高一数学函数难题汇编(含解析)（常用）

1、高一数学函数难题汇编(含解析)高一数学函数难题汇编(含解析)一选择题(共 12 小题)1已知定义在 R 上的偶函数 f (x)满足 f (x+1) = f (x)，且当 x 1 ，0时， ，函数 ，则关于 x 的不等式 f (x)g (x)的解集为( )A ( 2， 1)( 1 ，0) BC D2已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足：当x0 时， f (x) =x3 ，若不等式f (4t)f (2m+mt2 )对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A (， ) B ( ，0) C (， 0)( ，+) D (， )( ，+)3定义域为 R 的函数 f (x)满足： f (

2、x+2) =2f (x)，当 x 0 ，2)时，若 x 4 ， 2) 时， 恒成立，则实数 t 的取值范围是( )A B C (0 ，1 D (0 ，24对于函数 f (x)，若 a ，b ，cR ，f (a)，f (b)，f (c)为某一三角形的三 边长， 则称 f(x)为”可构造三角形函数“，已知函数 f(x) = (0 x )是“可构造三角形函数”，则实数 t 的取值范围是( )A 1 ，4 B 1 ，2 C ，2 D 0 ，+)5已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 时， f (x) =x (1 x)，若数 列an 满足 a1= ，且 an+1= ，则 f (a2015

3、 ) +f (a2016 ) = ( )A 8 B 8 C 4 D 4高一数学函数难题汇编(含解析)6函数 f (x) = ，若 x0 时，不等式 f (x) 恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A 4 ，+) B 3 ，+) C 2 ，+) D ，+)7已知 x0，y0，若不等式 a(x+y) x+ 恒成立，则 a 的最小值为( )A B C +2 D +8已知函数 f (x) = 若函数 g (x) =ff (x) 2 的零点个数为( )A 3 B 4 C 5 D 69已知定义在 R 上的偶函数 g (x) 满足 g (x) +g (2 x) =0，函数 f (x) =的图象是 g (x

4、)的图象的一部分若关于 x 的方程 g2 (x) =a (x+1) 2 有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为( )A ( ，+) B ( ， ) C ( ，+) D (2 ，3)10已知函数 f (x)定义域为0 ，+)，当 x0 ，1时， f (x) =sinx，当 x n ，n+1时， f (x) = ，其中 nN，若函数 f (x)的图象与直线 y=b 有且仅有 2016 个交点，则 b 的取值范围是( )A (0 ，1) B( ， )C ( ， ) D ( ， )11 已 知 函 数 ： ，设函数 F (x) =f (x+3) g (x 5)，且函数F (x) 的零点均在区

5、间a，b (ab，a，bZ) 内，则 b a 的最小值为 ( )A 8 B 9 C 10 D 1116已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数，对 xR 都有 f (x 3) =f (x 1)成立，当， x(0 ，1且 x1 x2 时，有 0，给出下列命题：高一数学函数难题汇编(含解析)12已知函数 ，其中 m0，且函数 f(x)=f(x+4)，若方程 3f (x) x=0 恰有 5 个根，则实数 m 的取值范围是( )A B C D二填空题(共 7 小题)，013设函数 f (x) =2ax2+2bx，若存在实数 x0 (0 ，t)，使得对任意不为零的实数 a b 均有 f (x )

6、 =a+b 成立，则 t 的取值范围是14若正数 x ，y 满足 =1，则 的最小值为 15已知集合|f (x) =sin (x 2) +cos (x 2) 为奇函数，且|loga |1的子集个数为 4，则 a 的取值范围为 (1) f (x)在 2 ，2上有 5 个零点 (2)点(2016 ，0)是函数 y=f (x)的一个对称中心(3)直线 x=2016 是函数 y=f (x)图象的一条对称轴(4) f (9.2)f () 则正确的是17已知函数 f (x) =ex，对于实数 m、n、p 有 f (m+n) =f (m) +f (n)，f(m+n+p) =f (m) +f (n) +f (

7、p)，则 p 的最大值等于 18定义在 R 上的单调函数 f (x) 满足： f(x+y) =f(x) +f(y)，若 F (x) =f (asinx) +f (sinx+cos2x 3)在(0 ，)上有零点，则 a 的取值范围是 19已知函数 f (x) = ，g (x) = (k0)，对任意 p(1 ，+)，总存在实数 m ，n 满足 m0np，使得 f (p) =f (m) =g (n)，则整数k 的最大值为 高一数学函数难题汇编(含解析)三解答题(共 11 小题)20已知 f (x)是奇函数(其中a1)=loga(1)求 m 的值；(2)判断 f (x)在(2 ，+)上的单调性并证明；

8、(3)当 x(r ，a 2)时， f (x)的取值范围恰为(1 ，+)，求 a 与 r 的值21已知向量 = (cos ，sin )， = (cos ， sin )，函数 f (x) = m| + |+1 ，x ， ，m R(1)当 m=0 时，求 f ( )的值；(2)若 f (x)的最小值为 1，求实数 m 的值；(3)是否存在实数 m，使函数 g (x) =f (x) + m2 ，x ， 有四个不同的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由22已知二次函数 f (x) =ax2+bx+c(1)若 a=c0 ，f (1) =1，对任意 x| 2 ，2，f (x)的最大值与最小

