2017新课标高考理科数学模拟试题(含答案)

1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知命题 p :xR ，sinx1，则（）A p :xR ，sinx1B p :xR ，sinx1D p :xR ，sinx1C p :xR ，sinx1 不能132已知平面向量 a=（1，1），b（1，1），则向量 a b （）22A（2，1）B（2，1） C（1，0）D（1，2） 3 23函数 y sin2x 在区间 ， 的简图是（）yy113xxOO63262A1B1yy116Ox63 x2O132C1D4已知a

2、是等差数列，a =10，其前 10 项和 S =70，则其公差 d=n1010（）2311323A B CD35如果执行右面的程序框图，那么输出的 S=（）A2450 B25001C2550D2652y2 2px( p 0)的焦点为 F，点 P （x ，y ），P （x ，y ），P （x ，y ）在抛物线上，且6已知抛物线1112223332x =x +x ， 则有（）213A FP FP FP B FP1 2 FP 2 FP 22 3123C 2 FP FP FPD FP2 2 FP FP1 3213(a b)27已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则

3、的最小值是（）cdA0B1C2D48已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）4000380003cm3Bcm3AC2000cm3D4000cm 2 ，则 cos sin 的值为（）23cos 29若 4 sin 712127DA B C221x10曲线 y e2在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）9e2年 B4e2,C2e2De2A211甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表甲的成绩 乙的成绩丙的成绩环数频数758595105环数频数768494106环数频数748696104s ，s ，s

4、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）123As s sBs s sCs s sDs s s2 3 1312213123212一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1， h ， h ，则 h : h : h （）212A 3 :1:1B 3 : 2: 2C 3 : 2: 2D 3 : 2: 3第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的离心率

5、为。(x 1)(x a)14设函数 f (x) 15i 是虚数单位，为奇函数，则 a=。x510i3 4i。（用 a+bi 的形式表示， a， bR ）16某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D。现测得为BCD ， BDC ，CD=s，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角 ，求塔高 AB。318（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 SABC 中

6、，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形， BAC 90 ，O 为 BC 中点。（）证明： SO 平面 ABC；（）求二面角 ASCB 的余弦值。19（本小题满分 12 分）x2 y在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (0，2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆21有两个不同的交点2P 和 Q。（）求 k 的取值范围； （）设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由。420（本小题满分 12 分）如图，面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M，可按下面方法估计

7、 M 的面积：在正方m形 ABCD 中随机投掷 n 个点，若 n 个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计值为 S ，假设正方n形 ABCD 的边长为 2，M 的面积为 1，并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目。（）求 X 的均值 EX；（）求用以上方法估计 M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间（0.03，0.03）内的概率。kP(k) Ct0.25t0.7510000t附表：10000t0K24240.0403242525742575P（k）0.04230.95700.959021（本小题满分 12 分）f (x)

8、ln(x a) x2设函数（）若当 x=1 时，f（x）取得极值，求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）存在极值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ln e 。2522请考生在 A、B、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。A（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程O 和O 的极坐标方程分别为 4 cos， 4 sin 。12（）把O 和O 的极坐标方程化为直角坐标方程；12（）求经过O ，O 交点的直线的直角坐标方程。12B（本小题满分 10 分）选修 45；不等式选讲设函数 f (x

9、) 2x 1 x 4 。（）解不等式 f（x）2；（）求函数 y= f（x）的最小值。62017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）参考答案一、选择题1C2D3A4D5C6C7D8B9C10D 11B 12B二、填空题133 14 1 151 2i 16240三、解答题17解：在BCD 中， CBD 由正弦定理得BCCDsin BDC sin CBDCDsin BDCsin CBDssin sin( )所以 BC stan sin sin( )在 RtABC 中， AB BC tan ACB 18证明：（）由题设 AB=AC=SB=SC SA，连结 OA， ABC 为等腰直角

10、三角形，所以OA OB OC 2 SA ， 且 AO BC ， 又 SBC 为 等 腰 三 角 形 ， 故 SO BC ， 且2SO 2 SA ，从而OA2 SO2 SA22所以SOA 为直角三角形， SO AO又 AO BO O 所以 SO 平面 ABC（）7解 法 一 ： 取 SC 中 点 M ， 连 结 AM， OM ， 由 （ ） 知 SO OC， SA AC ， 得OM SC， AM SCOMA为二面角 A SC B 的平面角由 AO BC， AO SO， SO BC O 得 AO 平面 SBC所以 AO OM ，又 AM 3 SA，2AOAM236故sin AMO 33所以二面角

