数字信号处理(方勇)第二章习题答案

1、 （1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1（2（3（4（5（621试求如下序列的傅里叶变换：x(n)=6(n-n)1011x(n)=6(n+1)+5(n)一6(n一1)x(n)=anu(n+2),0a13x4(n)=u(n+3)一u(n一4)x5(n)14k=0n6(n一3k)x(n)=6cos(兀nJ3),-1n40,其他X(ey)=艺5(nn)e-阿=ejnQ10n=g亍11.X(ej)=x(n)ej=ej+1一一ej=1+jsin2222n=gEya2e2j、/anu(n+2)ejn=厶/anejn=,31aejn=gn=2X(ej)=艺tu(n+3)一u(n一4)1jn4=ejt=

2、ejn+ejnn=gn=3n=0n=11ej41ej(7)sinI丿.(1)sinI丿1ej31ej7+ej=ej31ej1ejX(ej)=艺艺5n=-8k=0(1y5(n3k)ejn=乙14丿k=01、3kej3kk=0(1ej(43k1(1ej(4X(ej)=cosne-jn=63n=4n=4一-廿+eJ3ejn数字信号处理学习拓展2 n=0n=0工=1ej4(-3)21ej(:-)9工1+ej(3)1+1ej4(+3)21ej(；+)92-2设信号x(n)=1,2,3,2,1,它的傅里叶变换为X(ea)，试计算X(ejo)(2)IKX(ej)d(3)VX(ea)|2doo兀解：(1)X(

3、ejo)=艺x(n)=1xx1X=_ej4(3)Lej(3)n+_ej4(+3)Lej(3+)n2n=g(2)x(0)=X(ej)d=3,IxX(ej)d=6x2=38兀(3)卜|X(ej)2d=2兀艺|x(n)|2兀n=22-3已知X(ej)=1,0,|0|15兀0解：2-4求X(ej)的逆傅里叶变换x(n)。sinnx(n)=oejnd=ono设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。1)x(nn)0解：(1)DTFTx(n一n)=Lx(n一n)ejn,令n=nn,n=n+n,贝U：oooon=gDTFTx(n一n)=Lx(n)e-j(川+勺)

4、=e-jnX(ej)on=83)x(n)4)nx(n)(2)DTFTx*(n)=Lx*(n)e-jn=n=gn=g*x(n)ejn=X*(ej)(3)DTFTx(n)=艺x(n)ejn,令n=n,贝U：n=8DTF(艺(x)n(=Xe)n=g(4)由X(ej)=艺x(n)ejn,得QX(ej)Q=j艺nx(n)ejn=jFTnx(n)n=gn=8所以DTFTnx(n)=严(j)2-5已知序列x(n)二2nu(n)，求其傅里叶变换DTFT。j)n解：X(ej)=2nu(n)e-jn=2nejn=j)n=gn=g=1=111ej22-6设x(n)=R(n)，试求x(n)的共轭对称序列x(n)和共轭

5、反对称序列x(n);并分别4eo用图表示。解：rR(n)+R(n几L4(n)=12L4(n)=1R(n)R(n)4图形如下题2-6图所示：题2-6图x(n)与x(n)序列图2-7设系统的单位脉冲响应h(n)=2anu(n),0a1，输入序列为0 x(n)=28(n)+8(n1)完成下面各题：1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解：(1)y(n)=h(n)*x(n)=2anu(n)*2(n)+8(n1)=2a”u(n)+2an-iu(n1)(2)X(ej)=艺28(n)+8(n一1)1jn=2+e-jH(ej)=艺2anu(n)e-jn=X2an

6、ejn=1aejn=0n=82(2+e-)Y(ej)=H(ej)-X(ej)=1aej2-8若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:H(ej)=1+cosR求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。11解:Hr(ej)=1+cos=1+2ej+2ej=DTFTh(n)=艺e,n=121,n=0,n=120,n00,n1h(n),n=0=01,n=1h(n)二eh(n)eh(n)ejnen=gE、/h(n)ejn=1+ej=2ej/2cos2n=82-9试用定义计算周期为5,且一个周期内x(n)二2丄3,0,4的序列X(n)的DFS。解：X(k)=为x(n)e-j2导=2+e一jk+3

