各年小题目解答文件预测方法

1、方法及其计算机实现数学教研室，烟台，264001航空：1数学建模中的问题2003 年 A 题，SARS 的；2003 年C 题，SARS 的；2004 年 B 题，电力市场的输电堵塞管理；2004 年 C 题，饮酒驾车；2005 年 A 题，长江水质的评价和；2005 年C 题，雨量预报方法的评价；2006 年 B 题，2007 年 A 题，疗法的评价及疗效的；口增长。2方法及其计算机学是一门研究实现理论、方法、评价及应用的新兴科学，是学中的重要分支。综观是的思维方式，其基本理论主要有惯性原理、类推原理和相关原理。的问题等各种 的方法种系统法和的技术方法，或者说是的数学模型。随着经济、电力、资

2、源的兴起，对各种领域的重要性开始显现，模型也随着迅速发展。类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到目前的灰色法、模糊数学法，甚至刚刚兴起的神经网络法、优选组合法和小波分析法，据有关资料统计，预测方法多达 200 余种。因此学生在使用这些方法建立模型时，往往不能正确地判断该用哪种方法，从而不能准确地建立模型，达到要求的效果。不过方法多有各自的研究特点、优缺点和适用范围。的方法虽然很多，但各种2.1微分方程模型当描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态、研究它的控制时，通常要建立对象的动态微分方程模型。微分方程大多是物理或几何方面的典型问题，

3、假设条件已经给出，只需用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的，是唯一的，但是有些问题是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。做出不同的假设，就得到不同的方程。比较典型的有：传染病的模型、经济增长模型、模型、药模型等。其基本物在体内的分布与排除模型、的模型、烟雾的扩散与规律随着时间的增长趋势是指数的形式，根据变量的个数建立初等微分模型。微分方程模型的建立基于相关原理的因果法。该法的优点：短、中、长期的都适合，既能反映内部规律，反映事物的内在关系，也能分析两个的相关关系，精度相应的比较高，另外对初等模型的改进也比较容易理解。该法的缺点：虽然反映的

4、是规律，但是由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，故做中长期程的解比较难以得到。时，偏差有点大，而且微分方例1在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(表 1十万)如表 1。分析该数据，得出野兔的生长规律。 并时野兔的数量。解 首先画出散点图t0=1:10;在哪些年内野兔的增长有异常现象，T=10T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817x0=12.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56

5、101 8.93929.5817;plot(t0,x0,*)对于生物模型，首先考虑的是 logistic 模型，考虑到 logistic 模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的。不能在整个时间段进行拟合，单调区间上进行拟合。应当在每个对于 logistic 连续模型，设微分方程为dxdt ax(1 bx) ， x(0) x0 , (x0 0,1/ b, x0 0)（1）其中参数 a，b 需要通过拟合得到。（1）的解为1x(t) .（2）1b b exp(at)x 0设已知连续三年的数据 x(t1

6、 ), x(t2 ), x(t3 ) ，其中t3 t2 t2 t1 T 0 ，则由（2）得方程组11xb x b exp(at1 ) 0111b x b exp(a) (3)x0211x3b b exp(a) x0这三个方程中有三个未知量 a, b, x0 可以解出 a,b，将（3）中第一式代入第二、三式消去 x0，得11 xb exp(aT ) bx 12(4)11 x b exp(2aT ) bx 13消去 a 后得b 满足的方程2111x b b b x(5)x 1 3 2解得(3 b 3.1x3 )(6)代入(4) 的第一式得 a 满足的方程1 ) ln)a 2 (7)T求参数 a,b

7、 的function a,b, q=hare(p,T)程序% 输入单调的连续三年数量 p 和时间间隔 T(本题 T=1), 输出参数a=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2); q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;a, b 和下一年的数量 q在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组 a，b值a 0.999996295432796b 0.099998990654176或a 1.0000018

8、96730560b 0.100000069959451clc, clearformx0=1ong2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.32807 7.56101 8.93929.5817;a,b,q=hare(x0(1:3),1)a,b,q=hare(x0(2:4),1)类似地，在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组 a，b 值a 0.499999514703006b 0.200000053216014或a 0.499983964746556b 0.200000855655466在第二个上升阶段，对于连续三年（6，

