数学史研究之微积分的发展

1、数学史研研究之微微积分的的发展这学期，我选修修了数学学史这门门课程，听了一一个学期期下来，随着老老师的精精心讲解解，我对对数学又又有了重重新的认认识，以以前只是是学习、做题，数学题题倒是做做了不少少，可是是真要说说对数学学的认识识，还有有很大的的差距，甚至连连概念都都数不清清楚，所所以，想想要学好好数学，对数学学史的研研究必不不可少。数学史史，顾名名思义，分开来来理解，数学与与历史，他的研研究对象象涉及到到数学以以及历史史，所以以和传统统的数学学研究方方法又不不同，他他着重于于研究过过去历史史上的数数学方法法，数到到历史，他又为为我们展展现了数数学的一一个发展展过程，带我们们走过了了几千年年的

2、数学学历史，从简单单到复杂杂，逐步步为我们们剖析，使我们们对数学学的发展展过程有有了大概概的了解解，作为为一个当当代大学学生，我我想大家家都有必必要了解解这些，数学在在当今社社会已变变得越来来越重要要以及普普遍，几几乎涉及及到每个个方面，所以学学好数学学对每一一个人的的思维锻锻炼有很很大好处处。谈到高等等数学，大学生生能应该该都知道道，这是是大学必必修的基基础学科科。而其其中微积积分又是是重中之之重，贯贯穿整个个高等数数学，以以及其他他理工课课程。学学好微积积分，对对深入学学习一些些课程很很重要。微积分分的创立立，被誉誉为“人类精精神的最最高胜利利”。在118世纪纪，微积积分进一一步深入入发展

3、，这种发发展与广广泛的应应用紧密密交织在在一起，刺激和和推动了了许多数数学新分分支的产产生，从从而形成成了“分析”这样一一个在观观念上和和方法上上都具有有鲜明特特点的数数学领域域。在数数学史上上，188世纪可可以说是是分析的的时代，也是向向现代数数学过度度的重要要时期。微积分学学的触角角几乎遍遍至当今今科学的的各个角角落,是当代代科学大大厦的重重要石,微积分分的发展展过程是是数学家家集体智智慧的结结晶。微微积分的的发展大大致可分分为以下下4个阶段段:早期萌萌芽,酝酿时时期,创建期期,发展完完善期。一：早起起萌芽微积分，顾名思思义，涉涉及到微微分与积积分，他他们的发发展是独独立的，接下来来我想大

4、大家分别别介绍。积分学积分学的的思想萌萌芽可以以追溯到到古代,因为面面积与体体积的计计算自古古以来一一直是数数学家们们感兴趣趣的课题题,这里介介绍几位位具有突突出贡献献的数学学家以及及他们的的学术理理论,他们的的理论代代表着数数学研究究的思想想、精神神和方法法。古希腊数数学家欧欧多克斯斯(约公元元前4110 - 前3477年)发展安安提丰的的“穷竭法法”为“设给定定两个不不相等的的量,如果以以较大的的量减去去比它的的一半大大的量,再以所所得量减减去比这这个量的的一半大大的量,继续重重复这一一过程,必有某某个量将将小于给给定的较较小的量量”。欧多多克斯的的穷竭法法可看作作微积分分的第一一步,但没

5、有有明确地地用极限限概念,也回避避了“无穷小小”概念,并证明明了“棱椎体体积是同同等同高高的棱柱柱体积的的三分之之一”。古希希腊数学学家阿基基米德(公元前前2877 - 前2122 )在在处理理力学问问题的方方法一一文中阐阐明了“平衡法法”,即“将需要要求积的的量(面积、体积等等)分成许许多微小小单元(如微小小线段、薄片等等) ,再用另另一组微微小单元元来进行行比较,而后一一组小单单元的总总和是可可以计算算的,但它要要借助于于杠杆的的平衡原原理来计计算”。实质质上“平衡法法”是一种种原始的的“积分法法”。阿基基米德用用“平衡法法”证明了了球体积积公式:球体积积=, 且等等于外切切圆柱体体积的。

6、中国数学学家刘徽徽(生于公公元2663 年年) ,发明了了“割圆术术”“割割之弥细细,所失弥弥少,割之又又割,以至于于不可割割,则与圆圆合体而而无所失失矣”,并求得得圆周率率3.14 。祖暅(55世纪- 6世纪纪) ,解决了了刘徽绞绞尽脑汁汁未果的的求球体体积问题题,祖用的的方法是是祖氏定定理“幂势既既同,则积不不容异”和“岀入相相补原理理”,祖暅的球体体积公式式为V球=(D为球球的直径径) 。微分学与积分学学相比,微分学学的起源源则要晚晚得多,早期应应用微分分学思想想是静止止的,不是动动态的,与现代代微积分分相差甚甚远。二：酝酿酿时期 15, 16世世纪在欧欧洲文艺艺复兴的的高潮中中,数学的