7、e-j很k+4e-j響n=02-10求出周期序列x(n)二0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,的DFS。解：由题知X(n)周期为4X(k)=2x(n)e-j呼=2x(n)e-j野=e-j耳+2e-j兀k+3e-j耶n=0n=0=2(1“+2e-j3尸+e_jk(ej于+e_j肾)2-11证明：已知周期为N的信号x(n)，其DFS为尢，证明DFS的调制特性DFSW1x(n)DFSWnix(n)=2Wnix(n)e-j钧Nn=0=2X(n)e-j2Nne-j2Nn1n=0=2X(n)e-j2兀N-1)n=0命题得证。2-12|1,n=0,1x(n)To,其他将x(n)以4为周期进行周期

8、延拓，形成周期序列(n),画出x(n)和(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。解：x(k)=DFSLx(n)=2x(n)e-jk=2e-j2kn=1+e-j2kn=0n=0ej4k+e-j4k=2cos-kk丿k4丿=e-j4kX-e-j4kx(k)以4为周期。X(ej)=DTFTx(n)=2x(k)8(一k)=牛2x(k)5(-牛k)k=-gk=-g=兀cos(k)e-j4ko一k)42k=-gx(n)和(n)波形图如下题2-12图所示:2-13如果双)是一个周期为N的周期序列，其DFS为邓)，将x(n)看作周期为2N的题2-12图x(n)和x(n)波周期序列，其D

9、FS为兀。试利用兀确定乙。解:按照题意，可以写出:Nn=0X(k)=七(n)Wkn=龙(n)7nknn=0X(k)=iX(n)Wkn22Nn=0七1(n)eJ2n=02N-1.2兀k+乙(n)e-Jn2nn=N令n二n-N，则N-1.2兀kX(k)=x(n)e-JN22n=0+-1(n+N)e-(n+N)2n=0=(1+eJkn(n)e-Jn2nn=0=(1+e-jkn)X1所以even0,k二odd2-14根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号x(n)。ej1)x(ej)=111+e-je2j662)X(ej)=艺(1)k5(-孕)k=一8解：(1)X(ej)=I1+e-j6一6

10、e-je-j1e2j(e一j3)(e一j+2)6651.1_ej36511+ej2因此伍11x(n)二5(3)n-(2)nu(n)(2)因为X(ej)含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为X(n)，其周期为N，DFS为X(k)二a,则有:kx(n)=IDFSX(k)=丄刃X(k)ejNkNk=0 x(n)的DTFTX(ej)，有X(ej)=X(k)5(k)k=xN刃咱&竹普艺ak5(-却)k=0k=g艺aejk(n)n令2兀艺a5(k)kkNk=0k=g而已知X(ej)=艺(1)k5()k=8可见N=4,2兀a二(一1)kk(-1)ka二k2兀所以口)二4工晋心二4工尹肿k=0k=01

11、.冗.3冗1-e2n+ej冗n-e2n,n=0,1,2,38n1得x(n)是以0,0,0为周期的周期函数。2兀2-15计算以下诸序列的N点DFT，在变换区间0nN-1内，序列定义为1)(2)x(n)=R(n)，0mNm3)(4)x(n)=5(nn)，其中0nN005)x(n)=u(n)u(nn)，其中0nN00解：(1)X(k)=乞1WknNn=02兀kn=1-e-jNkN=|Nk=01e诗10，k=2,.n-12)X(k)=ST1WknNn=01-Wkmi=e1-WkNsm-j訣(m-1)(兀7)mkIN丿sin一kIN丿3)X(k)=艺ej:n=0mnWkn=艺ej；(m-k)nNn=0=

12、1e-吋J-k)NN,k=m，0kN-1O,k丰m4)由DFT的定义直接计算序列的DFT，对Z变换采样。由于X(z)=Z-，对X(z)在z=Wk，k=0,1,2N-1上采样，求得:X(k)=WnckNk=0,1,2,，N15)X(k)二辺WnkNn=01Wkn0N-1Wk二Wk(n0-1)2NW-kn02Wkn02NNW-k2Wk2NN=ej皿no=1jsinsin(；kN)，k=0,1,2,，N12”2-16已知x(n)=ejNmn,0mN,0nN，求其N点DFT。SaN1a(八IN,k二m，、,ejnmnWkn二乙ejN(mk)n二彳,0kN1NI0,k丰mn=0n=02-17设X(k)=