9、值之 和为 g (a)，求 g (a)的表达式；(2)若 a ，b ，c 为正整数，函数 f (x)在( ， )上有两个不同零点，求a+b+c 的最小值高一数学函数难题汇编(含解析)23已知函数 f (x) =(1)求 f (f ( )；(2)若 x0 满足 f (f (x0 ) =x0 ，且 f (x0 )x0 ，则称 x0 为 f (x)的二阶不动点， 求函数 f (x)的二阶不动点的个数24已知 aR，函数 (1)当 a=0 时，解不等式 f (x)1；(2)当 a0 时，求函数 y=2f (x) f (2x)的零点个数；(3)设 a0，若对于 tR，函数在区间t ，t+1上的最大值与最

10、小值之差都不 超过 1，求实数 a 的取值范围25已知 aR，函数 f (x) = (1)若 f (2) = 3，求实数 a 的值；(2)若关于 x 的方程 f (x) log2 (a 4) x+2a 5=0 的解集中恰好有一个元 素，求 a 的取值范围(3)设 a0，若对任意 t ，1，函数 f (x)在区间t ，t+1上的最大值与 最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围高一数学函数难题汇编(含解析)26设 aR，函数 f (x) =x|x a|+2x(1)若 a=3，求函数 f (x)在区间0 ，4上的最大值；(2)若存在 a(2 ，4，使得关于 x 的方程 f (x) =tf (a)有

11、三个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围27如图，在半径为 ，圆心角为 60的扇形的弧上任取一点 P，作扇形的内接 矩形 PNMQ，使点 Q 在 OA 上，点 N ，M 在 OB 上，设矩形 PNMQ 的面积为 y ， POB=( )将 y 表示成 的函数关系式，并写出定义域；()求矩形 PNMQ 的面积取得最大值时 的值；()求矩形 PNMQ 的面积 y 的概率28已知函数 f (x) =x|x a|，a R ，g (x) =x2 1(1)当 a=1 时，解不等式 f (x)g (x)；(2)记函数 f (x)在区间0 ，2上的最大值为 F (a)，求 F (a)的表达式高一数学函数难题汇

12、编(含解析)29已知函数 g (x) =偶函数，且函数 f (x) =logag (x) (a0 ，a1)奇函数而非(1)写出 f (x)在(a ，+)上的单调性(不必证明)；(2)当 x(r ，a 3)时， f (x)的取值范围恰为(1 ，+)，求 a 与 r 的值；(3)设 h (x) = m (x+2) 2 是否得在实数 m 使得函数 y=h (x) 有零点？若存在，求出实数 m 的取值范围，若不存在，请说明理由30已知函数 f (x) =1+log2x ，g (x) =2x(1)若 F (x) =f (g (x) g (f (x)，求函数 F (x)在 x1 ，4的值域；(2)令 G

13、(x) =f (8x2 ) f ( ) kf (x)，已知函数 G (x)在区间1 ，4有零点，求实数 k 的取值范围；(3) 若 H (x) = ，求 H ( ) +H ( ) +H ( ) +H ( )的值高一数学函数难题汇编(含解析)2018 高一数学必修一(难)参考答案与试题解析一选择题(共 12 小题)1 (2016 秋渝中区校级期末)已知定义在 R 上的偶函数 f (x)满足 f (x+1) = f (x)，且当 x 1 ，0时， ，函数 ，则关于 x 的不等式 f (x)g (x)的解集为( )A ( 2， 1)( 1 ，0) BC D【解答】 解：由题意知， f (x+1) =

14、 f (x)，f (x+2) = f (x+1) =f (x)，即函数 f (x)是周期为 2 的周期函数当 x 1 ，0时，当 x0 ，1时，f (x)是偶函数，f (x) = ，即 f (x) =函数g (x) =，若 x0 ，1时， x 1 ，0， 作出函数 f (x)和 g (x)的图象如图：当 1x0 时，由=，高一数学函数难题汇编(含解析)，由选项验证解得 x= ，即此时不等式式 f (x)g (|x+1|)的解为 1x ，则函数 g (x)关于 x= 1 对称，不等式式 f (x)g (x)的解为 1x 或 x 1，即不等式的解集为( ， 1)( 1 ， )，故选： D2 (20

15、16 秋通渭县期末)已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足：当 x0 时， f(x) =x3 ，若不等式 f ( 4t)f (2m+mt2 )对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的 取值范围是( )A (， ) B ( ，0) C (， 0)( ，+) D (， )( ，+)【解答】 解：当 x0 时， f (x) =x3 ，当 x0 时， x0，f ( x) = ( x) 3= x3，又 f (x)为定义在 R 上的奇函数， f (x) = x3，f (x) =x3 (x0)，综合知， f (x) =x3 ，xR又 f (x) =3x2 0，高一数学函数难题汇编(含解析)f (x) =x

