数学发展简史数学发展简史

1、数学发展展简史数数学发展展简史一、数学学起源1 希腊人人发现了了推理的的作用古典时期期（公元元前6000前前3000年）的的希腊人人，认识识到人类类有智慧慧、有思思维，能能够发现现真理。2 最早提提出自然然界数学学模式的的是以毕毕达哥拉拉斯（PPythhagoorass）为领领袖的座座落于意意大利南南部的毕毕达哥拉拉斯学派派。3 继毕达达哥拉斯斯学派之之后，最最有影响响的是由由柏拉图图学派，他控制制了公元元前4世世纪这一一重要时时期希腊腊人的思思想，他他是雅典典柏拉图图学院的的创立者者，存在在了九百百年之久久。4 亚里士士多德是是柏拉图图的学生生，他批批评柏拉拉图的冥冥世思想想以及把把科学归归

2、结为数数学的认认识。他他是一个个物理学学家，他他相信真真正的知知识是从从感性的的经验通通过直观观和抽象象而获得得。他认为，基本概概念应该该是不可可定义的的，否则则就没有有起始点点。他又又区分了了公理和和公设。公理对所有有思想领领域皆真真。公设适用于于专业学学科，如如几何学学。5 欧几里里得（EEucllid）、阿基基米得（Arcchimmedees）、丢番图图等属于于希腊文文化的第第二个重重要时期期，亚历历山大里里亚时期期（公元元前3000年公元6600年年）欧几里得得（公元元前约3300年年），他他的代表表作几几何原本本是一一本集希希腊数学学大成的的巨著，成为两两千年来来用公理理法建立立演绎

3、的的数学体体系的典典范。二、数学学的繁荣荣（文艺艺复兴（15世世纪初到到17世世纪的2200年年）1 希腊人人的宗旨旨自然然是依数数学设计计的，与与文艺复复兴时的的信念上帝帝是这个个设计的的作者，融汇在在一起，统治了了欧洲。2 笛卡儿儿（Deescaartees，11596616650）被誉为数数学王冠冠上的明明珠之一一，但他他首先是是一个哲哲学家，其次是是宇宙学学家，第第三是物物理学家家，第四四是生物物学家，第五才才是数学学家。极其敏锐锐的直觉觉和对结结果的演演绎这就是是笛卡儿儿认识哲哲学的实实质。笛卡儿认认为：思思维只有有两种方方法，这这就是：直觉和和演绎。笛卡儿对对数学本本并没有有提出什

4、什么新定定理，但但他却提提供了一一种非常常有效的的研究方方法，即即解释释几何。在科学上上，笛卡卡儿的贡贡献，虽虽然不如如像哥白白尼、开开普勒以以及牛顿顿那样辉辉煌灿烂烂，但也也不容轻轻视。3 帕斯卡卡（Paascaal）：是177世纪伟伟大的数数学家之之一。4 伽利略略与笛卡卡尔齐名名，他的的主要贡贡献是他他在科学学方法上上的许多多变革。a) 他要要研究和和证明的的是一些些运动的的性质而而不考虑虑为会什什么会这这样。b) 他坚持持向自然然科学家家提议：不要研研究为什什么会这这样，只只要讨论论怎样定定量描述述。c) 他的另另一个原原则是：科学的的任一分分支都可可用数学学模型模模仿出来来。5 牛顿

5、是是剑桥大大学的数数学教授授，被称称为最伟伟大的数数学家之之一，牛牛顿认为为数学是是枯燥和和乏味的的，只是是表述自自然定律律的一种种工具。牛顿的真真正的成成就在于于证明了了开普勒勒经过多多年观测测和研究究得出的的开普勒勒三定律律可以由由万有引引力定律律和运动动三定律律用数学学方法推推导出来来。拉普普拉斯曾曾说过，牛顿是是最幸运运的人，因为只只有一个个宇宙，而他成成功地发发现了它它的定律律。6 莱布尼茨茨（Leeibnnitzz，1664617116，法法国数学学家），主要是是个哲学学家，他他多才多多艺，对对数学、科学、历史、逻辑学学、法律律、外交交和神学学的贡献献都是首首屈一指指的。7 欧拉（

6、Euller瑞士士），是是18世世纪最伟伟大的数数学家，也是数数学史上上最多产产的数学学家，其其论著几几乎涉及及18世世纪所有有的数学学分支。欧拉认为为所有自自然现象象之所以以表现如如此，是是因为它它们要使使某些函函数达到到极大或或极小，因而，基本的的物理原原理应包包括达到到极大或或极小的的函数。数学支支配一切切，188世纪最最伟大的的智者对对此深信信不疑。三、第一一场灾难难：真理理的丧失失（非欧欧几何和和四元数数的发现现）1 进入119世纪纪，数学学界正是是一派祥祥瑞景象象：1) 拉格朗朗日：仍仍然活跃跃在数学学界；2) 拉普拉拉斯：正正处在他他智力的的顶峰时时期；