13、1+25(k),0k9，求其原序列x(n)=IDFTX(k)。解：DFT5(n)=1DFT1=艺1xWkn=N5(k)Nn=01x(n)=-55(n)2-18已知下列X(k),0kN1，求x(n)=IDFTX(k)，其中INejQ,2NX(k)=e-j0,0,k=mk=Nm其他0mN。解：x(n)=IDFTx(k)=丄艺X(k)Wknx(n)=|eyeej：Nmn+Ne-jejZ(nmNnN22k=01jf加mn+J-jfmn+ejf2兀e)一eIN丿+e1n丿=cos2IN丿2-19已知序列x(n)的4点离散傅里叶变换为X(k)=2+j,3,2-j,1，求其复共轭序列x*(n)的离散傅里叶变

14、换X(k)。1解：X1(k)=X*(Nk)=(2-j)*,1,(2j)*,3=2j,1,2-j,32-20证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFTx(n)证明：DFTX(n)二Nx(Nk)证明：X(k)=Sx(n)WknNn=0DFTx(n)=SX(n)Wkn=SSx(m)WmnWknN(N丿Nn=0n=0m=0=Sx(m)SWn(m+k)Nm=0n=0SWn(m+k)=；N，m=N-kN10,m丰Nk,0mN1n=0.DFTX(n)=Nx(Nk),k=0,1,2.N12-21如果X(k)=DFTx(n)，证明DFT的初值定理x(0)=SX(k)Nk=0证明：由IDFT定义式x(n)=丄艺

15、X(k)W-kn,n=0,1,2.N1NNk=0知x(0)=丄SX(k)Nk=02-22证明离散帕斯维尔定理。若X(k)二DFTx(n)，则艺|x(n)2=N幼X(k)2n=0k=0证明：N2X(k)|2=N艺k=0N点(k)X*(k)k=0Sx(n)WknIn=0N丿=x=込X(k)k=02X(k)WknNNn=0k=0=Sx*(n)x(n)=S|x(n)|2n=0n=02-23令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换。X(k)本身也是个N点序列。如果计算X(k)的离散傅里叶变换得一序列卩)，试用x(n)求卩)。解：按照题意，可以写成SN-1X(k)WknNk=0=x(n)Wk(n

16、+n)Nn=0k=0*WNk=0k(n+n)=N,O,n+n=N其他=艺艺x(n)WknWknNk=0n=0因为所以x(n)=SNx(-n+Nl)=Nx(-n)R(n)1NNn=02-24一个长度为8的有限时宽序列的8点离散傅里叶变换X(k)，如题2-24图所示。|(nsx-,n为偶数令y(n)=2)0,n为奇数题2-24图求y(n)的16点DFT，并画出其图形。解：按照题意，当n为奇数时y(n)为零，故可写出Y(k)=Sy(n)Wnk=S16m=0m=0,2,=Sx(l)Wik,0k158l=0nsWnk16TOC o 1-5 h z工x(l)Wik,0k7而X(k)=58l=00,其他Fo

17、115|工x(l)Wlk,0k7厶x(l)Wik,0k158工x(l)Wlk,8k158l=0X(k),0k7所以Y(k)=58l=00,其他X(k),0k7x(l)Wl(k-8),8k15IX(k8),8k158l=0X(k),0k7即Y(k)=X(k一8),8k150,其他所以Y(k)的图形如题2-26(a)图所示：0123456789101112131415题2-26(a)图225已知序列x(n)=48(n)+35(n一1)+28(n一2)+8(n一3)X(k)是x(n)的6点DFT。(1)若有限长序列y(n)的6点DFT是Y(k)=W4kX(k)，求y(n)。6(2)若有限长序列q(n

18、)的3点DFT满足，Q(k)=X(2k),k=0,1,2，求q(n)。解：(1)序列y(n)的DFT由x(n)的DFT与复指数W4k相乘组成，这相当于是将x(n)圆6周移位了4点：y(n)=x(n一4)，所以：6y(n)=48(n-4)+38(n-5)+28(n)+8(n-1)(2)序列q(n)长度为3,DFT变换为Q(k)=X(2k)，k=0,1,2，其中X(k)是x(n)的6点DFT。由于系数X(k)是对X在单位圆上等间隔采样6点的结果，所以Q(k)二X(2k),k=0,1,2,相当于是对X(z)在单位圆上等间隔采样3点，所以q(n)=艺x(n一3r)R(n)_3r=_g在0n84+1)5