16、3 为 R 上的增函数，不等式 f ( 4t)f (2m+mt2 )对任意实数t 恒成立 4t2m+mt2 对任意实数 t 恒成立，即 mt2+4t+2m0 对任意实数 t 恒成立，解得： m故选： A3 (2016 秋宜春期末)定义域为 R 的函数 f (x)满足： f (x+2) =2f (x)，当 x 0，2)时， ，若 x 4， 2)时，恒成立，则实数 t 的取值范围是( )A B C (0 ，1 D (0 ，2【解答】 解：当 x0 ，2)时， ，0 1， ，当 x0 ，2)时， f (x)的最小值为 f ( ) = 1，又函数 f (x)满足 f (x+2) =2f (x)，f (

17、x) = f (x+2)，当 x 2 ，0)时， f (x)的最小值为 f ( ) = f ( ) = ，当 x 4， 2)时， f (x)的最小值为 f ( ) = f ( ) = 若 x 4， 2时， 恒成立， 恒成立即 0，则 0t1，故选： C高一数学函数难题汇编(含解析)4(2016 春琅琊区校级期末)对于函数f (x)，若 a，b，cR，f (a)，f (b)， f (c)为某一三角形的三边长，则称 f (x)为”可构造三角形函数“，已知函数 f(x)= (0 x )是“可构造三角形函数”，则实数 t 的取值范围是( )A 1 ，4 B 1 ，2 C ，2 D 0 ，+)【解答】

18、解： f (x) = = =2+ ，若 t=2，则 f (x) =2，此时 f (x)构成边长为 2 的等边三角形，满足条件，设 m=tanx，则 m=tanx0，则函数 f (x)等价为 g (m) =2+ ，若 t 20 即 t2，此时函数 g (m)在(0 ，+)上是减函数，则 2f (a)2+t 2=t，同理 2f (b)t ，2f (c)t，则 4f (a) +f (b)2t ，2f (c)t，由 f (a) +f (b)f (c)，可得 4t，解得 2t4当 t 20 ，f (x)在 R 上是增函数， tf (a)2，同理 tf (b)2 ，tf (c)2，则 2tf (a) +f

19、 (b)4 ，tf (c)2，由 f (a) +f (b)f (c)，可得 2t2，解得 1t2综上可得， 1t4，故实数 t 的取值范围是1 ，4；故选： A5 (2015 秋菏泽期末)已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 时， f(x) =x (1 x)，若数列an 满足 a1= ，且 an+1= ，则 f (a2015 ) +f (a2016 )= ( )A 8 B 8 C 4 D 4【解答】 解：设 x0，则 x0；f (x)是定义在 R 上的奇函数；高一数学函数难题汇编(含解析)f (x) = f ( x) = x (1+x) =x (1+x)；由 ，且 得：， ，

20、，；数列an 是以 3 为周期的周期数列；a2015=a671 3+2=a2=2 ，a2016=a671 3+3=a3= 1；f (a2015 ) +f (a2016 ) =f (2) +f ( 1) =2 (1+2) + ( 1) (1+1) =4故选： D6 (2015 秋吉安期末)函数 f (x) =不等式 f (x) 恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A 4 ，+) B 3 ，+) C 2 ，+) D，若 x0 时， ，+)【解答】 解：当 0 x4 时，函数 f (x)在0 ，2上为增函数，则2 ，4上为减函数，则当 x=2 时，函数 f (x)取得最大值 f (2) = ，当

21、4x8 时， 0 x 44，即 f (x) = f (x 4) = ，此时的最大值为 f (6) = ，当 8x12 时， 4x 48，即 f (x) = f (x 4) = ，此时的最大值为 f (10) = ，作出函数 f (x)的图象如图，要使当 x0 时，不等式 f (x) 恒成立，则 m0，设 g (x) = ，则满足 ，即 ，即 ，即 m3 ，高一数学函数难题汇编(含解析)故选： B7 (2015 秋杭州校级期末)已知x0 ，y0，若不等式 a (x+y)x+ 恒成立，则 a 的最小值为( )A B C +2 D +【解答】 解：x0 ，y0，不等式 a (x+y)x+ 等价为 a

22、 = ，令 ，a ，令 u= ， u=令 u=0，t= 函数在(0，(负值舍去)上单调增，在(，+)上单调减t= 时，函数 u= 取得最大值为a实数 a 的最小值为故选： A高一数学函数难题汇编(含解析)8 (2016 秋沙市区校级期末)已知函数 f (x) = 若函数 g (x)=ff (x) 2 的零点个数为( )A 3 B 4 C 5 D 6【解答】 解：函数 f (x) = ，f (x) =x(， log23)时， f (f (x) = 0 ，3，令 f (f (x) =2，解得 x=log2 (1+log23)同理可得： xlog23 ，2)时，时，=2，解得 x=2，解得 x=1+

23、=2，解得 x=时，x综上可得：函数 g (x) =ff (x) 2 的 x 零点个数为 4故选： B9 (2016 春重庆校级期末)已知定义在 R 上的偶函数 g (x)满足 g (x) +g (2 x) =0，函数 f (x) = 的图象是 g (x)的图象的一部分若关于 x 的方程 g2 (x) =a (x+1) 2 有 3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为( )A ( ，+) B ( ， ) C ( ，+) D (2 ，3)【解答】 解：定义在 R 上的偶函数 g (x)满足 g (x) +g (2 x) =0，g (x) = g (2 x) = g (x 2)，高一数学函数难

