B；aYJmaJTOC o 1-5 h zm丄amna丄B；ma.mBJnuaJ其中真命题的是A.B.C.D.解析正确，平行于同一

5、平面的两平面平行；中m可能在平面B内，也可能mB,m丄B,正确.中可能mua.答案A(2013临汾模拟)若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为答案D解析由三视图可知该几何体为三棱锥，并且在同一顶点上的三条棱两两垂直，且棱长分别为3、4、5，故该几何体的外接球也就是棱长分别为3、4、5长方体的外接球，则该外接球的半径R=2j32+42+52=琴，所以S=4nR2=50n.答案B（2013太原模拟）几何体ABCDEP的三视图如图，其中正视图为直角梯形，侧视图为直角三角形，俯视图为正方形，则下列结论中不成立的是2俯视图4正观图侧视图A.BD平面PCEB.AE丄平面

6、PBCC.平面BCE平面ADPD.CEDP解析由三视图可知，该几何体的底面是正方形，且棱EB和PA都与底面ABCD垂直.若CEDP，则CE在平面PDA上的射影和DP平行，这和几何体的侧视图矛盾，故选项D不成立.11若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a为正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为A.33bD.265解析由题意知正四棱锥的每个侧面面积为4&2.设正四棱锥的侧棱长为X,则正四棱锥的斜高所以有2.，X2-4a=42，解得X=卫寻a.TOC o 1-5 h z2a/13所以正四棱锥的侧棱与底面所有角的余弦值为厂.26丄3答案C12.如图所示，正方体ABCD-A

7、BCD中，E、F分别是正方形ADDA和ABCD的中心，G是CC1111111的中点，设GF、CE与AB所成的角分别是a、B,贝Ua+B等于1A120B60C75D90解析选BC的中点M,连接FM、MG,则ZGFM为GF与AB所成的角；连接ED,则ZECD为111CE与AB所成的角.计算出MF,MG,ED11的长度可知CD1MG=MF，故RtAGMFsRtCED,1ZGFM+ZECD=90。.选D.11答案D二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中的横线上）13.将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A,B,C,D为顶点的三棱锥的体积最大值等于解析如图所示，设0是正方形AB

8、CD的对角线AC和BD的交点，AH是点A到平面BCD的距离，因为Sbc=2,所以当AH最大时，所求三棱锥的体积就最大，由图可知当点H与点0重合时，AHBCD最大，此时AH=AO：2，贝V三棱锥的体积最大值为V=3乂2人翻=半.D0C答案罕14.(2013扬州模拟)正四面体ABCD中，AO丄平面BCD,垂足为0,设M是线段A0上一点,且ZBMC是直角，则鼬值为.解析如图所示，设正四面体ABCD的棱长为2，由条件知0是正三角形BCD的重心，所以B0十零AD=”学MB设M0=x，则CM2=BM2=X2计43.又因为ZBMC是直角，所以BC2=CM2+BM2,(4)、尿即4=2卜+才，解得x=*,川0

9、=单，即M0=*A0，32答案115.如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD丄平面CEFB，CE=1，ZAED=30，贝V异面直线BC与AE所成的角的大小为.1解析由题意，正方形和菱形的边长均为1.又面ABCD丄平面CEFB，所以CE丄平面ABCD,于是CE丄CD，从而DE=、；2.在ADE中，AD=1,DE=、j2,ZAED=30,由正弦定理得ADsinZAEDDEsinZEAD所以sinZEAD=DEsinZAED寸2AD=2，故ZEAD=45.又BCAD，所以异面直线BC与AE所成角为ZEAD，即45.答案45设1，m，n表示不同的直线，a、B、丫表示不同的平面

10、，给出下列四个命题：若m1，且m丄a，贝廿1丄a；若m1，且ma，贝y1a；若anB=1，BY=m，Ya=n，贝1mn；若anB=m，Bgy=1，Ya=n，且nB，贝U1m.其中正确命题的个数为.解析正确.中当直线1a时，不成立.中，还有可能相交于一点，不成立.正确，故有2个正确的命题.答案2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）（2013济南模拟）如图，斜三棱柱ABC-ABC中，侧面AACC丄底面ABC，底面11111ABC是边长为2的等边三角形，侧面AACC是菱形，ZAAC=60,E、F分别是AC、AB的中点.11111（1）求证:

11、EC丄平面ABC；（2）求三棱锥A-EFC的体积.解析（1）证明在平面AACC内，作A0丄AC,0为垂足.111因为ZAAC=60，所以A0=2aa=2ac,即0为AC的中点，所以0C綊AE.1因而EC綊A0.1因为侧面AACC丄底面ABC,交线为AC,AO丄AC,111所以A0丄底面ABC,所以EC丄底面ABC.（5分）1F到平面AEC的距离等于B点到平面AEC距离B0的一半，而B0=/3,所以VA-EFC=VF-AEC=|sAEC2b0=|1AEEC1羽斗仃。分）18.（12分）如图，直三棱柱ABC-ABC中，AABC是等边三角形，D是BC的中点.111（1）求证：直线AD丄BC；111（