7、的发展与与科学的的革命紧紧密结合合在一起起,提出了了以下亟亟待解决决的问题题:(1)如如何确定定非匀速速运动物物体的速速度与加加速度及及瞬时变变化率问问题。(2)望望远镜的的设计需需要确定定透镜曲曲面上任任意一点点的法线线,求任意意曲线切切线的连连续变化化问题。(3)确确定炮弹弹的最大大射程及及寻求行行星轨道道的近日日点与远远日点等等涉及的的函数极极大值、极小值值问题。(4)行行星沿轨轨道运动动的路程程、行星星矢径扫扫过的面面积以及及物体重重心与引引力的计计算等。为解决科科学发展展所带来来的一系系列问题题, 117世纪纪上半叶叶被人们们遗忘千千年的微微积分重重又成为为重点研研究对象象,几乎所所

8、有的科科学大师师都竭力力寻求这这些问题题的解决决方法,有代表表性的成成果有以以下几个个方面:开普勒与与旋转体体体积德国天文文学家、数学家家开普勒勒(15571 - 116300)在16115年发发表的测量酒酒桶的新新立体几几何中中,采用“用无数数个同维维无限小小元素之之和来确确定曲边边形的面面积及旋旋转体的的体积”。例如如,他认为为球的体体积是无无数个小小圆锥的的体积的的和,这些圆圆锥的顶顶点在球球心,底面则则是球的的一部分分;他又把把圆锥面面看作极极薄的圆圆盘之和和,并由此此计算出出它的体体积,然后得得出球体体体积为为:球的半半径乘以以球面面面积的三三分之一一( V = RR 4) 。卡瓦列

9、里里不可分分量原理理意大利数数学家卡卡瓦列里里( 115988 - 16447)在在用新新方法促促进的连连续不可可分量的的几何学学中发发展了系系统的不不可分量量方法:“两个等等高的立立体,如果它它们的平平行于底底面且离离开底面面有相等等距离的的截面面面积之比比为定值值,那么这这两个立立体的体体积之间间也有同同样的比比”(当比为为1: 1时,就是祖祖原理,只不过过相差11 0000多年年) ,并于16639年年利用平平面上不不可分量量原理建建立了等等价于积积分的基基本结果果,使早期期积分突突破体积积计算的的现实原原型而向向一般算算法过渡渡。沃利斯“无穷算算术”英国数学学家沃利利斯( 16116

10、- 17703)是牛顿顿和莱布布尼茨之之前将分分析方法法引入微微积分贡贡献最大大的数学学家,并在无穷算算术中中用“分析”的途径径发展积积分法,并获得得许多重重要成果果,比如将将幂函数数积分公公式推及及到分数数幂,不过沃沃利斯仅仅对q = 11的特例例给出了了证明。笛卡尔“圆法” 法国数数学家笛笛卡尔( 15596 - 116500)在几何学学中提提到了用用代数方方法求切切线的方方法“圆圆法”。笛卡卡尔的代代数方法法在推动动微积分分的早期期发展方方面有很很大的影影响,牛顿就就是以笛笛卡尔的的“圆法”为起跑跑点而踏踏上研究究微积分分的道路路的。费马求极极大值与与极小值值的方法法法国业余余数学家家费

11、马( 16601 - 116655)在给给梅森的的一封信信中提出出了求极极大值与与极小值值的代数数的方法法。按费费马的方方法,设函数数f(x)在点a处取值值,用a+ e代替替原来的的未知量量a ,并使f ( aa + e) 与f ( a) 逼近近,消去公公共项后后, 用e 除两两边再令令e 消失失, 即,此方程程求得的的a 就是是f ( x) 的极极值点。巴罗微分分三角英国数学学家巴罗罗(16630 - 116777)在几何讲讲义中中应用“微分三三角形”给出了了求曲线线切线的的方法,这对于于他的学学生牛顿顿完成微微积分理理论起到到了重要要作用。三：微积积分学的的创建 微积分学学是由牛牛顿与莱莱