24、题汇编(含解析)则 g (x+2) = g (x)，即 g (x+4) = g (x+2) = ( g (x) =g (x)，则函数 g (x)是周期为 4 的周期函数，函数 f (x) = 的定义域为 1 ，1，若 1x2，则 2 x 1，则 02 x1，此时 g (x) = g (2 x) = ，当 2x 1，则 1 x2，则 g (x) =g ( x) = 则由 g2 (x) =a (x+1) 2 得，当 2x 1 时， 1 (x+2) 2=a (x+1) 2，作出函数 g (x)的图象如图：若方程 g2 (x) =a (x+1) 2 有 3 个不同的实数根，则当 a0 时，不满足条件则

25、当 a0 时，方程等价为 g (x) = = |x+1|，则当 x= 1 时，方程 g (x) = |x+1|恒成立，此时恒有一解，当直线 y= (x+1)与 g (x)在(4，3)相切时，此时方程g (x) =|x+1|有 6 个交点，不满足条件当 y= (x+1) 与 g (x) 在 ( 4 ， 3) 不相切时， 满足方程 g (x) = |x+1|有三个交点，此时直线方程为 x+y+ =0，满足圆心( 4 ，0)到直线 x+y+ =0，的距离 d= 1，即 1，即 3 ，平方得 9aa+1，得 8a1，则 a ，故选： A高一数学函数难题汇编(含解析)10 (2016 秋荆门期末)已知函

26、数 f (x)定义域为0 ，+)，当 x0 ，1时，f (x) =sinx，当 xn ，n+1时， f (x) = ，其中 nN，若函数 f (x)的图象与直线 y=b 有且仅有 2016 个交点，则 b 的取值范围是( )A (0 ，1) B( ， )C ( ， ) D ( ， )【解答】 解：根据题意， x0 ，1时， f (x) =sinx，xn ，n+1时， f (x) = ，其中 n N，f (n) =sinn=0，f ( ) =sin =1，f ( ) = = = ，f ( ) = = = ，；画出图形如图所示；当 b( ，1)时，函数 f (x)的图象与直线 y=b 有 2 个交

27、点；当 b( ， )时，函数 f (x)的图象与直线 y=b 有 4 个交点；高一数学函数难题汇编(含解析)当 b( ， )时，函数 f (x)的图象与直线 y=b 有 6 个交点； ；当 b( ， )时，函数 f (x)的图象与直线 y=b 有 2016 个交点故选： D11 (2015 秋汕头校级期末)已知函数： ，设函数 F (x) =f (x+3) g (x 5)，且函数F (x) 的零点均在区间a，b (ab，a，bZ) 内，则 b a 的最小值为 ( )A 8 B 9 C 10 D 11【解答】 解：f (0) =10 ，f ( 1) =1 1 + + 0，函数 f (x)在区间(

28、 1 ，0)内有零点；当 x( 1 ，0)时， f (x) =0，函数 f (x)在区间( 1 ，0)上单调递增，g (1) =1 1+ + 0，g (2) =1 2+ + 0当 x(1 ，2)时， g (x) = 1+x x2+x3 +x2013 x2014= 0，故函数 f (x)有唯一零点 x( 1，0)；函数 g (x) 在区间 (1，2) 上单调递增， 故函数 g (x) 有唯一零点 x (1，2)； F (x) =f (x+3) g (x 4)，且函数 F (x)的零点均在区间a ，b (ab ，a， bZ)内，f (x+3)的零点在( 4， 3)内， g (x 4)的零点在(5

29、，6)内，因此 F (x) =f (x+3) g (x 3)的零点均在区间 4 ，6内，b a 的最小值为 10故选： C12 (2015 秋衡水校级期末)已知函数 ，其中 m0，且函数 f (x) =f (x+4)，若方程 3f (x) x=0 恰有 5 个根，则实数 m 的取高一数学函数难题汇编(含解析)值范围是( )A B C D【解答】 解：当 x( 1 ，1时，将函数化为方程 x2+ =1 (y0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，函数 f (x) =f (x+4)，函数的周期是 4，同时在坐标系中作出当 x(1 ，3得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，若方程 3f (x

30、) x=0 恰有 5 个根，则等价为 f (x) = 恰有 5 个根，由图易知直线 y= 与第二个椭圆(x 4) 2+ =1 (y0)相交，而与第三个半椭圆 (x 8) 2+ =1 (y0) 无公共点时， 方程恰有 5 个实数解，将 y= 代入 (x 4) 2+ =1 (y0) 得，(9m2+1) x2 72m2x+135m2=0，令 t=9m2(t0)，则(t+1) x2 8tx+15t=0，由= (8t) 2 415t (t+1)0，得 t15，由 9m215，且 m0 得 m ，同样由 y= 与第三个椭圆 (x 8) 2+ =1 (y0) 由0 可计算得 m ，综上可知 m( ， )，故