11、A SC B 的余弦值为3解法二：以 O 为坐标原点，射线 OB， OA分别为 x 轴、 y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系zO xyz S设 B(1，0，0) ，则C(1，0，0)， A(0，1，0)， S(0，0，1)MCO 1 1 2 2 SC 的中点 M ，0， ，x BA y1 1 21 2 1 2MO ，0， ，MA ，1， ，SC (1，0， 1)2 MO SC 0，MA SC 0 故 MO SC， MA SC， 0)在区间0，2的图像如下：那么=（）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/3z2 2z （2、已知复数 z 1i ，则）z 1A. 2iB. 2iC. 2D.

12、23、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为（A. 5/18 B. 3/4 C. 3 /2D. 7/8）S4a24、设等比数列a 的公比 q 2 ，前 n 项和为 S ，则（）开始nn152172输入A. 2B. 4C.D.5、右面的程序框图，如果输入三个实数 a、b、c，要求输出这三个数中最大x=a的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. c xB. x cC. c bD. b c是bx6、已知 a a a 0，则使得(1 a x)21 (i 1, 2,3)都成立的 取值范x123ix=bx=c围是（）否A.（0，1 ）B. （0，2 ）a1是a1

13、否C. （0，1 ）D. （0，2 ）aa33输出 x3sin 7007、=（2 cos 102 0）结束1232A.B.C. 2D.228、平面向量 a ，b 共线的充要条件是（）13A. a ，b 方向相同B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. R ， b aD. 存在不全为零的实数 ， ， a b 012129、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ）A. 20 种B. 30 种C. 40 种D. 60 种1110、由直线 x ，x=2，曲线 y 及 x 轴所围

14、图形的面积为（）2x1541741A.B.C. ln 2D. 2ln 2211、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（）11A. （ ，1）B. （ ，1）C. （1，2）D. （1，2）4412、某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a + b 的最大值为（A. 2 2 B. 2 3 D. 2 5C. 4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。）1

15、3、已知向量 a (0,1, 1) ，b (4,1, 0) ，| a b | 29 且 0 ，则 = _14、过双曲线甲品271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356种：乙品种：x2 y 1的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线

16、的直线与双曲线交于点2916B，则AFB 的面积为_15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六9棱柱的体积为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _816、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：由以上数据设计了如下茎叶图：甲乙1435434541021031272829303132333435778553957424201365632387526547678982根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：_三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证

17、明过程和演算步骤。17、（本小题满分 12 分）已知数列a 是一个等差数列，且 a 1， a 5 。n25（1） 求a 的通项 a ；nn（2） 求a 前 n 项和 S 的最大值。nn18、（本小题满分 12 分）如图，已知点 P 在正方体 ABCDA B C D 的对角线 BD 上，PDA=60。1 1 1 11D1（1） 求 DP 与 CC 所成角的大小；C11（2） 求 DP 与平面 AA D D 所成角的大小。11A1B1PDCAB1519、（本小题满分 12 分）A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X 和 X 。根据市场分析，X 和121X 的分布列分别为2X1P5%0.81

18、0%0.2X2P2%0.28%0.512%0.3（1） 在 A、B 两个项目上各投资 100 万元，Y 和 Y 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求12方差 DY 、DY ；12（2） 将 x（0 x100）万元投资 A 项目，100 x万元投资 B项目，f(x)表示投资 A项目所得利润的方差与投资 B项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值，并指出 x为何值时，f(x)取到最小值。（注：D(aX + b) = a2DX）x22y2220、（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ：1(a b 0) 的左、右焦点分别为1ab 5F 、F 。F 也是抛物线 C ：

19、 y2 4x 的焦点，点 M 为 C 与 C 在第一象限的交点，且| MF |。12221223（1） 求 C 的方程；1（2） 平面上的点 N 满足 MN MF MF ，直线 lMN，且与 C 交于 A、B 两点，若 OAOB112=0，求直线 l 的方程。161x b21、（本小题满分 12 分）设函数 f (x) ax程为 y 3。(a,b Z) ，曲线y f (x) 在点 (2, f (2) 处的切线方（1） 求 y f (x) 的解析式；（2） 证明：曲线 y f (x) 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3） 证明：曲线 y f (x) 上任一点的切线与直线 x 1和直线