9、7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组 a，b 值a 1.000005087174113b 0.100000057968455或a 1.000009756401803b 0.100000145622990当取 a,b 为最后一组数据时，T 10 时由（2）得到数为 9.8419（十万），当取 a 1 ，b 0.1时，数为 9.8419（十万）。结论是：dx之间增长规律为 logistic 模型： x(1 0.1x) dtdx在 T=0到 T=3 0.5x(1 0.2x) 在 T=3到 T=6之间增长规律有异常情况, 但仍为 logistic 模型：dtdx之间增长规律恢复为 logisti

10、c 模型： x(1 0.1x) 在 T=6到 T=9dt在 T=10 时, 在正常情况下, 野兔数量为 9.8419（十万）只的非线性拟合函数 lsqcurvefit 拟合参数 a,b ，程序如下：也可以用%最后一段的参数拟合，利用 4 个数据点，其中第一个点作为初始值function nihe1 xd=1:3;yd=7.56101 8.93929.5817;ab=lsqcurvefit(fun1,rand(1,2),xd,yd) xhat=fun1(ab,1:4)function f=fun1(cs,xd);f=1./(cs(2)+(1/5.32807-cs(2)*exp(-cs(1)*xd

11、);%以T=6 作为 0 时刻也可以使用函数，程序如下：%最后一段的参数拟合，利用 4 个数据点，其中第一个点作为初始值f=(cs,xd) 1./(cs(2)+(1/5.32807-cs(2)*exp(-cs(1)*xd);xd=1:3;%以 T=6 作为 0 时刻yd=7.56101 8.93929.5817;ab=lsqcurvefit(f,rand(1,2),xd,yd,zeros(2,1)xhat=f(ab,1:4)例 2原子能以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为 90 多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破

12、裂，从而造成核污染。原子能分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过 12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为 239.46 kg，体积为 0.2058m3，海水密度为 1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于 12.2 m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数 k 0.6 。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题：（1）判断这种处理废料的方法是否合理?（2）一般情况下， v 大， k 也大； v

13、 小， k 也小。当v 很大时，常用 kv 来代替 k ，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过 12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? ( k 的值仍设为 0.6)解（1）问题一的模型首先要找出圆桶的运动规律，由于圆桶在运动过程中受到本身的重力以及水的浮力 H和水的阻力 f 的作用，所以根据运动定律得到圆筒受到的合力 F 满足F G H f（8）dvd 2sds， G mg ， H gV 以及 f kv k，又因为 F ma m m到圆桶dtdt 2dt的位移和速度分别满足下面的微分方程：d 2sdsdtm mg gV k（9）dt 2dvm mg gV kv（10）

14、dtds s t0 0 ，以及题设的初始数据，求得位移函数根据方程（9），加上初始条件dtt0为s(t) 171510.9924 429.7444t.9924e0 0025056 t（11）由方程（10），加上初始条件v 0 ，求得速度函数为t0v(t) 429.7444 429.7444e0 0025056t（12）由 s(t) 90m ，求得圆筒到达水深90m的海底需要时间t 12.9994 s，再把它带入方程（12），求出圆桶到达海底的速度为v 13.7720m/s 。显然此圆桶的速度已超过12.2m / s ，可以得出这种处理废料的方法不合理。因此，美国原子能已经用这种方法来处理放射性

15、废料。计算的clc,clear程序如下：syms m V rho g ks=dsolve(m*D2s-m*g+rho*g*V+k*Ds,s(0)=0,Ds(0)=0); bs(s,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6);s=vpa(s,10)%求位移函数v=dsolve(m*Dv-m*g+rho*g*V+k*v,v(0)=0); v=subs(v,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6);v=vpa(v,7)%求速度函数 y=s-90;tt=solve(y)%求到达海底 90 米处的时间vv=subs(v

16、,tt)%求到底海底 90 米处的速度（2）问题二的模型由题设条件，圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 ，类似问题一的模型，到dt圆桶的速度应满足如下的微分方程:m dv mg gV kv2（13）dt根据方程（13），加上初始条件v t0 0 ，求出圆桶的速度v(t) 20.7303 tanh(0.0519t)过T 13.0025s ，这时若速度要小于12.2m / s ，那么经计算T圆桶的运动时间就利用位移 s(T ) v(t)dt ，计算得位移过 84.8438m。0从这个模型，计算的 clc,clear也可以得到原来处理核废料的方法是不合理的。程序如下：syms m

