数值分析第二版课后答案

1、数值分析第二版课后答案【篇一：数值分析简明教程第二版(王能超编著)课后习题答案 高等教育出版社】p.11，题1)用二分法求方程x?x?1?0在1,2内的近似根，要求误 差不3超过10-3.【解】由二分法的误差估计式|x*?xk|?2k?1?1000.两端取自然对数得k?b?a1?10?3，得到 k?1k?1223ln10?1?8.96，因此取k?9，即至少需ln2x2、(p11，题2)证明方程f(x)?e?10 x?2在区间0,1 内有唯一个 实根；使用1二分法求这一实根，要求误差不超过？10?2。2【解】由于f(x)?ex?10 x?2，则f(x)在区间0,1上连续，且 f(0)?e0?10

2、?0?2?1?0，f(1)?e1?10?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区 间0,1上至少有一个零点又f(x)?ex?10?0，即f(x)在区间0,1上是单调的，故f(x)在区间0,1内有唯一实根.b?a11由二分法的误差估计式|x*?xk|?k?1?k?1?10?2,得到2k?100.2222ln10?2?33219?66438，因此取k?7，即至少需二分两端取自然对数得 k?ln20.2误差（p12,题8）已知e=2.71828，试问其近似值x1?2.7, x2?2.71, x2=2.71, x3?2.718各有几位有效数字？并给出它们的相

3、对误差限。【解】有效数字： 1?10?1，所以x1?2.7有两位有效数字；21?1因为|e?x2|?000828?005?10,所以x2?2.71亦有两位有效数字; 21?3因为|e?x3|?0.00028?00005?10,所以x3?2.718有四位有效数 字；2因为 |e?x1|?001828?005? ?r1?r2?|e?x1|005?185%； x127|e?x2|005?185%； x2271|e?x3|00005 ?00184%。 x32718 ?r3?评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字. （p.12，题9）设x1?27

4、2, x2?2.71828, x3?0.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。【解】？1?0.005, ?r1? ?1 x1 ? 0005 ?184?10?3； 272? 0000005 ?184?10?6； 271828 ?2?0000005，?r2? ?2 x2? ?3?000005，?r3? ?3 x30.00005 ?6.96?10?4； 0.0718评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的 半个单位3.(p.12，题 10)已知 x1?142, x2?0.0184, x3?184?10?4 的绝对误差限均为0.5?10?2

5、，问它们各有几位有效数字？【解】由绝对误差限均为0.5?10?2知有效数字应从小数点后两位算起，故x1?1.42，有三位；x2?0.0184 有一位；而 x3?184?10?4?0.0184，也是有一 位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值 1、(p.54，习题1)求作f(x)?sinx在节点x0?0的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算p5(0.3367)和估计插值误差，最后将p5(0.5)有效数值与精确解进行比较。(x)?cosx； f(2)(x)?sinx； f(3)(x)?cosx； f(4)(x)?sinx； f(5)(x)?cosx； f(6)(x)?sinx，所以 f(2)(x0)f(

6、5)(x0)(1)2?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)?(x?x0)5 p5(x) 2!5!f(2)(0)2f(5)(0)5(1)?f(0)?f(0)x?x?x 2!5!11?x?x3?x53!5!|f(6)(?) |sin (?)|1(x?x0)6?(x?x0)6?x6，若 x?0.5，则 插值误差：r5(x)?6!6!6!0.336730.33675?0.3303742887，而 p5(0.3367)?0.3367?3!5!0.33676r5(0.3367)?2.02?10?6?0.5?10?5，精度到小数点后 5 位， 6!)?sin(0.3367)?0.33037419

7、1?相比故取 p5(0.3367)?0.33037，与精 确值f(03367【解】由f(x)?sinx,求得f较，在插值误差的精度内完全吻合！2、(p55，题 12)给定节点 x0?1,x1?1,x2?3,x3?4，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：(1)f(x)?4x?3x?2；(2)f(x)?x?2x433(1)f(4)(?)3【解】依题意，n?3,拉格朗日余项公式为r3(x)?(x?xi) 4!i?0f(4)(x)?0 f r3(x)?0(4)因为f(x)?4!，所以f(4)(?)r3(x)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4) 4!)的近3

8、、(p55，题13)依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(03367似值并估计误差。f(4)(?)3【解】依题意，n?3，拉格朗日余项公式为r3(x)?(x?xi) ?4!i?0(1)线性插值因为x?03367在节点x0和x1之间，先估计误差r1(x)?max(x?x0)(x1?x)f(?)sin(?) (x?x0)(x?x1)?(x?x0)(x1?x)? 2!220.0121?104；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。220)(x-x1) p1(x) ?p1(x) ? 01xx?x0 x?x11?(x?x0)sin(x1)?(x1?x)sin(x0)? sin(x0)

9、?sin(x1)?x0?x1x1?x0 x1?x01 ?(0.3367?0.32)sin(0.34)?(0.34?0.3367)sin(0.32)? 0.021 ?0.0167?sin(0.34)?0.0033?sin(0.32)? ? 0.02?0.3304(2)抛物线插值插值误差：?r2(x)f(?)?cos(?)(x?x0)(x?x1)(x?x2)?(x?x0)(x1?x)(x?x2) 3!6 max(x?x0)(x1?x)(x2?x)3?0.0131?10?6 662yy=(x-x0)(x-x1)(x-x2)抛物线插值公式为： 012x p2(x)?(x?x0)(x?x2)(x?x1)