19、5n-(42。n2(2-29x(n)和h(n)都是长度为6点的有限长序列，X(k)和H(k)分别是x(n)和h(n)的8点DFT。若组成乘积Y(k)=X(k)H(k)，对Y(k)作8点IDFT得到序列y(n)，问y(n)在哪些点上等于以下线性卷积：z(n)=艺x(k)h(nk)k=一8解：x(n)和h(n)都是长度为6点，则z(n)=x(n)*h(n)的长度为11点，而y(n)为x(n)与h(n)的8点循环卷积。根据线性卷积与循环卷积的关系，8点的循环卷积中，前3个点将由线性卷积的叠加，而后5个点等于线性卷积。2-30序列x(n)=8(n)428(n2)48(n3)(1)求x(n)的4点DFT

20、;若y(n)是x(n)与它本身的4点循环卷积，求y(n)及其4点DFTY(k)；h(n)=5(n)+8(n一1)+28(n一3)，求x(n)与h(n)的4点循环卷积。解:由题可知：x(n)=,0,2,1(1)X(k)=x(n)e-j274knn=0=1+2e-j7k+e-j雪=1+2(-1)k+e-j雪3+(-1)2当k=0,2,4,=-1-(-1)号j当k=1,3,5,-1+(1)-罗j当k=-1,-3,-5,(2)y(n)=x(n)x(n)10211120y(0)=51040取和10210112y(1)=40022取和10212011y(2)=52021取和10211201y(3)=210

21、01得到取和即y(n)=5,4,5,2Y(k)=y(n)e-j平n=07k、T)=5+4e-j于+5e-j7k+2e-j码=5+5(-1)k+2e-巧+4(-1)kcos(10+6(-1)2当k=0,2,4,=-2j(-1)z当k=1,3,5,22j(-1)于当k=-1,-3,-5,3）由题知h(n)=1，1,0,2数字信号处理学习拓展52 z(n)=x(n)h(n)102112011001102111201040z(0)=2取和z(1)=5取和01120022102120112021z(2)=4取和z(3)=51021取和2-31序歹Ux(n)为z(n)=2,5,4,5x(n)28(n)+8

22、(n1)+8(n3)计算x(n)的5点DFT，然后对得到的序列求平方:Y(k)X2(k)求Y(k)的5点DFT反变换y(n)。解:序列y(n)的5点DFT等于乘积Y(k)X(k)X(k),所以y(n)是x(n)与本身5点圆周卷积的结果:y(n)4工x(k)x(n一k)R(n)k05一个简单的计算圆周卷积的方法是先进行线性卷积y(n)x(n)*x(n)，然后将结果y(n)叠加:工y(n5k)R(n)kgx(n)与本身的线性卷积的结果为数字信号处理学习拓展2 y(n)=4,4丄4,2,0,1用表格法计算圆周卷积，就会得到题2-31表y(n)=48(n)+55(n-1)+8(n-2)+48(n-3)

23、+28(n-4)232考虑两个序列：x(n)=48(n)+38(n-1)+38(n-2)+28(n-3)h(n)=8(n)+8(n一1)+8(n一2)+8(n一3)若组成Y(k)=X(k)H(k)，其中X(k)、H(k)分别是x(n)和h(n)的5点DFT，对Y(k)作DFT反变换得到序列y(n)，求序列y(n)。解：因为Y(k)是两个5点DFTX(k)和H(k)的乘积，所以y(n)是x(n)和h(n)的5点圆周卷积。可以用图解法计算圆周卷积y(n)，也可以用先线性卷积再重叠的方法，还可以用先将DFT相乘再对乘积作DFT反变换的方法。本题中，h(n)是一个简单序列，我们可以用分析法。x(n)和