12、布尼茨茨分别独独立创建建的。1.牛顿顿的“流数术术”英国数学学家牛顿顿(16642 - 117277)于16665年11月发发明“正流数数术”(微分法法) , 16666年年5月建立立“反流数数术”(积分法法) 。16666年10月,牛顿将将前两年年的工作作总结为为流数数简论,明确了了现代微微积分的的基本方方法,是历史史上第11篇系统统的微积积分文献献。牛顿顿将自古古希腊以以来的求求解无限限小问题题的各种种技巧统统一为两两类普通通的算法法) 正、反流数数术(流数就就是微商商) ,并证明明了二者者的互逆逆关系,将这两两类运算算进一步步统一成成整体,这是他他超越前前人的功功绩,也正是是在这样样的定

13、义义下,我们说说牛顿发发明了微微积分。应用微微积分理理论,牛顿在在16887 - 16693年年里相继继发表了了运用用无限多多项方程程的分析析(分析析学) 、流数术术与无穷穷级数(流数数法) 、曲线求求积术(求积积术) 。在在这些文文献中他他改变了了自己对对无限小小量的依依赖,提出了了极限方方法的先先导“首末比比方法”,第1次引进进流数记记号,一次流流数x, y, z,二次流流数,等。2.莱布布尼茨德国数学学家莱布布尼茨( 16646 - 117166)是从从巴罗的的“微分三三角形”切入微微积分研研究工作作的,他在研研究“微分三三角形”时认识识到:“求曲线线的切线线依赖于于纵坐标标的差值值与横

14、坐坐标的差差值在变变成无限限小时之之比;求曲线线的面积积则依赖赖于无限限小区间间上的纵纵坐标之之和”。早在在16666年,莱布尼尼茨在组合艺艺术一一书中讨讨论过数数列问题题并求得得许多重重要结论论。19972 年开始始,莱布尼尼茨将他他对数列列研究的的结果与与微积分分运算结结合起来来, 16675年年10月29日的一份份手稿中中,他决定定用suum拉长长的s, 表示积积分, 16776年11月,莱布尼尼茨已经经能够给给出幂函函数的微微分与积积分公式式:dx与(其中不不一定是是正整数数) 。16777年,莱布尼尼茨在一一篇手稿稿中明确确陈述了了微积分分基本定定理) 。优先权之之争瑞士数学学家德丢

15、丢勒于116999年在一一本小册册子中提提出: “牛顿是是微积分分的第一一发明人人”“莱布布尼茨是是微积分分的第二二发明人人”。从而而引发了了牛顿与与莱布尼尼茨“发明微微积分”优先权权的争论论,这场争争论被称称为“科学史史上最不不幸的一一章”,并导致致了英国国与欧洲洲国家在在数学发发展上的的分道扬扬镳。事事实上,牛顿与与莱布尼尼茨是相相互独立立的发明明微积分分的。四：微积积分的完完善时期期牛顿与莱莱布尼茨茨的微积积分还只只能说是是姗姗学学步的孩孩童时期期,还很不不完善,历经众众多数学学大家的的发展才才有了今今天的面面貌,主要代代表人物物有:瑞士数数学家欧欧拉( 1700717783)在1744

16、8 年年出版的的无限限小分析析引论以及随随后发表表的微微分学和积积分学中同时时引进了了一批标标准的符符号,如: f ( xx) 函数符符号, 求和和符号, e 自然对对数底, i 虚数号号等等,对分析析表达的的规范化化起了重重要作用用。法国国数学家家柯西(17889 - 18851)在分分析教程程和无限小小计算教教程概论论中,以严格格化为目目标,对微积积分的基基本概念念如变量量、函数数、极限限、连续续性、导导数、微微分等给给出了明明确的定定义,并在此此基础上上重建和和拓展了了微积分分的一些些重要事事实与定定理,如证明明连续函函数的积积分(作为和和式的极极限)的存在在性、证证明级数数Sn 收敛的

17、的判别准准则、中中值定理理等,柯西的的工作向向分析的的全面严严格化迈迈出了关关键的一一步。但但由于实实数系的的不明确确,微积分分还不够够完善,逻辑上上仍存在在着一些些问题,这导致致了199世纪后后半叶数数学史上上著名的的“分析算算术化”运动。德国数数学家维维尔斯特特拉斯( 18815 - 118977)认为为实数系系是解决决极限与与连续等等概念的的关键,从而成成为全部部分析的的本源。要使分分析严格格化,必须使使实数系系严格化化,最可靠靠的办法法是按照照严密的的推理将将实数归归结为整数(有有理数) ,这这样分析析的所有有概念便便可由整整数导出出,使以往往的漏洞洞和缺陷陷都能得得以填补补。这就就是“分析算算术化”纲领。维尔斯斯特拉斯斯和