31、选： A高一数学函数难题汇编(含解析)二填空题(共 7 小题)13 (2017 春杭州期末)设函数f (x) =2ax2+2bx，若存在实数 x0 (0 ，t)，使得对任意不为零的实数 a ，b 均有 f (x0 ) =a+b 成立，则t 的取值范围是 ( 1 ，+) 【解答】 解： f (x) =a+b 成立等价于(2x 1) b= (1 2x2 ) a，当 x= 时，左边=0，右边0，不成立，当 x 时， (2x 1) b= (1 2x2 ) a 等价于 = ，设 k=2x 1，则 x= ，则 = = = ( k 2)，x(0 ，t)，(t )，或 x(0 ， )( ，t)，(t )，k(

32、 1 ，2t 1)，(t )，或 k( 1，0)(0 ，2t 1)，(t )，(*) a ，bR， = ( k 2)，在(*)上有解， ( k 2)，在(*)上的值域为 R，设 g (k) = ( k) 1，则 g (k)在(， 0)，(0 ，+)上单调递减， ，解得 t1，故答案为： (1 ，+)14 (2016 春沙坪坝区校级期末)若正数 x ，y 满足 =1，则 的最小值为 2 【解答】 解：正数 x ，y 满足 + =1，高一数学函数难题汇编(含解析) =1 = ， (y1)， x 1= (x1)则 + = (y 1) + 2 =2 ，当且仅当 y 1= ，即 y 1= 时取等号 的最

33、小值为 2 故答案为： 215 (2016 秋武昌区校级期末)已知集合|f (x) =sin (x 2) +cos (x 2)为奇函数， 且|loga |1的子集个数为 4，则 a 的取值范围为 ( )( ) 【解答】 解：集合|f (x) =sin (x 2) +cos (x 2) 为奇函数，f (0) =sin ( 2) +cos ( 2) =cos2 sin2=0，cos2=sin2，即 tan2=1，2=k+ ，则 = + ，kZ验证 = + ，kZ 时， f (x) =sin (x 2) +cos (x 2) =sin(x k )+cos(x k )=sin(x )+cos( )=为

34、奇函数= + ，kZ集合|f (x) =sin (x 2) +cos (x 2) 为奇函数，且|loga |1 的子集个数为 4，满足|loga |1 的 有 2 个，即满足 1loga 1 的 有 2 个分别取 k=0 ，1 ，2 ，3，得到 = ， ， ， ，若 0a1，可得 a()时，满足 1loga1 的 有 2 个；若 a1，可得 a()时，满足 1loga 1 的 有 2 个则 a 的取值范围为()( )高一数学函数难题汇编(含解析)故答案为： ( )( )16 (2016 秋清城区期末)已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数，对 x R 都有 f (x 3) =f (x

35、 1)成立，当， x(0 ，1且 x1 x2 时，有0，给出下列命题：(1) f (x)在 2 ，2上有 5 个零点(2)点(2016 ，0)是函数 y=f (x)的一个对称中心(3)直线 x=2016 是函数 y=f (x)图象的一条对称轴(4) f (9.2)f ()则正确的是 (1) (2) (4) 【解答】 解：对于(1)，函数 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数，f (0) =0，又 f (x 3) =f (x 1)，函数 y=f (x)是以 2 为周期的函数，且 f (1 3) =f (1 1)，即 f ( 2) =f (0) =0，又 f (2) = f ( 2)，f (2)

36、 =0；同理可得， f (1) =f ( 1) =0，又当 x (0，1且 x1 x2 时，有 0，即奇函数 y=f(x) 在区间 (0，1上单调递减，故函数 y=f (x)在区间 1 ，0)上也单调递减，由函数 y=f (x)是以 2 为周期的函数可知函数 y=f (x)在区间(2，1、1， 2)上单调递减，f (x)在区间 2 ，2上有1 、0、2 共 5 个零点，故(1)正确；对于(2)，函数 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数，(0 ，0)为其对称中心， 又函数 y=f (x)的是以 2 为周期的函数，点(2016 ，0)是函数 y=f (x)的一个对称中心，故(2)正确；对于(3

37、)，作出函数 y=f (x)的图象如下：高一数学函数难题汇编(含解析)(3)直线 x=2016 不是函数 y=f (x)图象的一条对称轴，故(3)错误；对于 (4)，函数 y=f (x) 的是以 2 为周期的函数且在区间1，2) 上为减函数， f (9.2) =f (1.2)f ( 2) =f ()，故(4)正确综上所述，正确的是： (1) (2) (4)，故答案为： (1) (2) (4)17 (2016 春扬州期末)已知函数 f (x) =ex ，对于实数 m 、n 、p 有 f (m+n) =f (m) +f (n)，f (m+n+p) =f (m) +f (n) +f (p)，则 p

38、的最大值等于 2ln2 ln3 【解答】 解：由 f (x) =ex 得： f (m+n) =f (m) f (n)，f (m+n) =f (m) +f (n)，f (m) f (n) =f (m) +f (n)，设 f (m) f (n) =f (m) +f (n) =t，则 f (m)、f (n)是 x2 tx+t=0 的解，=t2 4t0，t4 或 t0 (舍去)又 f (m+n+p) =f (m) f (n) f (p) =f (m) +f (n) +f (p)，tf (p) =t+f (p)，f (p) =(t4)，=1+显然 t 越大， f (p)越小，当 t=4 时， f (p)

