探索全等三角形条件第3课时探索两边及夹角分别相等的三角形全等（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

4.3探索全等三角形条件第3课时探索两边及夹角分别相等的三角形全等——SAS第四章三角形

北师大版（新教材）·七年级下册学

习

目

标123探索并理解“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”（SAS）这一判定方法；了解“两边及其中一边的对角相等”（SSA）不能作为两个三角形全等的条件，能通过具体反例说明；能运用SAS判定两个三角形全等，解决简单的几何问题；能用尺规作图作出给定两边及其夹角的三角形.经历“作图—观察—比较—归纳”的探究过程，体会分类讨论思想和反例思想在数学探究中的应用；通过尺规作图，培养几何直观能力和动手操作能力；通过反例构造，理解“一个反例即可否定一个命题”的数学思想.在探究活动中感受数学结论的严谨性，培养实事求是的科学态度；通过反例的构造，体会数学思维的批判性和严谨性.基本事实图示符号语言知识回顾三角形全等判定方法一：“边边边”定理三边分别相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”）．ABCDEF在△ABC和△DEF中，

∴△ABC

≌△DEF（SSS）。书写顺序:边—边—边知识回顾基本事实图示符号语言三角形全等判定方法二：“角边角”定理两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“角边角”或“ASA”）．在△ABC和△DEF中，∴

△ABC≌△

DEF（ASA）．

书写顺序:角—边—角ABCDEF知识回顾基本事实图示符号语言三角形全等判定方法三：“角角边”定理两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）．在△ABC和△DEF中，∴

△ABC≌△

DEF（AAS）书写顺序:角—角—边ABCDEF

知识回顾比较ASA和AAS逻辑关系：本质相通AAS判定可以通过“三角形内角和定理”推导出第三个角相等，从而转化为ASA判定。两者都只需要一组边和两个角的条件，逻辑内核一致。核心区别：边的位置ASA(角边角)

边是两角的夹边AAS(角角边)

边是一角的对边

我们已经学习了三种三角形全等判定方法：

SSS，

ASA，

ASA，边和角还有什么条件组合？两边及一角---今天我们来探究“两边及一角”这一条件组合.ABCABC01.两边及其夹角角位于两条已知边的中间，即两条边的公共端点处。02.两边及其中一边的对角角位于其中一条已知边的对端，与另一条边不相邻。新知探究探究点1两边及其夹角（SAS）议一议(1)如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢?∠A夹在边AB与AC之间，

这种位置关系是“夹”。边AC对着∠

B，

这种位置关系是“对”。每种情况下得到的三角形是唯一的吗？满足条件的三角形都全等吗?新知探究探究点1两边及其夹角（SAS）画一画已知两边及其夹角，画出的三角形唯一确定吗？如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。αacacCABαED作图分析第二步:以B为端点分别截取AB=c，BC=a，确定三角形顶点A、C，第一步:可以作∠DBE＝∠α第三步:连结AC,即可得到符合条件的△ABCBAC作法图形新知探究探究点1两边及其夹角（SAS）画一画如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。αac1.作一条线段BC=a。2.以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α。3.在射线BD上截取线段BA=c。△ABC就是所要作的三角形。4.连接AC。BCAD请按照给的作法作出相应的图像（教材p103画图）你作的三角形与同伴作的一定全等吗?新知探究探究点1两边及其夹角（SAS）议一议BCAD（1）剪下所画的三角形.与同伴剪下的三角形进行比较，它们能重合吗？能重合，全等.（2）将条件改为两边分别为5cm和6cm，夹角为60°，再画一次，与同伴比较.发现：

所有按照相同“两边及夹角”条件画出的三角形都全等.5cm6cm60°ACDB△ABC就是所要作的三角形。E新知探究探究点1两边及其夹角（SAS）归一归几何语言：在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS）。ABCDEF边角边

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。注意：书写时，相等的角必须是两条对应边的夹角小实验：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD满足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.新知探究探究点2

两边及其中一边的对角（SSA）议一议已知两边及其中一边的对角，画出的三角形唯一确定吗？学习任务单

已知两条边长分别为3cm和4cm，其中长度为3cm的边所对的角为30°，尝试画出满足条件的三角形.新知探究探究点2

两边及其中一边的对角（SSA）议一议已知两边及其中一边的对角，画出的三角形唯一确定吗？作法图形1.作一条线段BC=4cm

。2.以点C为顶点，以BC为一边，作∠DCB=30°。3.以B为圆心，3cm长为半径作弧角CD于A和A′。△ABC和△ABC′就是所要作的三角形。4.连接AC和AC′。BCAD30°A′4cm画出的三角形不唯一新知探究探究点2

两边及其中一边的对角（SSA）议一议ABCC′ABCABC′发现:顶点C可能存在两个位置。结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。SSA中对角的位置不固定，可能出现两种情形.可以画出两个形状不同的三角形：一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形。它们满足SSA条件，但明显不全等。新知探究探究点3

SAS与SSA的区别议一议SAS(边角边)（唯一确定）判定条件：两边及其夹角分别相等判定结果：所构成的三角形形状、大小唯一确定最终结论：✔可以判定全等SSA(边边角)（可能不唯一）判定条件：两边及其中一边的对角分别相等判定结果：三角形形状不唯一，通常存在两种不同的情况最终结论：✖不可以判定全等典例分析

典例分析

💡核心思路：证明三角形全等(SAS)

1.证∠ACB=∠DCE(∠1+∠2=∠3+∠2)。

2.利用SAS判定

△ABC≌△DEC。

3.由全等三角形性质得出AB=DE。新知巩固1.分别找出各图中的全等三角形，并说明理由。解：(1)△ABC≌△EFD(SAS)；(2)△ABC≌△CDA(SAS)。【课本P104页】随堂练习新知巩固解：在△DEH和△DFH中，∴△DEH≌△DFH（SAS）。

【课本P104页】∴EH=FH

。2.小明做了一只如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD

。将上述条件标注在图中小明不用测量就知道EH=FH，请你说明理由随堂练习拓展提升

真题感知1．（2025•陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC．

真题感知2．（2025•湖北）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：∠B＝∠D．

真题感知3．（2025•自贡）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF．

知识总结✅SAS判定全等

两边及其夹角分别相等，可以判定两个三角形全等。❌SSA不能判定

两边及其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等。课堂小结方法总结课堂小结（1）分类讨论思想：

将“两边及一角”分为SAS和SSA两种情况分别探究.（2）反例思想：

一个反例即可否定一个命题（SSA不能判定全等）.（3）操作验证思想：

通过画图、比较得出结论.（4）转化思想：

将未知问题转化为已学方法.易错提醒课堂小结（1）误用SSA判定全等：必须强调“夹角”，SSA不能判定.（2）对应关系错乱：用SAS证明时，相等的角必须是两边的夹角.（3）隐含条件忽略：注意公共边、公共角、对顶角.（4）书写不规范：按“在△和△中→已知条件→全等结论”格式（5）反例理解不深：记住典型的SSA反例图形.课后练习教材p106页5.如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗?△ACB与△ADB呢?请说明理由。解:△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB理由:在△ACE和△ADE中，因为AC=AD，∠CAE=∠DAE，AE=AE，根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△ACE≌△ADE。在△ACB和△ADB中，因为AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB，根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△ACB≌△ADB。习题4.3课后练习α6.如图，已知直角α和线段a，b，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a，b。解:作法:(1)作∠DBE等于题中直角。(2)在射线BD上截取线段