7、3) 傅立叶叶：至力力于热的的传导研研究，他他发展了了无穷三三角级数数现称称为傅立立叶级数数的理论论。对他他的工作作无论用用什么词词来赞誉誉都不过过分。4) 高斯（Gauuss）：发表表了他的的算术术研究（18801），这是是关于数数论的一一个里程程碑，赢赢得了数数学王子子的雅称称。5) 柯西（Cauuchyy）：他他的数学学论文超超过7000篇，仅次于于欧拉，能与高高斯匹敌敌。2 到18800年年时上帝帝的存在在越来越越不被感感觉到，然而当当时的数数学家们们还是相相信严格格的数学学真理和和自然界界的数学学法则，在所有有的数学学分支中中，欧氏氏几何最最受推崇崇。“上帝”所攻击击的正是是欧氏几几

8、何。达兰贝尔尔在17759年年解平行行公理问问题是“几何原原理中的的家丑”3 非欧几几何的产产生：1) 18113年起起，高斯斯开始发发展他的的非欧几几何。2) 创造非非欧几何何的人是是罗巴切切夫斯基基。3) 物理空空间的几几何可以以是非欧欧几里得得的，它它的创建建的是黎黎曼（KKiemman），他是是高斯的的学生。4 高斯认认为，真真理存在在于数中中，它是是算术、代数、微积分分以及后后续学科科的基础础。雅可比（Jaccobii）说：“上帝一一直在进进行算术术化”。一直直到18850年年，算术术在科学学上远比比几何使使用得更更为广泛泛，不幸幸的是毁毁灭性的的事情接接踵而来来。5 从166世纪开

9、开始，数数学家们们就在使使用微量量的概念念了。复数被用用作向量量代数二维维数用什么来来表示空空间中某某种三维维数的向向量及其其代数运运算呢？6 四元数数的引入入：1) 18433年，哈哈密尔顿顿提出了了一个有有用的复复数的空空间类似似物，为为此他困困惑了115年。他的新新数包含含四个分分量，其其次，他他不得不不牺牲了了乘法交交换律。他把这这种数叫叫做四元元数。（a+bbi+cci+ddk）2) 四元数数的引入入给了数数学家们们又一次次震动。它是一一个确实实有用途途的代数数，却不不具备所所有实数数和复数数的基本本性质，即abb=baa3) 继四元元数后不不久，数数学家们们引入了了更奇怪怪的代数数

10、，如，著名代代数几何何学家凯凯莱引进进了矩阵阵，它是是矩形或或正方形形数组。4) 对算术真真理的最最严重打打击来自自于亥姆姆霍兹（Hellmhooltzz）他的的结论是是：只有有经验能能告诉我我们算术术的法则则能用在在哪里，我们并并不能肯肯定一条条先验公公式是否否在任何何情况下下都适用用。如，分数数的加法法运算在在计算平平均速度度时，就就有7 数学中中没有真真理，即即作为现现实世界界普适法法则。希腊人试试图从几几条自明明的真理理出发和和仅仅使使用演绎绎的证明明方法来来保证数数学的真真实性被被证明是是徒劳的的。1） 数学并不不是一堆堆天然的的钻石，而不过过是人工工宝石，某些领领域的经经验启发发特

11、定的的公理，在这些些领域，这些公公理及真真逻辑结结果能够够非常精精确地作作有价值值的描述述。但是是，一旦旦这一领领域扩展展了，这这种适用用性就可可能失去去。2） 既然数数学家们们已经放放弃了上上帝，我我们就应应该相信信人。自自然法则则是人的的创造物物，是我我们，而而不是上上帝，才才是宇宙宙法则的的制定者者，自然然法则是是人的描描述而不不是上帝帝的命令令。3） 17550年数数学家们们可以这这样夸耀耀他们的的发明：沐浴着上上帝的光光芒，我们走向向四面八八方。 到到了18850年年，他们们不得不不沮丧地地承认 不管我我走到哪哪里， 尘世中中这条路路已不再再荣光。4） 这段历历史并不不会令人人失望，

12、伽罗瓦瓦这样评评论数学学：“数学是是人的心心智的工工作，它它注定要要去探索索而不是是知道，去追求求真理而而不是发发现真理理”。四、一门门逻辑学学科不合合逻辑的的发展算术术和代数数的困境境1 非欧几几何正是是导致欧欧氏几何何之船倾倾覆的暗暗礁。曾经被确确信是坚坚实的土土地，如如今却被被证明是是一片沼沼泽。2 让我们们看看数数学的逻逻辑发展展是如何何进行的的吧。1) 亚历山山大里亚亚希腊人人自由地地使用从从埃及人人和巴比比伦人那那里继承承来的，没有逻逻辑基础础的算术术和代数数。2) 古希腊腊人给后后人两门门截然不不同的、发展得得不一样样的数学学分支：一方面面是演绎绎的、系系统的、但有些些缺陷的的几