39、取最大值 ，又 f (p) =ep，高一数学函数难题汇编(含解析)f (p)取到最大值时， p 也取到最大值，即 pmax=ln =2ln2 ln3故答案为： 2ln2 ln318 (2016 秋江岸区校级期末)定义在 R 上的单调函数 f (x)满足： f (x+y) =f(x) +f (y)，若 F (x) =f (asinx) +f (sinx+cos2x 3)在(0 ，)上有零点，则a 的取值范围是 2 ，+) 【解答】 解：令 x=y=0，则 f (0) =2f (0)，则 f (0) =0；再令 y= x，则 f (x x) =f (x) +f ( x) =0，且 f (x)定义域

40、为 R ，关于原点对称f (x)是奇函数F (x) =f (asinx) +f (sinx+cos2x 3)在(0 ，)上有零点f (asinx) +f (sinx+cos2x 3) =0 在(0 ，)上有解；f (asinx) = f (sinx+cos2x 3) =f ( sinx cos2x+3)在(0 ，)上有解；又函数 f (x)是 R 上的单调函数，asinx= sinx cos2x+3 在(0 ，)上有解x(0 ，)，sinx0；=sinx+ 1；a=令 t=sinx ，t(0 ，1；则 a=t+ 1；y=t+ ，0，因此函数 y 在(0 ，1上单调递减，a2故答案为： 2 ，+

41、)19(2016 春盐城期末) 已知函数 f (x) = ，g (x) = (k0)，对任意 p(1，+)，总存在实数 m ，n 满足 m0np，使得f (p) =f (m)=g (n)，则整数 k 的最大值为 7 高一数学函数难题汇编(含解析)(k0)，在区间(1 ，+)上为减函数，【解答】 解：显然 g (x) =于是 g (n)g (p)，若 f (p) =g (n)，则对任意 p1，有 f (p)g (p)当 x1 时， ，k ，设 t=x 1 (t0)，则 = =2 (t+ +2)8，k8k7下面证明：当 k=7 时，对 0 x1，有 f (x)g (x)当 0 x1 时， f (x

42、)g (x) ln (1 x)0令 (x) = ln (1 x) (0 x1)，则 (x) = + 0，故 (x)在(0 ，1)上为减函数，于是 (x)0同时，当 x(0 ，+)时， g (x) = (0 ，+)当 x(0 ，1)时， f (x)R；当 x(1 ，+)时， f (x)(0 ，+)结合函数的图象可知，对任意的正数 p，存在实数 m 、n 满足 0mnp，使 得 f (p) =f (m) =g (n)综上所述，正整数 k 的最大值为 7故答案为： 7三解答题(共 11 小题)20 (2016 秋惠来县校级期末)已知f (x)是奇函数(其中a1)=loga(1)求 m 的值；(2)判

43、断 f (x)在(2 ，+)上的单调性并证明；(3)当 x(r ，a 2)时， f (x)的取值范围恰为(1 ，+)，求 a 与 r 的值【解答】 解： (1)由题意： f (x)是奇函数，则 f ( x) +f (x) =0，即 loga+ =0高一数学函数难题汇编(含解析) ，解得： m=1，当 m= 1 时， f (x)无意义，所以 ，故得 m 的值为 1，设 2x1x2，则 f (x2 ) f (x1 ) =(2)由(1)得=2x1x2 ，02x1x2+2 (x1 x2 ) 4x1x2 (x1 x2 ) 4，a1，f (x2 )f (x1 )所以：函数 f (x)在(2 ，+)上的单调

44、减函数(3)由(1)得 ， 得，函数 f (x)的定义域为(， 2)(2 ，+)又 ，得 f (x)(， 0)(0 ，+)令 f (x) =1，则 =，解得： 所以： f ( ) =1当 a1 时， 2，此时 f (x)在在(2 ，+)上的单调减函数所以：当 x(2 ， )时，得 f (x) 1 ，+)；由题意： r=2，那么 a 2= ，解得： a=5所以：当 x(r ，a 2)，f (x)的取值范围恰为(1 ，+)时， a 和 r 的值分别 为 5 和 221(2016 秋无锡期末) 已知向量 = (cos ，sin )， = (cos ， sin )，函数 f (x) = m| + |+

45、1 ，x ， ，m R(1)当 m=0 时，求 f ( )的值；(2)若 f (x)的最小值为 1，求实数 m 的值；高一数学函数难题汇编(含解析)(3)是否存在实数 m，使函数 g (x) =f (x) + m2 ，x ， 有四个不同的零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由【解答】 解： (1) = (cos ，sin ) (cos ， sin ) =cos cos sin sin =cos ( + ) =cos2x，当 m=0 时， f (x) = +1=cos2x+1，则 f ( ) =cos (2 ) +1=cos +1= ；(2)x ， ， | + |= = =2co