20、 y x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值。17请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22、（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程x 2 t 2(t为参数)。x cos已知曲线 C ： (为参数) ，曲线 C ：212y sin2 ty 2（1）指出 C ，C 各是什么曲线，并说明 C 与 C 公共点的个数；1212（2）若把 C ，C 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ，C 。写出C ，C 的121212参数方程。C 与C 公共点的个数和 C 与 C 公共点的个数是否

21、相同？说明你的理由。121223、（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 f (x) | x 8 | | x 4 |。（1） 作出函数 y f (x)的图像；（2） 解不等式| x 8 | | x 4 | 2 。182017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（二）参考答案一、选择题1B7C2B8D3D9A4C5A6B10D 11A 12C二、填空题321541331415 3161乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）2甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较

22、甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）3甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm4乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀三、解答题a d 117解：（）设 a 的公差为 d ，由已知条件， 1 4d 5，解出 a1a1 3， d 2 n所以 a a (n 1)d 2n 5n1n(n 1)S na d n2 4n 4 (n 2)2（）n1219所以 n 2 时， S 取到最大值 4 n18解

23、：z如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D xyz DACH则 DA (1，0，0) ，CC (0，0，1) BP 连结 BD ， B D DCy 在平面 BB D D 中，延长 DP 交 B D 于 H AB设 DH (m，m，1)(m 0) ，x由已知 DH，DA 60 ，o由 DAgDH DA DH cos DA，DH 2m 2m2 1可得uuur 222解得 m ，所以 DH ， ，1 2222 0 2 0 11uuur uuur（）因为 cos DH CC2 ，222， 1 2， 45 o所以 DH CC即 DP 与CC 所成的角为 45 (0，1，0) （）平

24、面 AA D D 的一个法向量是 DC2 0 2 11 0uuur uuur 1，22因为 cos DH，DC 1 22所以 DH，DC 60 o 可得 DP 与平面 AA D D 所成的角为30 19解：（）由题设可知Y 和Y 的分布列分别为12Y1P510Y2P28120.80.20.20.50.3EY 50.8100.2 6 ，1DY (5 6)20.8 (10 6)20.2 4 ，120EY 20.2 80.5120.3 8 ，2DY (2 8)20.2 (88)20.5 (12 8)2 0.3 12 100 x 2 x（） f (x) D100 Y DY 12 10022 x 100

25、 100 x DY DY2 100 14 x22 3(100 x)100422(4x2 600 x 31002) ，100当 x 600 75 时， f (x) 3为最小值2420解：（）由C ：y2 4x 知 F2 (1，0)2553设 M (x，y ) ， M 在C 上，因为 MF ，所以 x 1，11221322 63得 x ， y 113M 在C 上，且椭圆C 的半焦距 c 1，于是11 481，消去b9a23b1.22并整理得b2 a29a437a2 4 0，1解得 a 2 （ a 不合题意，舍去）3故椭圆C 的方程为 y 1x22143（）由 MF MF MN 知四边形 MF NF

26、 是平行四边形，其中心为坐标原点O ，1212因为lMN ，所以l 与OM 的斜率相同，2 632故l 的斜率 k 6 3设l 的方程为 y 6(x m)212 4y2 12，消去 y 并化简得3x由 y 6(x m)，9x 16mx 8m 4 0 2 2设 A(x，y )， B(x ，y ) ，112216m8m2 4x x ， x x 121 299因为OA OB ，所以 x x y y 0 121 2x x y y x x 6(x m)(x m)12121212 7x x 6m(x x ) 6m21212 7g8m2 4 6mg16m 6m2991 (14m2 28) 09所以 m 2

27、(16m) 49(8m 4) 0 ，22此时故所求直线l 的方程为 y 6x 2 3 ，或 y 6x 2 3 121解：（） f (x) a ，2(x b)12 b1a 9，2a a 3， 0，a 1 ，b 1，4于是 解得 或 8b .(2 b)231x 1因 a，bZ，故 f (x) x 1（）证明：已知函数 y x ， y 都是奇函数12x1所以函数 g(x) x 也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形x1x 1而 f (x) x 11可知，函数 g(x) 的图像按向量 a (1，1) 平移，即得到函数 f (x) 的图像，故函数 f (x) 的图像是以点 (1，1)为中心的中心