24、h(n)的5点圆周卷积是：y(n)=x(n)h(n)=h(k)x(n一k)，n=0,1,2,3,45k=0因为h(n)=1，n=0,1,2,3，且h(4)=0，5点圆周卷积是：y(n)=x(n)h(n)=工x(n一k)，n=0,1,2,3,45k=0圆周卷积等于圆周移位序列x(n-k)5的值从k=0到k=3求和的结果，因为x(n)是x(n)=11,3,3,2,0(x(n)可以看作是长度为5的序列)x(n-k)可以通过反向读取序列得到，从5n=0开始：x(n)=11,0,2,3,35y(0)是x(n)的前5个值相加的结果，得到y(0)=6。将此序列圆周右移1后,5就有x(1n)=b,1,0,2,

25、35前4个值相加后得到y(1)=6。继续求解，求得：y(2)=7,y(3)=9,y(4)=8。2-33两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0,n8；y(n)=0,n20。对每个序列作20点DFT，得X(k)和Y(k)，如果F(k)=X(k)-Y(k),k=0,1,19。f(n)=IDFTF(k),n=0,1,19。试问在哪些点上f(n)=x(n)*y(n)?为什么？解:设f(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=DFTFk()=x(n)(n)，f(n)的长度为27,f(n)的长度为20，且f(n)=f(n+20m)-R(n)l20m=g当上述周期延拓序列中无混叠的点上有：f(

26、n)=f(l)=x(n)*y(n)，7n19l2-34两个有限长序列x(n)和x(n)，在区间10,99以外的值为0,两个序列圆周卷积后12得到的新序列y(n)为y(n)=x(n)x(n)12其中N=100。若x(n)仅在10n39时有非零值，确定n为哪些值时，y(n)一1定等于x(n)和x(n)的线性卷积？12解：由于y(n)=艺x(k)x(n-k),y(n)等于x(n)和x(n)的线性卷积的点n是在2110012k=0区间b,99内，圆周移位x(nk)等于线性移位x(nk)的那些点。由于x(n)110011仅仅在区间110,39内有非零值，我们可以看到杂区间9,99内x(nk)=1100X

27、i(n-k)。所以当39-n-99时线性卷积与圆周卷积相等。235求证循环卷积定理。设有限长序列xi(n)和x2(n)的长度分别为叭和竹，取N=maxNi,N2,且Xi(k)和X2(k)分别是两个序列的N点DFT。若X(k)=X(k)-X(k)，求证x(n)=IDFTX(K)=x(n)x(n)；12121若x(n)=x(n)-x(n)，求证:X(k)=DFTx(n)=X(k)X(k)。12N12证明：(1)N点DFT等于X(k)二Xi(k)X2(k)的序列为:x(n)=艺X(k)X(k)W-nk,n=0,1,N-1N12Nk=0需要用x(n)和x(n)来表示x(n)，由于X(k)=Sx(l)W

28、lk，将X(k)代入到1N1l=0 x(n)的表达式中，有：x(n)=艺X(k)艺x(n)WikWnk，n=0,1,N1N21NNk=0l=0交换求和顺序，则x(n)=n)丄艺X(k)Wk(nl)，n=0,1,N11N2Nl=0k=0括号内的项等于x(nl)，有2Nx(n)=艺x(n)x(nl)，n=0,1,N112Nl=0乙x(k)x(nk)R(n)=x(n)x(n)12N12k=0(2)由定义X(K)=艺x(n)x(n)Wk,K二0,1,N-1。若想用X(K)和X(K)2N12N=0来表示X(K)，将下面x(n)=艺X(/)W-rn的表达式代入上式得：N2Nl=0X(K)=艺x(n)Wnk

29、艺X(L)W-n，K=0,1,N-1TOC o 1-5 h zN1N2NN=0l=0交换求和顺序，上式变成：X(k)=艺X(/)艺x(n)Wn(k-/)N21Nl=0n=0第二个求和就是X(k-l)，有：1NX(k)=1艺X(/)X(k-/)R(k)N21NNl=0所以，X(k)是X1(k)和X2(k)圆周卷积的1N倍：1X(k)=X(k)X(k)TOC o 1-5 h zN12问题得证。2-36若x1(n)和x2(n)都是长为N点的序列，X1(k)和人分别是两个序列的N点DFT。证明：艺x(n)x*(n)=艺X(k)X*(k)12N12n=0k=0证明：令X(k)和X(k)分别是x(n)和x