10、(x?x0)(x?x1)(x?x2) sin(x0)?sin(x1)?sin(x2) (x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x1)(x2?x0) ?(x1?x)(x?x0)1?(x1?x)(x2?x)?sin(x)?(x?x)(x?x)sin(x)?sin(x)00212?220.022?p2(0.3367)10?5 ?3.8445?sin(0.32)?38.911?sin(0.34)?2.7555?sin(0.36)? ?0.02210?5?3.8445?sin(0.32)?38.911?sin(0.34)?2.7555?sin(0.36)? ?0.3303 743

11、9? ?20.02经四舍五入后得：p2(0.3367，与 sin(0.3367)?0.330374191?精确值相比)?0330374较，在插值误差范围内完全吻合！ 1.3分段插值与样条函数?x3?x21、(p.56，习题33)设分段多项式s(x)?3 22x?bx?cx?1?是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.【解】依题意，要求s(x)在x=1节点 0?x?11?x?2【篇二：数值分析习题与答案】已知x*的相对误差，故即下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有 效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式（122）（123 ）则得有5位有效数

12、字，其误差限有2位有效数字，有5位有效数字， 下列公式如何才比较准确？ （1）（2），相对误差限满足 而解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）4.近似数x*=00310,是3位有数数字。5.计算四个选项：取，利用:式计算误差最小。第二、三章 插值与函数逼近 习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln054的近似值并估计误差限解：仍 可使用n=1及n=2的lagrange插值或newton插值，并应用误差估 计（58）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用newton插值 误 差 限，因，故二次插值时，用0.5, 0.6, 0.7三点，作二次new

13、ton插值误 差限，故在-4*4上给出的等距节点函数表，若用二次，函数表的步长h插值法求的近似值，要使误差不超过应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得若，求和解：由均差与导数关系于是4.若的值，这里pWn+1.解：可知当而当p=n+1时于是得有互异，求，由均差对称性5.求证解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差 的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(514)当n=3时得newton均差插值多项式 n3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x

14、-0.3)由此可得 f(0.23) n3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于给定f(x)=cosx的函数表【篇三：数值分析第2章习题】s=txt1、已知方程x3?2x?5?0在区间？2, 3?存在唯一正根，若用 二分法计算，至少迭1代(c)次可以保证误差不超过？10?3。(二分法二分次数)2a 5； b 7； c 10； d 122、用一般迭代法求方程f?x?0的根，将方程表示为同解方程 x?x?，则f?x?0的根是(c)(不动点迭代法根的几何意义) a.y?x与y?x?的交点b.y?x与x轴交点的横坐标 c.y?x与y?x?交点的横坐标d.y?x?与 x轴交点的横坐标

15、 x3、分别改写方程2?x?4?0为x?2x?4和x?ln(4?x)/ln2的形式， 对两者相应迭代公式求所给方程在1,2内的实根，下列描述正确的 是(:b)(迭代的收敛性)a.前者收敛，后者发散b.前者发散，后者收敛 c.两者均收敛发散d.两者均发散分析：，?x?14、解非线性方程f(x)?0的牛顿迭代法的收敛阶为(d)。(收敛 阶数)a线性收敛；b局部线性收敛；c平方收敛；d局部平方收敛。 二、填空题(每小题5分，共计20分)1、非线性方程f(x)?0的迭代函数x? ?(x)在有解区间满足迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。(迭代函数)答案：？?(x)?12、在非线性方程f(x)=0使用

16、各种切线法迭代求解时，若在迭代区 间存在唯一解，且*)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据 为。(切线法)答案：f(x0)f?(x0)?03、求方程x?f?x?根的牛顿迭代公式是。(牛顿迭代公式)答案： xn?1?xn?xn?f?xn? 1?f,xn4、割线法迭代公式是(割线法迭代) xk?1?xk?答案：f?xk?xk?xk?1?fxk?fxk?1三、解答题(每题12分，共计60分)1、用牛顿法求f(x)?x?cosx?0的近似解。(牛顿迭代法)解：由零点定理，x?cosx?0在(0,)内有根。2由牛顿迭代公式xn?1?xn?xn?cosxn1?sinxnn?0,1?取 x0?x1?0.

17、73936133;x2?0.739085178?得，4x3?0.739085133x4?0.739085133故取 x*?x4?0.7390851332、 用割线法求解方程x-sin x-0.5=0在1.5附近的一个根。(割线 法求根)解：割线法迭代公式为：xk?1?xk?取初始值x0=1.4, x1=1.6迭代计算，得到： x2?16?xk?sinxk?05(xk?xk?1)(xk?xk?1)?(sinxk?sinxk?1) 16?sin16?05?(16?14)(16?14)?(sin16?sin14)1.1?0.9995736?0.2=1.4919426 02?(09995736?098

18、54497)?16? x3=1.49702, x4=1.497303、设a为常数，建立计算a的牛顿迭代公式，并求的近似值，要求 计算结果保留小数点后5位。(牛顿法)解：令p(x)=x2-a，则p(x)=0的解即为a。其牛顿迭代公式为：2f(xn)xn?a1axn?1?xn?xn?(xn?) f?(xn)2xn2xn取 a=115，xn+1= ?(xn+ 115/xn)f(x)=20 取 x0=11x1=?(11+115/11)=10.72727x2=?(10.72727+115/10.72727)= 10.72381 x2=?(10.72381+115/10.72381)= 10.723814、已知函数，?2,3?试分析以下两种迭代公式是否可取。f(x