28、对称图形2211（）证明：在曲线上任取一点 x ，x 00 x01由 f (x ) 1知，过此点的切线方程为0(x0 1)2y x20 x x0 11 11(x x )00(x 1)20 x0 1x0 1x 1交点为x0 x0 11令 x 1得y ，切线与直线1，令 y x 得 y 2x 1，切线与直线 y x 交点为 (2x 1，2x 1) 000直线 x 1与直线 y x 的交点为 (1，1)1 x 12 x0 11201 2x 11 2x 2 2从而所围三角形的面积为02 x0 10所以，所围三角形的面积为定值 2 22解：（）C 是圆，C 是直线12C 的普通方程为 x y 1，圆心C

29、 (0，0) ，半径 r 12 21 1C 的普通方程为 x y 2 0 2因为圆心C 到直线 x y 2 0 的距离为1，1所以C 与C 只有一个公共点21（）压缩后的参数方程分别为x cos，x 2 t 2，2C ： （ 为参数）； C ： （t 为参数） 1 sin12y2 ty 42：1，C2 y 1 x 2 ，2化为普通方程为：C ：x2 4y2122x2 2 2x 1 0 ，联立消元得 (2 2)2 421 0 ，其判别式所以压缩后的直线C 与椭圆C 仍然只有一个公共点，和C 与C 公共点个数相同2112234，x 4，23解：（） f (x) 2x 12， 4 x8，4x 8.y

30、图像如下：421（）不等式 x 8 x 4 2 ，即 f (x) 2 ，-2-1 O1 2 3 4-28x由 2x 12 2 得 x 5f (x) 图像可知，原不等式的解集为 (，5)-4由函数2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（三）第 I 卷一， 选择题：（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。1已知集合 A 1,3,5, 7,9 , B 0, 3, 6, 9,12 ,则 AI C B N1,3,91, 2,3(A)1,5, 7(B) 3,5, 7(C)(D)3 2i 3 2i2 3i 2 3i2复数（A）0（B）2（

31、C）-2i(D)23对变量 x, y 有观测数据理力争（ x ， y ）（i=1,2,，10），得散点图 1；对变量 u ，v 有观测数据（11u1 ，（i=1,2,，10）,得散点图 2. 由v ）1这两个散点图可以判断。（A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关（B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关24（C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关（D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关x2y2- =1 的焦点到渐近线的距离为4双曲线4 12（A） 2 3（B）2（C） 3（D）15有四个关于三角函数的命题：x + cos2 x 1p1 ： xR, sin

32、2=2 2p2 : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny21 cos 2xp : x 0, ,=sinxp4 : sinx=cosyx+y=322其中假命题的是（A） p ， p （B） p ， p4（3） p ， p3 （4） p ， p1 2 41422x y 46设 x,y 满足 x y 1,则z x yx 2y 2（A）有最小值 2，最大值 3（C）有最大值 3，无最小值（B）有最小值 2，无最大值（D）既无最小值，也无最大值 7等比数列 a 的前 n 项和为 s ，且 4 a ，2 a ， a 成等差数列。若 a =1，则 s =nn12314（A）7 （B）8（3）15

33、 （4）168如图，正方体 ABCD A B C D 的棱线长为 1，线段 B D 上有两个动点 E，F，且 EF 2 ，则下2111111列结论中错误的是（A） AC BE（B） EF / /平面ABCD（C）三棱锥 A BEF 的体积为定值（D）异面直线 AE, BF 所成的角为定值9已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，且PA PB PB PC PC PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的（A）重心 外心 垂心（D）外心 重心 内心（B）重心 外心 内心（C）外心 重心 垂心10如果执行右边的程序框图，输入 x 2,h 0.5

34、，那么输出的各个数的合等于（A）3（B） 3.5（C）4（D）4.511一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为25（A）48+12 2（B）48+24 2（C）36+12 2（D）36+24 212用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值设 f（x）=min 2 , x+2,10-xx(x 0),则 f（x）的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7第 II 卷二、填空题；本大题共 4 小题，每小题 5 分。13设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB的中点为（2，2），则直线 的方程为_.