30、(n)的N点DFT,X(k)是x(n)=x(n)x*(n)的121212N点DFT,则x*(n)的DFT是X*(N-k),k=0,1,N-1,22X(0)=Sx(n)=Sx(n)x*(n)12n=0n=0由性质有X(k)=丄SX(/)X*(N-(k-/),k=0,1,N-1N12Nl=0让k=0计算X(k)，就可以得到结论：x(n)x*(n)=12N12N12n=0l=0k=02-37已知实序列x(n)的8点DFT前5个值为0.25,0.125-j0.3,0,0.125-j0.05,0.求X(k)其余三点的值。解：x(n)为实序列，满足共轭对称性，X*(N-K)=X(k)得其余三点：0.125

31、+j0.05,00.125+j0.32-38已知x(n)、y(n)是长度为4的实序列，f(n)=x(n)+jy(n),F(k)=DFTf(n)=1,1+4j,1-4j,1,求序列x(n)，y(n)。解:由F(k)=1,1+4j，1-4j,1,得：F(N-k)=1,1,1-4j,1+4j,F*(N-k)=1,1,1+4j,1-4j所以X(k)=DFTx(n)=F(k)=-F(k)+F*(N-k)=1,1+2j,1,1-2jep2jY(k)=DFTjy(n)=F(k)=-F(k)-F*(N-k)=0,2j,-4j,2jop2Y(k)=1F(k)=0,2,-4,2jop由上知X(k)=1,1+2j,

32、1,1-2j1占.2兀x(n)=X(k)e-丿44k=0 x(0)=4141+j2+(+1-)2knej0+(1+2j)ej2n+ej：2n+(1-2j)ejn=1x(1)=-11+(1+2j)j-1+(1-2j)(-j)=-14x(2)=+(1+2j)(-1)+1+(1-2j)(-1)=04x(3)=f11+(1+2j)(-j)+(-1)+(1-2j)j=14Y(k)=0,-2,4,2y(n)=42兀2rt22ej4n-4ej42n+2ej43ny(0)二42一4+01.2”.3”y(1)=一2ej44ej”+2ej21y(2)=厶2ej“一4ej2兀+2ej3“=12-4-2=24y(3)

33、=12e丿2一4ej3”+2e综上可得：x(n)=1,一1,0,1,239已知序列x(n)=48(n)+35(n一1)+28(n一2)+8(n一3)X(k)是x(n)的6点DFT,若有限长序列(n)的6点DFT等于X(k)的实部，即W(k)=Rex(k)，求(n)。解：X(k)的实部是Rex(k)=2X(k)+X*(k打，为了计算Rex(k)的DFT反变换,我们需要计算X*(k)的DFT反变换。由于X*(k)=込x(n)WnkNn=0*=込x*(n)w一nkWnkNNn=0=x*(n)W(n-n)k=Ex*(N一n)NNn=0n=0X*(k)是x*(Nn)的DFT，所以ReX(k)的DFT反变

34、换是:N1w(n)二一x(n)+x*(N一n)2NN=6，所以w(n)为:33w(n)=4,-,1,1,1,-厶厶2-40如何用一个N点DFT变换计算两个实序列x(n)和x(n)的N点DFT变换？12解：两个实序列的DFT可以由一个N点DFT求得：首先，我们组成一个N点复序列x(n)=x(n)+jx(n)12计算x(n)的N点DFT后，利用DFT的共轭对称性质从X(k)中提取出X(k)和1X(k)。实序列的DFT有共轭对称性：2X(k)=X*(N-k)N虚序列的DFT有共轭反对称性：X(k)=-X*(Nk)N由于X(k)二X(k)+X(k)12X(k)是实序列的DFT:1X(k)二2X(k)+

35、X*(Nk)人这是X(k)的共轭对称部分。同样，X(k)是虚序列的DFT：2X(k)二2X(k)X*(Nk)N这是X(k)的共轭反对称性。2-41一个有限长序列x(n)，设其Z变换是X(z)。如果在z-expkk0,1,2,3点上对X(z)采样，就得到一组DFT系数X(k)。求4点DFT等于这些采样值的序列y(n)。解:对X(z)在单位圆上等间隔采样4点将造成x(n)的混叠:y(n)乙x(n4k)k-gR(n)4利用表格法计算上式中的求和，注意只有序列x(n)和x(n+4)在0n3时有非零值，所以有题2-41表n01234567x(n)11111100 x(n+4)11000000y(n)22

