视频3数列极限的性质与四则运算

1、三、数列极限的性质1数列极限的唯一性定理：若极限lim an 存在，则其值唯一n证明：设lim an a ，又设 lim an b ，则 0 ，存在 N 0 ，使得当n N 时，有nn| an a | ， | an b | a b a anan b 故 a b 所以当n N 时，有2收敛数列的有界性定理：若数列an 收敛，则其有界证明：设lim an A ，则存在 N 0 ，使得当n N 时，有nan A 1 即 anA 1 取 M max| a1 |,| a2 |,| aN |,| A | 1 ，则对任意的正整数n ，都有| an | M 成立故数列an 有界Note：数列发散；有界数列不见

2、得收敛（(1)n ），但有收敛子列；当数列有界且又单调时，数列收敛3数列极限的保号性定理：（1）若 lim an A ，且 A 0 ，则存在 N 0 ，当 n N 时， an 0 ；n若 an 0 ，且lim an 存在，则lim an 0 nn证明：（1）取 A 0 ，因为lim a A ，所以存在 N 0 ，使得当n N 时，有n2nA 2| a A |n所以0 A a 3 A n22（2）利用结论（1），反证即可四、数列极限的四则运算定理：设lim an A ， lim bn B ，则nn（1） lim(an bn ) A B ；n（2） lim(anbn ) AB ；n（3） lim

3、an A (B 0) n bnBNote1：注意定理中的条件nn1 kNote2：只对有限个函数有效（例如lim ， lim1 ）n k 1 nn k 1 2n 证明：（1） 0 ，因为 lim an A ， lim bn B ，所以存在 N 0 ，使得当n N 时，nn有| an A | ， | an B | 从而 | (an bn ) ( A B) | an A| | bn B | 2 故 lim(an bn ) A B n（2）因为bn 收敛，所以存在M 0 ，使得| bn | M 0 ，因为lim an A ， lim bn B ，所以存在 N 0 ，使得当n N 时，有nn| an

4、A | ， | an B | 从而 (M | A |) anbn ABanbn Abn Abn AB bnan A bn B=A故 lim(anbn ) AB n11（3）只需证lim(B 0) n bnB 0 ，因为lim bn B ，所以存在 N 0 ，使得当n N 时，有n| | B | 2| a B | ，且| bnn 21 12 从而=B 2B 2bnB11故 lim(B 0) n bnBak nk ak 1nk1 a1n a0例：计算极限 limm1m bm1n b1n b0n bmnbn Bbn BbnB a1 a11 )nk m (aak 1ak n ak 1n a1n a0kkk 1 n1 nk 10 nk limn解： limn bmnm bm1nm1 b1n b0(b b1 b11b)mm1 n1 nm10 nmak nk ak 1nk1 a1n a0 ；当 k m 时， limm1m bm1n b1n b0n bmnak nk ak 1nk1 a1n a0ak当 k m 时， lim；mm1bm