12、2）判断AB与平面ADC的位置关系，并证明你的结论.11解析（1）证明在直三棱柱ABC-ABC中，AA丄面ABC,所以AA丄BC.11111在等边ABC中，D是BC中点，所以AD丄BC.因为在平面AAD中，AAnADA,所以BC丄面AAD.111又因为AD面AAD，所以，AD丄BC.（3分）111在直三棱柱ABC-ABC中，四边形BCCB是平行四边形，所以BCBC,所以AD丄BC.（6分）1111111111（2）在直三棱柱ABC-ABC中，四边形ACCA是平行四边形，在平行四边形ACCA中连接AC,11111111交于AC点0,连接D0.则0为AC中点.11在三角形ACB中，D为BC中点，0

13、为AC中点，故DOAB.（10分）111因为DOu平面DAC,AB平面DAC，所以AB面ADC,11111故AB与面ADC平行.（12分）1119.（12分）（2013门头沟区一模）如图，已知平面a,B,且anB=AB,PC丄a,PD丄B,C，D是垂足（1）求证:AB丄平面PCD；若PC=PD=1,CD：2，试判断平面a与平面B是否垂直，并证明你的结论.解析证明因为PC丄a,ABua,所以PC丄AB.同理PD丄AB.又PCGPD=P,故AB丄平面PCD.（5分）（2）平面a与平面B垂直.（6分）证明设AB与平面PCD的交点为H,连接CH、DH.因为PC丄a,所以PC丄CH.在厶PCD中，PC=

14、PD=1,CD=Q所以CD2=PC2+PD2=2，即ZCPD=90.在平面四边形PCHD中，PC丄PD,PC丄CH,所以PDCH.（10分）又PD丄B,所以CH丄B，所以平面a丄平面B.（12分）20.（12分）如图，直三棱柱ABC-ABC中，AABC是等边三角形，D是BC的中点.（1）求证：AB平面ADC；35若AB=BB=2,求AD与平面ACD所成角的正弦值.111解析证明因为三棱柱ABC-ABC是直三棱柱，111所以四边形AACC是矩形.11连接AC交AC于0,则0是AC的中点.111又D是BC的中点，所以在厶ADC中，0DAB.（3分）11因为AB平面ADC,0D平面ADC,111所以

15、AB平面ADC.（5分）11（2）因为ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD丄BC.以D为原点，建立如图所示空间坐标系Dxyz.由已知AB=BB=2，得D（0,0,0），A3，0,0）,AG；3，0,2），C（0，1,2）.（6分）则DA=G,3,0,0）,DC=（0,l,2），设平面ADC的法向量为n=（x,y,z）.nDA=0由nDC=01令z=l,则X=0,y=2,所以n=（0,2,1）.（8分）又DA=（、；30,2），得nDA=0X.用+2X0+1X2=2,所以cosDA，n1设AD与平面ADC所成角为。，则sin110=|cosDA,n12祸=35，（11分）所以AD与平面A

16、DC所成角的正弦值为1135.（12分）21.（12分）（2013南京模拟）如图，在直角梯形ABCP中，APBC,AP丄AB,AB=BC=$P=2,D是AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将PCD沿CD折起，使得PD丄平面ABCD.求证：平面PCD丄平面PAD；（2）求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小.解析证明VPD丄平面ABCD，PD丄CD.CD丄AD，.CD丄平面PAD.CDu平面PCD，.平面PCD丄平面PAD.（5分）如图以D为原点，以DA，DC，DP为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz.则有关点及向量的坐标为G（1,2,0），E（0,1,1），F（0,0,1），E

17、F=（0，1,0），EG=（1,1，1）.（7分）设平面EFG的法向量为n=（x，y，z），nEF=0Jy=0Jx=znEG=0nx+yz=0JyF取n=（1,0,1）平面EFG的一个法向量.（10分）DA=（1,0,0）为平面EFD的法向量,cosDCA，nDAn|DA|n2面GEF与面EFD所成锐二面角的大小为45.（12分）22.（12分）（2013朝阳一模）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC丄平面ABCD,且PA丄AC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BCAD,AB丄AD,AB=BC=1,点E,F分别为侧棱PB,PC上的点，且PE亠入且PBPC（1）求证:EF平面PAD；当入=2

18、时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值;（3）是否存在实数入，使得平面AFD丄平面PCD?若存在，试求出入的值；若不存在，请说明理由.PEPF解析证明由已知，西=丸=入，所以EFBC.因为BCAD，所以EFAD.而EF平面PAD，AD平面PAD，所以EF平面PAD.（4分）因为平面ABCD丄平面PAC，平面ABCDn平面PAC=AC,且PA丄AC，所以PA丄平面ABCD,所以PA丄AB,PA丄AD.又因为AB丄AD，所以PA,AB,AD两两垂直.如图所示，建立空间直角坐标系，因为AB=BC=1,PA=AD=2，所以A(0,0,0),B(1,O,O),C(1,1,O),D(0,2,0),P(0,0,2).当入二石时，F为PC中点，所以F石,-,1,(i1所以前=-22ij苗=(i,i,o).设异面直线BF与CD所成的角为0,所以COS0=|cosBF,CD)|=(112,2,1J1,1,03，J4+#所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为#.（8分）设F(x,y,z),则PF=(x,y,z2),000000FC=(1,1,2).由已知PF=hfC,所以(X,y,z2)=入(1,1,一2),000X=入，0所以y=入，所以A