36、11一一一一y(n)28(n)+28(n1)+8(n2)+8(n3)并根据流图计算每个碟形运算的结果，最后写出X(k)二DFTx(n)的序列值。解：2FFT流图如题2-42图所示:X(0)X(1)X(2)X(3)44x(0)-Wox(2)二-4j42-Wox4=-24x(1)+Wox(3)二44-4j+W1x2=-6j4x(1)-Wox(3)二24-4j-W1x2=-2j4X(k)=6,-6j,-2,-2jk二0,1,2,32-42设x(n)二V2j,3,1+2j,1),试画出时域基2FFT流图,2-43已知序列x(n)=0,1,0,1,1,1,0,0,用FFT蝶形运算方法计算其8点的DFT。

37、画出计算流图，标出各节点数值。解：X(0)二x(0)+W0 x(4)二138X(1)二x(0)-W0 x(4)=-138X(0)二x(2)+W0 x(6)二048X(1)二x(2)-W0 x(6)二048X(0)二x(1)+W0 x(5)二258X(1)二x(1)-W0 x(5)二058X(0)二x(3)+W0 x(7)二168X(1)二x(3)-W0 x(7)二168NN用玄点DFT计算点的DFTX(0)二X(0)+W0X(0)二11384X(1)二X(1)+W2X(1)=-11384X(2)二X(0)-W0X(1)二11384X(3)二X(1)-W2X(1)=-11384X(0)二X(0)

38、+W0X(0)二32586X(1)二X(1)+W2X(1)二一j2586X(2)二X(0)-W0X(0)=-12586X(3)=X(1)-W2X(1)=j2586计算8点的DFTX(0)二X(0)+W0X(0)二4182X(1)=X(1)+W1X(1)=-1-屋18222X(2)二X(2)+W2X(2)二1-j182X(3)=X(3)+W3X(3)=1182X(4)二X(4)-W0X(4)二-2182X=X-W1X=1-三+jg18222X(6)二X(5)-W1X(6)二1+j182X(7)=X(7)W3X(7)=182所以其计算流图如题2-43图所示：工(0)工A：工工工W)FFT蝶形运算流

39、图题2-43图2-44设序列x(n)的长度为200,对其用时域基2FFT来计算DFT，请写出第三级蝶形中不同的旋转因子。解:由于序列x(n)的长度为200，所以取N=256=28=2m，得M-8。又因为L=3,P二Jx2m-l=Jx28-3二32J,J二0,1,2l-1-1=0,1,2,3第3级蝶形运算中不同的旋转因子为：W0，W32，W64，W962562562562562-45如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5卩s，每次复数加需要1卩s，用来计算N二1024点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最

40、高频率。解：当N二1024二210时，直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2二10242次直接计算1024点DFT需要时间TD为T二5x10-6x10242+1047552x10-6二6.290432sD用FFT计算1024点DFT所需计算时间为NT二5x10-6xlogN+NlogNx10-6F2221024二5x10-6xx10+1024x10 x10-62=35.84ms快速卷积时，要计算一次N点FFT(考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好存入内存),一次N点IFFT和N次频域复数乘法。所以，计算1024点快速卷积的计算时间约为T二2T+1024cF=71680ps+5x1024ps=

41、76800ps1024所以，每秒钟处理的采样点数(即采样速率)f=13333.3次/秒。s76800 x10-6由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为f13333.3fs=6666.7Hzmax22应当说明，实际实现时，fmax还要小一些。这是由于实际采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。重叠部分长度与h(n)长度有关，而且还有存取数据指令周期等。246序列x(n)长240点，h(n)长10点。当采用直接计算法和快速卷积法(用基2FFT)求它们的线性卷积y(n)二x(n)*h(n)时，各需要多少次乘法?解：(1)已知N=240,N=10,直接线性卷积复乘的次数