35、14已知函数 y=sin（ x+ ）（ 0, - 6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年38人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好（20.）解：（I）由椭圆定义知 AF BF AB 4a ，又 2 AB AF BF ，22224得 AB a3l 的方程为 y x c ，其中 c a2 b2。2，则 A、B 两点坐标满足方程组设 A x , y

36、 ， B x , y112y x c22xy1a2b2化简的a2 b2 x2 2a2cx a2 c2 b2 0a2c2 b22a2c则 x x , x x 1 212a2 b2a2 b22因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB 2 x x 2 x x 4x1x2211244ab2得 a , 故a b2 2a2 2b23ca2b22所以 E 的离心率 e aa20（II）设 AB 的中点为 N x , y ，由（I）知0 x1 x2a2c 2， c y x c b2 30 0cx0 a2。23由 PA PB ，得 k 1，PNy0 1x0即 1得 c 3，从而 a 3 2,b 3故椭圆 E 的方

37、程为 y 1。x22189（21）解：39（1） a 0 时， f (x) ex1 x f (x) ex 1.，当 x(,0) 时 ， f (x) 0； 当 x(0,) 时 ， f (x) 0 .故 f (x) 在 (,0)单 调 减 少 ， 在(0,)单调增加（II） f (x) ex1 2ax由（I）知e 1 x ，当且仅当 x 0 时等号成立.故xf (x) x 2ax (1 2a)x ，1从而当1 2a 0，即 a 时， f (x) 0 (x 0) ，而 f (0) 0，2于是当 x 0 时， f (x) 0.1ex x x 1(0)可得ex1 x(x 0).从而当a 时，由2f (x

38、) ex1 2a(ex 1) ex (e x1)(ex 2a) ，故当 x(0, ln 2a)时， f (x) 0，而 f (0) 0，于是当 x(0, ln 2a)时， f (x) 0.1综合得 a 的取值范围为 (, .2(22)解： 3 3(x 1) ， C 的普通方程为2x y2 1。联立方程组2（）当时， C 的普通方程为 y1y 3(x 1)123，解得C 与C 的交点为（1,0）， 。12x2 y212（）C 的普通方程为 xsin ycos sin 0 。1A 点坐标为sin2 cos sin ，故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为：1x sin221为参数y sin cos2

39、21 1x y24 P 点轨迹的普通方程为16 。40 1 4 1故 P 点轨迹是圆心为 ，0，半径为 的圆。4（23） 解：2x 5，x 2f (x) 2x 3，x 2 则函数 y f (x) 的图像如图所示。（）由于a 1（）由函数 y f (x) 与函数 y ax 的图像可知，当且仅当2 或 a 2时，函数 y f (x) 与函数y ax 的图像有交点。故不等式 f (x) axa的解集非空时， 的取值范围为12， 2 ， 。412017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（五）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

40、2 i1 2i(1)复数的共轭复数是（）353 i（A）（B） i（C） i（D）i5（2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（）y x2(B)y x 1（C）y x21(D) x（A）y 2（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N是 6，那么输出的 p是（）（A）120（B）720（C）1440（D）5040（4）有 3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）13122334（A）（B）（C）（D）（5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则 co

41、s 2 =（）45353545（A） （B） （C）（D）（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）（7）设直线 l过双曲线 C的一个焦点，且与 C的一条对称轴垂直，l与 C交于 A,B两点， AB 为 C的实轴长的 2倍，则 C的离心率为（A） 2 （B） 3）（C）2（D）34251 x a x （8） x 2x 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（）（A）-40（B）-20（C）20（D）40（9）由曲线 y x ，直线 y x 2及 y 轴所围成的图形的面积为（）103163（A）（B）4（C）（D）6（10）已知 a与 b均为单位

42、向量，其夹角为 ，有下列四个命题 2 2P : a b 1 0,P2 : a b 1 3 ,13 3 P4 : a b 1 ,P : a b 1 0,3 3其中的真命题是（）（A） P, P（B） P, P（C） P , P3（D） P , P4141322（11）设函数 f (x) sin(x ) cos(x )( 0, )的最小正周期为 ，且 f (x) f (x) ，2则（） （A） f (x) 在0, 单调递减2 3 （B） f (x) 在 , 4 4 单调递减 3 （D） f (x) 在 , 4 4 （C） f (x) 在0, 单调递增 单调递增2 1x 1(12)函数 y （A）2