46、sx，则 f (x) = m| + |+1=cos2x 2mcosx+1=2cos2x 2mcosx，令 t=cosx，则 t1，则 y=2t2 2mt，对称轴 t= ，当 ，即 m1 时， 当 t= 时，函数取得最小值此时最小值 y= m= 1，得 m= (舍)，当 1，即 m1 时，当 t= 时，函数取得最小值此时最小值 y= = 1，得 m= ，当 1，即 m2 时，当 t=1 时，函数取得最小值此时最小值 y=2 2m= 1，得 m= (舍)，综上若 f (x)的最小值为 1，则实数 m= (3)令 g (x) =2cos2x 2mcosx+ m2=0，得 cosx= 或 ，方程 co

47、sx= 或 在 x ， 上有四个不同的实根，高一数学函数难题汇编(含解析)m ，即实数 m 的取值范围是 m ，得，则则22 (2016 秋义乌市期末)已知二次函数 f (x) =ax2+bx+c(1)若 a=c0 ，f (1) =1，对任意 x| 2 ，2，f (x)的最大值与最小值之 和为 g (a)，求 g (a)的表达式；(2)若 a ，b ，c 为正整数，函数 f (x)在( ， )上有两个不同零点，求a+b+c 的最小值【解答】 解： (1) a=c0 ，f (1) =1，则 a+b+a=1 ，b=1 2a，f (x) =ax2+ (1 2a) x+a=a + ，当 1 2，即 0

48、a 时， g (a) =f ( 2) +f (2) =10a；当 21 0，即 a 时， g (a) =f (1 ) +f (2) =a +3，当 a 时， g (a) =f (1 ) +f ( 2) =9a 1，综上所述， g (a) =(2) 函数 f (x) 在 ( ， ) 上有两个不同零点 x1，x2，则 x1+x2= 0， x1x2= 0；a16c，由根的分布可知 f ( ) = a b+c0，即 a+16c4b，a ，b ，c 为正整数，a+16c4b+1f (0) =c0，0 ，b ，高一数学函数难题汇编(含解析)a+16c8 +1，可得( ) 21，a16c， 1， ，a25，

49、a26，b ，b11 ，c1f (x) =26x2+11x+1，经检验符合题意，故 a+b+c 的最小值为 3823 (2016 秋佛山期末)已知函数 f (x) =(1)求 f (f ( )；(2)若 x0 满足 f (f (x0 ) =x0 ，且 f (x0 )x0 ，则称 x0 为 f (x)的二阶不动点，求函数 f (x)的二阶不动点的个数【解答】 解： (1)f (x) = f ( ) =ln = ，f (f ( ) =f ( ) =2 2 =1；(2)函数 f (x) = x 0 ， )，f (x) =2 2x(1 ，2，x ，1)，f (x) =2 2x(0 ，1，x 1 ，e，

50、f (x) =lnx(0 ，1)，f (f (x) =若 x0 满足 f (f (x0 ) =x0 ，且 f (x0 )x0 ，则称 x0 为 f (x)的二阶不动点，所以： x0 0 ， )，ln (2 2x0 ) =x0 ，由 y=ln (2 x0 )，y=x0 ，图象可知：高一数学函数难题汇编(含解析)存在满足题意的不动点x0 ，1)， 2+4x0=x0 ，解得 x0= ，满足题意x0 1 ，e，2 2lnx0=x0 ，即 2 x0=2lnx0 ，由 y=2 x0 ，y=2lnx0 ，图象可知：存在满足题意的不动点函数 f (x)的二阶不动点的个数为： 3 个24 (2016 秋海安县校

51、级期末)已知 aR，函数 (1)当 a=0 时，解不等式 f (x)1；(2)当 a0 时，求函数 y=2f (x) f (2x)的零点个数；(3)设 a0，若对于 tR，函数在区间t ，t+1上的最大值与最小值之差都不 超过 1，求实数 a 的取值范围【解答】 解： (1) a=0 时， f (x) = ，f (x)1，即 1，02x1，高一数学函数难题汇编(含解析)解得 x0(2) y=2f (x) f (2x) = ，函数 y=2f (x) f (2x)的定义域为x|xlog2a，且 x log2a令 y=0 得 22x+1 2x a=0，令 t=2x (t0，且 ta ，t )，方程为

52、 2t2 t a=0，=1+8a0，若 a=1 ，t=1 或 ，方程无解，即函数 y=2f (x) f (2x)的零点个数为 0若 0a1 或 a1，方程有两个不相等的解，即函数 y=2f (x) f (2x)的零点 个数为 2；(3)函数 f (x)在区间t ，t+1上单调递减，由题意得 f (t) f (t+1)1，即 1，22t+1 (3a+1) 2t+a2 0，设 x=2t (x0)，则 2x2 (3a+1) x+a2 0，0 或，a25 (2016 秋西陵区校级期末)已知 aR，函数 f (x) = (1)若 f (2) = 3，求实数 a 的值；(2)若关于 x 的方程 f (x)

53、 log2 (a 4) x+2a 5=0 的解集中恰好有一个元 素，求 a 的取值范围(3)设 a0，若对任意 t ，1，函数 f (x)在区间t ，t+1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围【解答】 解： (1) f (2) = 3，log2 ( +a) = 3=log2 ， +a= ，解得 a= 高一数学函数难题汇编(含解析)(2)由 f (x) log2 (a 4) x+2a5=0 得 log2 ( +a) log2 (a 4) x+2a 5=0即 log2 ( +a) =log2 (a 4) x+2a 5，即 +a= (a 4) x+2a 50，则(a 4) x2+ (