42、为12NxN=240 x10=2400(次)12(2)因为N+N1=240+101=249,取N=256。快速卷积中复乘的次数:12Nx(n)X(k),h(n)H(k)，需2xlogN次复乘；22Y(k)=X(k)H(k)，需N次复乘；y(n)=IFFTy(k)，需NlogN次复乘；22总的复乘的次数为：N3x一logN+N=3x128x8+256=3328(次)222-47设有限长序列x(n)的DFT为X(k)，我们可使用FFT来完成该运算.现假设已知X(k)，k=0,1,N1,如何利用FFT求原序列x(n)=IDFTX(k)。解：x(n)=七X(k)W-kn，n=0,1,N1Nk=0 x(

43、n)=丄亍X*(k)Wkn,n二0,1,N-1Nk=0因此，利用FFT求x(n)的步骤为：对X(k)求共轭对X(k)*进行FFT变换1对变换后的序列取共轭，并乘以即得到x(n)。N2-48已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT，若要从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)，为提高运算效率，试设计用一次N点IFFT来完成。解：/x(n),y(n)为实序列。X(k),Y(k)为共轭对称序列，jY(k)为共轭反对称序列。将X(k)，jY(k)作为序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量F(k)=X(k)+jY(k)=F(k)+F(k)epop计算一次N点IFFT得到f(n

44、)=IFFTf(k)=Ref(n)+jImf(n)由DFT的共轭对称性11x(n)=Ref(n)=f(n)+f*(n)，y(n)=Imf(n)=f(n)f*(n)22j2-49设x(n)是长度为2N的有限长实序列，X(k)为x(n)的2N点DFT。(1)试设计用一次N点DFT完成计算X(k)的高效算法。(2)若已知X(k)，试设计用一次N点IDFT实现求x(n)的2N点IDFT运算。解：本题的解题思路就是DIF-FFT思想(1)在时域分别抽取偶数点和奇数点x(n)得到两个N点实序列x(n)和x(n)12x(n)=x(2n),n=0,1，,N11x(n)=x(2n+1),n=0,1，N12根据D

45、IT-FFT思想，只要求得x(n)和x(n)的N点DFT,再经过简单的一级碟形运12算就可以得到x(n)的2N点DFT。又Tx(n),x(n)为实，所以根据DFT的共轭对12称性，可用一次N点DFT求得X(k)和X(k)，方法如下：12令y(n)二x(n)+jx(n)12Y(k)二DFTy(n),k二0,1,N-14则X(k)二DFTx(n)=Y(k)二11ep2jX(k)二DFTjx(n)221-Y(k)-2op22N点DFTx(n)二X(k)可由X(k)、X(k)得到12X(k)二X(k)+WkX(k)12N2X(k+N)二X(k)WkX(k)12N2这样通过一次N点DFT计算完成2N点D

46、FTk二0,1,N12)x(n)=x(2n),1x(n)=x(2n+1),X(k)=DFTL(n),X(k)=DFTL(n),22k=0,l,N1,n=0丄,N1|X(k)=X(k)+WkX(k),则L+M-1。i由题设，N=128，L=60，x(n)必须分成长度为M的序列：M=N-L+1=69x(n)的长度为3600点，所以共有44个序列(其中最后一个序列仅有33个非零值)为了计算卷积共需要：1一个DFT用于计算H(k)。44个DFT用于X(k)的计算。i44个用于Y(k)=X(k)H(k)IDFT变换的计算。ii一共需要45个DFT变换和44个IDFT变换。2-51已知信号x(t)=e-i

47、ocos(10t)+cos(12t)u(t)，用DFT分析信号的频谱。解：利用MATLAB分析信号的频谱画出频谱图如题2-51图所示：N1=128;N2=512;ws=100;w1=10;w2=12;fs=ws/(2*pi);n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;xn1=exp(-n1/10).*(cos(w1/ws*n1)+cos(w2/ws*n1);%128点有效x(n)数据%在128点有效数据不补零情况下的分辨率演示xk11=fft(xn1,N1);mxk11=abs(xk11(1:N1/2);figure(1);subplot(211);plot(n1,xn1);xlabel(n);title(x(n)0=n=127);axis(0,128,-3,3);k1=(0:N1/2-1)*fs/N1;subplot(212);plot(k1,mxk11);xlabel(频率单位rad/s);title(Xl(k)的幅度谱);%在128点有效数据且补零至512点情况下分辨率演示xn2=xnl,zeros(l,N2-Nl);xkl2=fft(xn2,N2);mxkl2=abs(xkl2(l:N2/2);figure(2);subp