13、何，另一方方面则是是经验算算术及其其延展代代数。3) 在阿拉拉伯人最最终毁灭灭了亚历历山大里里亚希腊腊文明以以后，印印度人和和阿拉伯伯人成为为数学的的执牛耳耳者。4) 印度人人引入了了负数来来表示负负债，这这一举动动加重了了数学家家们逻辑辑上的苦苦恼，印印度人注注重的是是算术和和计算方方面，而而不是演演绎结构构。印度人有有一些不不错的思思想，例例如， 数字字1到99用独立立的记号号表示 将六六十进制制化为十十进制 负数数，把00当作一一个数来来对待。所以，印度人人的工作作扩充了了建立在在经验和和直觉基基础上的的那部分分数学。3 在166、177世纪，并没有有许多数数学家承承认负数数4 无理数数

14、被自由由地运用用于文艺艺复兴时时期的一一个新发发明，对数之中中，而无无理数究究竟是不不是真正正的数也也困扰着着这些使使用者。5 当欧洲洲人还没没有从无无理数与与负数的的困境中中摆脱出出来时，他们又又糊里糊糊涂地陷陷入了我我们现在在称之为为复数的的泥沼之之中。6 韦达是是第一个个有意识识地系统统地使用用字母的的人，字字母的主主要新用用途不仅仅是用于于表示未未知量的的幂，而而且用以以表示一一般的系系数。7 代数的的产生：1) 直到177世纪代代数的威威力才被被逐渐认认识到，笛卡尔尔和费马马迈出了了举足轻轻重珠一一步，这这就是坐坐标几何何的产生生（代数数几何）。其基基本思想想是：曲曲线显然然可以用用

15、方程来来表示。2) 第二个个将代数数推向前前台的创创举是运运用代数数公式表表示函数数。3) 代数的的自由使使用激起起众怒，直到117500年，人人们才得得以放心心大胆地地运用代代数。4) 几何学学是公元元前3000年前前用演绎绎的方法法建立起起来的，但算术术与代数数学都怎怎么也找找不到逻逻辑基础础。科学学的需要要战胜了了逻辑上上的顾忌忌。8 数学家家们为什什么没有有发展一一个数与与代数的的演绎推推导结构构呢？这这是因为为几何的的概念、公理和和原理从从直观上上看，远远比算术术和代数数的易于于接受，作图可可辅助解解释结构构。但无理数数、负数数和复数数的概念念都微妙妙得多，即使可可以得到到图形，也无

16、法法解释数数字作为为数和建建立于数数学基础础上的字字母表示示法的逻逻辑结构构。五、分析析的困境境1 以微积积分为核核心的分分析是建建立在算算术与代代数虚构构的逻辑辑基础及及欧几里里得几何何有争议议的基础础之上的的。2 17世世纪就随随着微积积分、算算术及代代数的一一片混乱乱结束了了。3 18世纪纪伟大的的数学家家不仅极极大地扩扩展了微微积分学学而且从从中导出出了一些些全新的的学科：无穷级级数、常常微分方方程、偏偏微分方方程、微微分几何何、变分分法及复复变函数数这些些统称为为分析的的学科。从微积积分到这这些新分分支的扩扩展引入入了新概概念、新新方法，使得微微积分的的严密性性问题更更加复杂杂。对无

17、穷级级数的处处理也许许可以用用来解释释一下这这些新的的麻烦 于是是，当 时 即 问问题出在在：1) 如何讨讨论级数数的求和和？收敛敛和发散散？2) 有限运运算和无无限运算算有何区区别？4 几何118世纪纪的每位位数学家家都在微微积分的的逻辑上上做了努努力，但但他们的的努力都都是没有有多大用用处的。人们很难难区别很很大的数数与无穷穷数；有有限项的的积与积积分也很很难区分分，数学学家们在在有限与与无限之之间随意意通行。策积分变变为“计算与与度量一一个其存存在性是是不可思思议的事事物的艺艺术”。5 18世世纪结束束之际，微积分分和建立立在微积积分基础础上的分分析的其其它分支支的逻辑辑处于一一种完全全