54、a 5) x 1=0，即(x+1) (a 4) x 1=0，当 a=4 时，方程的解为 x= 1，代入，成立当 a=3 时，方程的解为 x= 1，代入，成立当 a4 且 a3 时，方程的解为 x= 1 或 x= ，若 x= 1 是方程的解，则 +a=a 10，即 a1，若 x= 是方程的解，则 +a=2a 40，即 a2，则要使方程有且仅有一个解，则 1a2综上，若方程 f (x)log2 (a 4) x+2a 5=0 的解集中恰好有一个元素，则 a 的取值范围是 1a2，或 a=3 或 a=4(3)函数 f (x)在区间t ，t+1上单调递减，由题意得 f (t) f (t+1)1，即 lo

55、g2 ( +a) log2 ( +a)1，即 +a2 ( +a)，即 a =设 1 t=r，则 0r ， = = ，当 r=0 时， =0，当 0r 时， = ，y=r+ 在(0 ， )上递减，r+ +4= ，高一数学函数难题汇编(含解析) = = ，实数 a 的取值范围是 a26 (2016 秋徐汇区期末)设 aR，函数 f (x) =x|x a|+2x(1)若 a=3，求函数 f (x)在区间0 ，4上的最大值；(2)若存在 a(2 ，4，使得关于 x 的方程 f (x) =tf (a)有三个不相等的实 数解，求实数 t 的取值范围【解答】 解： (1) 当 a=3，x 0，4时， f (

56、x) =x|x 3|+2x= ，可知函数 f (x)在区间0 ， 递增，在( ，3上是减函数，在3 ，4递增，则 f ( ) = ，f (4) =12，所以 f (x)在区间0 ，4上的最大值为 f (4) =12(2) f (x) =当 xa 时，因为 a2，所以，a所以 f (x)在a ，+)上单调递增当 xa 时，因为 a2，所以 a所以 f (x)在(， )上单调递增，在 ，a上单调递减当 2a4 时，知 f (x)在(， 和a ，+)上分别是增函数，在 ，a上是减函数，当且仅当 2atf (a) 时，方程 f (x) =tf (a)有三个不相等的实数解即 1t = (a+ +4)令

57、g (a) =a+ ，g (a)在 a(2 ，4时是增函数，故 g (a) ma5高一数学函数难题汇编(含解析)实数 t 的取值范围是(1 ， )27 (2016 春信阳期末)如图，在半径为 ，圆心角为 60的扇形的弧上任取 一点 P，作扇形的内接矩形 PNMQ，使点 Q 在 OA 上，点 N ，M 在 OB 上，设矩 形 PNMQ 的面积为 y，POB=( )将 y 表示成 的函数关系式，并写出定义域；()求矩形 PNMQ 的面积取得最大值时 的值；()求矩形 PNMQ 的面积 y 的概率【解答】 解： ( )在 RtPON 中，PNO=90，POB= ， ，所以 ， ，在 RtQMO 中，

58、QMO=90，QON=60 ，QM=PN=所以 OM=所以： MN=ON OM=所以 y=即： y=3sincos sin2 ，( )()由( )得 y=3sincos sin2 = = ) =(0 ， )高一数学函数难题汇编(含解析)sin ( ) ，即 时， y 的最大值为 此时 ON= cos = = ，则 = | | |cos = =()若矩形 PNMQ 的面积 y ，则 ，即 sin ( ) ，则 sin ( ) ， ，即 ，则对应的概率 P= =28 (2016 春苏州期末)已知函数 f (x) =x|x a|，a R ，g (x) =x2 1(1)当 a=1 时，解不等式 f (

59、x)g (x)；(2)记函数 f (x)在区间0 ，2上的最大值为 F (a)，求 F (a)的表达式 【解答】 解： f (x)g (x)，a=1 时，即解不等式 x|x 1|x2 1 ， (1 分) 当 x1 时，不等式为 x2 xx2 1，解得 x1，所以 x=1 ； (3 分)当 x1 时，不等式为 x x2 x2 1，解得 ，所以 ； (5 分)综上， x (6 分)(2)因为 x0 ，2，当 a0 时， f (x) =x2 ax，则 f (x)在区间0 ，2上是则 当高一数学函数难题汇编(含解析)增函数，所以 F (a) =f (2) =4 2a ； (7 分)当 0a2 时， ，

60、则 f (x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间a，2上是增函数，所以 F (a) =maxf ( )，f (2) ， (9 分)而 ，f (2) =4 2a，令 即 ，解得 ，所以当 时， F (a) =4 2a ； (11 分)令 即 ，解得 或 ，所以当 时， ； (12 分)当 a2 时， f (x) = x2+ax，当 即 2a4 时， f (x)在间 上是增函数，在 上是减函数，； (13 分)，即 a4 时， f (x) 在间0，2上是增函数， 则 F (a) =f (2) =2a 4；(14 分)所以， (16 分)29(2015 秋黄浦区校级期末)已知函数g (x