17、V rho g k t realv=dsolve(m*Dv-m*g+rho*g*V+k*v2,v(0)=0); v=subs(v,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6);v=vpa(v,7)%求速度函数v1=real(v),v2=imag(v) %求速度函数的实部和虚部tt=solve(v1-12.2)s=(v1,0,tt)%求时间的临界值 T%求位移的临界值（3）结果分析由于在实际中 k 与v 的关系很难确定， 所以上面的模型有它的局限性，而且对不同的介质，比如在水中与在空气中 k 与v 的关系也不同。如果假设 k 为常数的话，那么水中的这个 k

18、 就比在空气中对应的k 要大一些。在一般情况下， k 应是v 的函数，即 k k(v) ，至于是什么样的函数，这个问题至今还没有解决。这个模型还可以推广到其它方面，比如说一个物体从高空落向地面的道理也是一样的。尽管物体越高，落到地面的速度越大，但决不会无限大。求例 2 中模型二的数值解。例 2 中模型二的符号解中含有虚数，下面直接求模型二的数值解。编写如下：clc, clearm=239.46; V=0.2058; rho=1035.71; g=9.8; k=0.6;myfun=(t,s) g-rho*g*V/m-k/m*s.2;程序check=myfun(1,2);%测试函数的语法是否有错误

19、t,s=ode45(myfun,0,20,0)sol=ode45(myfun,0,20,0)%返回解的结构数组的时间点的时间点上的值x=12:0.0001:14;y=deval(sol,x,1); ind=find(y ftsgui时间序列主窗口如图1所示。图1中的时间序列GUI主窗口有6个菜单选项，分别是File、Data、ysis、Graphs、Windows、Help。举例来说，自带有迪公司的股价数据文件，数据文件名是disney.mat，其中含有迪股价的时间、开盘价、最高价、收盘价等内容，而且有缺失的数据，缺失的数据内容为NaN符号。在R2008atoolboxfinanceftsda

20、ta可以找到该文件。调入disney.mat文件后，同时还出现另外3个窗口。这是因为disney文件中含有3个.fs型的数组dis，dis_nv和q_dis，3个窗口分别对应于不同的数组。下面分别介绍一下各菜单的主要功能。 1）File菜单主要负责文件的输入与输出、关闭GUI窗口、打印分析结果等功能。2）Data菜单主要是数据的处理功能，其选项的功能如下。3种。Fill Missing Data选项：用插值法处理缺失数据。Smooth Data选项：平滑数据，方法有Box method、Gauss method和Exponential methodLag Data选项：将时间序列向后延迟。 L

21、ead选项：将时间序列前移。Filter选项：对数据进行滤波。Box-Cox变换：Box-Cox变换可以将非正态分布变为正态分布，属于指数类型的变换。Resle data选项：对数据重新采样。Convert Data Frequency To选项：分析周期转换，将时间序列转化为日数据、周数据、月数据、季度数据、半年数据和年数据。3）ysis菜单主要是数据分析，包括了对价格进行技术分析的函数，选项有Exp（对序列指数化）、Log（以e为底对时间序列取对数）、Log10（以10为底对时间序列取对数）和Log2（以2为底对时间序列取对数），具体选项的功能如下： Basic Sistics选项：时间序

22、列的基本统计功能，如均值、方差等统计特性。 Difference选项：对时间序列进行一阶差分。 Periodic Average选项：将任意时间段的数据取平均，方法有二，一是直接输入研究的交易时间段的长度；二是输入开始日期与截止日期。 Technical标等都在其中。 4）Graph菜单主要功能是对ysis选项：对股价进行技术分析，常用的MACD、RSI、OBV能量潮指的价格进行作图。（9）经济时间序列工具箱ftstoolARMA时间序列模型 ARMA 时间序列分为三种类型:AR 模型，即自回归序列（Auto Regressive MMA 序列，即滑动平均序列（Moving Average M）；）；3）ARMA 序列，即自回归滑动平均序列（Auto Regressive Moving Average M）。2.3灰色灰色理论模型的基本思路是将已知的数据序列按照某种规则动态或非