18、混乱的的状态之之中。六、199世纪的的困境（逻辑基基础）1 无理理数，可可看作是是直线上上的点，对它的的作用，人们没没有异议议，直观观上难以以接受的的是负数数和复数数。1) 柯西，最伟大大的数学学家之一一，在119世纪纪初创立立了复变变函数理理论，但但不同意意把表达达式 当当作数。2) 哈密尔尔顿，这这位伟大大数学家家，也不不愿意接接受负数数和复数数3) 高斯，在他的的著作中中，并不不愿意承承认复数数。2 199世纪上上半期，人们注注意到代代数也缺缺乏逻辑辑基础，主要问问题是字字母被用用来表示示各类数数并参与与运算。3 除了代数数，199世纪早早期的分分析也处处于逻辑辑困境中中，所有有分析的的

19、基础就就是连续续函数和和函数导导数的概概念。直直观上，一个连连续函数数应在任任何一点点都有导导数存在在，不幸幸的是，这是错错误的。4 19世纪纪任何一一门数学学在逻辑辑上都是是得不到到保证的的。实数数系、代代数学、欧氏几几何，新新出现的的非欧几几何和射射影几何何，它们们要么逻逻辑不完完善，要要么根本本就没有有。5 在所有的的数学工工作中，存在强强烈的直直觉作用用，基本本概念和和方法总总是在对对结论合合理的证证明以前前很久就就被直觉觉捕捉到到了，伟伟大人物物的直觉觉比凡人人的推演演论证更更为可靠靠。七、天堂堂之门（数学的的严格化化运动）1 柯柯西决定定在数的的基础上上建立微微积分逻逻辑，把把微积

20、分分建立在在极限的的概念上上。2 在在分析严严密化方方面，主主要的成成就归功功于另一一位大师师魏尔斯斯特拉斯斯（Weeierrstrrasss）。3 大约18890年年左右，在埃及及人和巴巴比伦人人使用整整数、分分数和无无理数六六千年后后，数学学家们终终于可以以证明22+24。4 大约19900年年为止，算术、代数和和（建立立在整数数公理基基础上的的）分析析及（以以点、线线和其它它几何概概念为基基础的）几何已已经被严严密化。&szllig;接下来来的问题题纠缠于于逻辑，即在由由一个数数学步骤骤推出另另一个中中的推理理原理1 逻辑学学是由亚亚里士多多德在他他的工工具篇中奠定定的。他他的基本本原理

21、之之一就是是排中律律即所所有有意意义的断断言非真真即假。亚里士多多德的逻逻辑主要要由三段段论构成成2 莱布尼尼茨的普普遍逻辑辑构想：1）符号号化 22）推理理演算 33）基本本概念的的组合3 布尔（Geoorgee Booolee），引引入了命命题逻辑辑皮尔斯：有效地地引进了了命题函函数这一一概念，还引入入了所谓谓的“量词”从而引引进了一一阶逻辑辑。弗雷格（Gotttloob FFregge）（法）：在数学学化逻辑辑的方向向上迈出出了199世纪的的最关键键一步。他引入入了一个个更广泛泛的蕴涵涵概念。4 在200世纪初初公理化化方法被被认为是是完美的的，没有有人比希希尔伯特特对它更更为推崇崇了，

22、他他是当时时世界上上顶尖的的数学家家。5 事实上上，所有有的这些些公理化化结构和和严密所所做的无无非是证证明了数数学家所所知道的的那些东东西确实实是那样样的。&szllig;所有的这这些意味味着数学学并非建建立在逻逻辑之上上而是建建立在健健全的直直觉之上上。逻辑是数数学家们们想要保保证健康康和强壮壮的卫生生手段。回顾顾数学上上几次危危机： 1）无无理数 22）微积积分 3）非欧几几何 4）四元数数在119000年巴黎黎举行的的第二届届国际数数学大会会上，希希尔伯特特清醒地地认识到到数学基基础中的的漏洞并并未完全全堵住，他提出出了数学学发展中中最重要要的233个问题题。第一个问问题：1）康托托尔

23、引入入了超限限数来表表示无限限集中元元素的个个数。2）证明明：整数数个数这这一超限限数之后后，第二二大超限限数是所所有实数数的个数数。八、天堂堂受阻：理性的的新危机机（无穷穷集合）1 到19900年年，数学学家们近近似乎已已经赋予予了他们们的学科科一种理理想的结结构。 他们们最终承承认了未未定义概概念的必必需。 正确确、严谨谨、演绎绎的证明明取代了了基于直直觉成经经验的结结论。 逻辑辑学的原原理用以以完善数数学家们们过去常常用的那那种不正正规的、不清晰晰的证明明方式。但，“当当大厦即即将竣工工的时候候，基础础却崩溃溃了”2 导致矛矛盾并让让人大开开眼界的的新理念念是关于于无穷集集合的康康托尔证证明了：1) 整数集集，他用用符号 （阿列列夫零）来表示示这个基基数。2) 实数集集，大于于整数集集，他用用符号CC来表示示其基数数。3) 对于一一个任意意给定的的集合，总存在在一个比比它更大大的集合合。4) 5) 已知知集合的的所有子子集构