43、的图像与函数 y 2sin x(2 x 4)的图像所有焦点的横坐标之和等于（）(B) 4(C) 6(D)8二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。3 2x y 9,（13）若变量 x, y 满足约束条件 6 x y 9,则 z x 2y 的最小值为。（14）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F , F 在 x 轴上，离心率为2 。过 l122的直线 交于 A, B 两点，且 ABF 的周长为 16，那么C 的方程为。2（ 15） 已 知 矩 形 ABCD 的 顶 点 都 在 半 径 为 4的 球 O 的 球 面 上 ， 且 AB 6, BC 2 3 ,则 棱 锥O

44、 ABCD的体积为。43（16）在 ABC 中， B 60 , AC 3 ，则 AB 2BC 的最大值为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12分） 的各项均为正数，且 2a1等比数列 an3a2 1,a32 9a a .2 6 （I）求数列 a 的通项公式.n 1（II）设 b log a log a . log a , 求数列 的前项和.n31323nbn(18)(本小题满分 12分)如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C的

45、余弦值。44（19）（本小题满分 12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A配方和 B配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组频数90，94）94，98）98，102）102，106）106，11082042B 配方的频数分布表98，102）42228指标值分组频数90，94）94，98）102，106）106，1104123210（）分别估计用 A配方，B配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B配方生成的一件产品

46、的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t的关系式为2,t 94y 2,94 t 1024,t 102从用 B配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）45（20）（本小题满分 12分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,-1)，B点在直线 y = -3上，M点满足 MB/OA， MAAB = MBBA，M点的轨迹为曲线 C。（）求 C的方程；（）P为 C上的动点，l为 C在 P点处得切线，求 O点到 l距离的最小值。（21）（本小题满分 12分）aln xx 1 b ，

47、曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)处的切线方程为 x 2y 3 0。已知函数 f (x) x（）求 a 、b 的值；ln x k ，求 k 的取值范围。（）如果当 x 0 ，且 x 1时， f (x) x 1 x46请考生在第 22、23中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。(22)(本小题满分 10分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为1x 2 cosy 2 2sin（为参数）M是 C 上的动点，P点满足OP 2OM ,P点的轨迹为曲线 C12()求 C 的方程2()在以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐

48、标系中，射线 与 C 的异于极点的交点为 A，与 C1 23的异于极点的交点为 B，求 AB .(23)(本小题满分 10分)选修 4-5：不等式选讲设函数 f (x) x a 3x ,其中 a 0 。（）当 a 1时，求不等式 f (x) 3x 2 的解集（）若不等式 f (x) 0的解集为 x | x1 ，求 a的值。472017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（五）参考答案一、选择题（1）C（2）B（8）D（3）B（9）C（4）A（5）B（6）D（7）B（10）A（11）A（12）D二、填空题（13）-6（14） y 1x22（15）8 3（16） 2 7168三、解答题

49、19a23 9a2a得a 9a3324q 2所以。有条件可知 a0,故（17）解：（）设数列a 的公比为 q，由n6q 1。311 。由 2a 3a 1得 2a 3a q 1，所以 a 。故数列a 的通项式为 a =12121nn3n3（ ）b log a log a . log a1n11111 (1 2 . n)n(n 1) 21 2 2( n n 111)故bnn(n 1)1 1 .111 1 2(1 ) ( ) . ( 2 311 ) 2nn 1b1 b2bn2n n 112nn 1所以数列 的前 n项和为 bn(18)解：（ ）因为 DAB 60, AB 2AD , 由余弦定理得 B

50、D 3AD从而 BD +AD = AB，故 BD AD22248又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD（）如图，以 D为坐标原点，AD的长为单位长，射线 DA为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则 A 1,0,0 ,B 0，3,0 ,C 1, 3,0 ,P 0, 0,1 。AB (1, 3, 0), PB (0, 3,1), BC (1, 0, 0)设平面 PAB的法向量为 n=（x,y,z），则x 3y 0即3y z 0因此可取 n=( 3,1, 3)m PB 0设平面 PBC的法向量为 m，则m BC 0cos m,n 4 2 7

51、2 77可取 m=（0，-1， 3 ）2 77故二面角 A-PB-C的余弦值为 22 8（19）解:（）由实验结果知，用 A配方生产的产品中优质的平率为的产品的优质品率的估计值为 0.3。=0.3，所以用 A配方生产10032 10由实验结果知，用 B配方生产的产品中优质品的频率为 0.42，所以用 B配方生产的产品100的优质品率的估计值为 0.42 （）用 B配方生产的 100件产品中，其质量指标值落入区间 90, 94 , 94,102 , 102,110的频率分别为 0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04,即 X的分布列为P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.4

52、2,X的数学期望值 EX=20.04+20.54+40.42=2.6849(20）解：()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA=（-x,-1-y）, MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知（ MA+MB ） AB =0,即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.12所以曲线 C的方程式为 y= x -2.41112()设 P(x ,y )为曲线 C：y= x -2上一点，因为 y = x,所以 的斜率为 xl0004221因此直线l 的方程为 y y x (x x ) ，即x x 2y 2y x2 0 。000002| 2y x20|1

53、4则 O点到l 的距离d 0.又y 0 x20 2，所以x20 41 x 42014d 2 ( x 4 x) 2, 420 4220 x20 x02当 =0时取等号，所以 O点到 距离的最小值为 2.lx 1( ln x)bx（21）解：（） f (x) (x 1)2x2 f (1) 1,f (1) ,1由于直线 x 2y 3 0的斜率为 ，且过点 (1, 1) ，故 1 即22b 1,解得 a 1，b 1。a1b ,22ln x 1 ，所以（）由（）知x 1 xf (x) ( ln x ) k1(k 1)(x2 1) 。(2 ln x x 1 x 1 x2x(k 1)(x21) (x 0)

54、，则 h(x) (k 1)(x21) 2x考虑函数 h(x) 2ln x (i)设 k 0 ，由 h(x) 。xx2k(x 1) (x 1)2 2知，当 x 1时， h(x) 0。而 h(1) 0 ，故x211 x当 x(0,1)时， h(x) 0，可得h(x) 0；211 x当 x（1，+ ）时，h（x）0250ln x +k ）0，即 f（x） ln xk从而当 x0,且 x 1时，f（x）-（+ .x 1 xx 1 x11 k（ii）设 0k0,故 h （x）0,而 h（1）=0，故当 x211 k11 x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+ ）时，

55、h（x）0，可得1 xh（x）20,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（- ，0X Y（22）解：（I）设 P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M点在 C 上，所以12 2x 2cos,x 4cos即 2y2y 4 4 sin 2 2 sinx 4 cosy 4 4sin从而C2的参数方程为 （ 为参数）（）曲线C 的极坐标方程为 4 sin ，曲线C 的极坐标方程为 8sin 。1 2 4 sin 射线 与C12的交点 A 的极径为 1，。33 8sin 射线 与C的交点 B 的极径为 1 | 2 3 .233所以| AB | 2 （23）解：（）当 a 1时， f (x) 3x

56、2 可化为| x 1| 2。由此可得 x 3或 x 1。故不等式 f (x) 3x 2 的解集为x | x 3或 x 1。( ) 由 f (x) 0的x a 3x 0此不等式化为不等式组x ax a或 x a 3x 0 a x 3x 0 51x ax aa即x a 或 a 42a 2因为 a 0 ，所以不等式组的解集为 x |xa由题设可得 = 1，故 a 222017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（六）第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A 1, 2,3, 4,5 , B (x, y)

57、x A, yA, x y A；,则 B 中所含元素的个数为（）(A) 3(B) 6(C) (D) （2）将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）(A) 12种(B) 10种(C) 种(D) 种2（3）下面是关于复数 z 的四个命题：其中的真命题为（）1 ip1 : z 22 2ip3 : z 的共轭复数为1 ip4 : z 的虚部为 1p2 : z(A) p , p3(B) p , p(C) p , p212(D) p , p（4）设 F F 是椭圆 E : y 1(a b 0) 的左、右焦

58、点， P 为直线x2212a2b23ax 上一点， F PF 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为212（）(A) 1(B)2(C) (D) 23 （ 5） 已 知 a 为 等 比 数 列 ， a4 a7 2 ， a5a6 8 ， 则 a1 a10 n（）52(A) 7(B) 5(C) (D) （ 6） 如 果 执 行 右 边 的 程 序 框 图 ， 输 入 正 整 数 N(N 2) 和 实 数a ,a ,.,a ，输出 A, B ，则（）12n(A) A B 为 a ,a ,.,a 的和12nA B(B)为 a ,a ,.,a 的算术平均数1 2 n2(C) A 和 B 分别是 a ,a ,.,a 中最大的数和最小的数12n(D) A 和 B 分别是 a ,a ,.,a 中最小的数和最大的数12n（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）(A) 6(B) 9(C) (D) （8）等轴双曲线 C 的