浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值

1、 浅谈菲波波纳契数数列的内内涵和应应用价值值99数学学本四班班 莫少勇勇 指指导教师师 孙丽英英摘 要要 本文文从菲波波那契数数列出发发，通过过探究其其数学内内涵和它它在实际际生活中中的应用用，提高高学生对对数学的的欣赏能能力，初初步建立立数学建建模的思思想，从从而提高高用数学学知识分分析实际际问题的的能力。 关键词 Fibbonaaccii数列 黄金数数 优选选法数学美不不仅有形形式的和和谐美，而且有有内容的的严谨美美；不仅仅有语言言的简明明、精巧巧美，而而且有公公式、定定理的结结构整体体美；不不仅有逻逻辑、抽抽象美，而且有有创造应应用美。古希腊腊的毕达达哥拉斯斯学派，首先从从数的比比例中求

2、求出美的的形式，发现了了黄金数数。神奇奇的菲波波纳契数数列正是是黄金数数之后的的一大发发现，它它又被誉誉为“黄金数数列”。Fiboonaccci数数列的由由来Fiboonaccci数数列的提提出，当当时是和和兔子的的繁殖问问题有关关的，它它是一个个很重要要的数学学模型。这个问问题是：有小兔兔一对，若第二二个月它它们成年年，第三三个月生生下小兔兔一对，以后每每月生产产一对小小兔，而而所生小小兔亦在在第二个个月成年年，第三三个月生生产另一一对小兔兔，以后后亦每月月生产小小兔一对对，假定定每产一一对小兔兔必为一一雌一雄雄，且均均无死亡亡，试问问一年后后共有小小兔几对对？对于n=1，22，令FFn表示

3、第第n个月月开始时时兔子的的总对数数，Bnn、An分别是是未成年年和成年年的兔子子（简称称小兔和和大兔）的对数数,则FFn= AAn+Bn根据题设设，有月份n123456An112358Bn111235Fn11235813显然，FF1=1，F2=1，而且从从第三个个月开始始，每月月的兔子子总数恰恰好等于于它前面面两个月月的兔子子总数之之和，于于是按此此规律我我们得到到一个带带有初值值的递推推关系式式：若我们规规定F00=1，则上式式可变为为这就是FFiboonaccci数数列的通通常定义义，也就就是数列列1，11，2，3，55，8，13，21，34，55，89，这这串数列列的特点点是：其其中任

4、一一个数都都是前两两数之和和。这个兔子子问题是是意大利利数学家家梁拿多多（Leeomaardoo）在他他所著的的算盘盘全集中提出出的，而而梁拿多多又名菲菲波纳契契（Fiibonnaccci），所以这这个数列列称作菲菲波纳契契数列，其中每每一项称称作Fiibonnaccci数。它的通项项是Fnn=()n+11-()n+11，由由法国数数学家比比内（BBineet）求求出的。二Fiibonnaccci数列列的内涵涵（1）FFiboonaccci数数列的通通项的证证明我们们可以通通过求解解常系数数线性齐齐次递推推关系或或者利用用生成函函数法来来实现。证法一： 菲波纳纳契数列列是一个个2阶的的线性齐齐

5、次递推推关系，它的递递推方程程是x22-x-1=00，特征根是是通解是是Fn=C1()n+C2()n代入初值值来确定定C1、C2，得方方程组解这个方方程组得得 C1=, C2=原递推推关系的的解是 Fn=()n+11-()n+11证法二：设Fn的的生成函函数为 F(xx) ，则有 F(x)=F0+F1x+FF2x2+FFnxn+x(F(x)-F0)= FF1x2+F2x3+Fn-11xn+x2F(x)= F0 x2+F1x3+把以上式式子的两两边由上上而下作作差得F(x)(1-x-xx2)+xx=F00+F1x+(F2-F1-F0)x2+(FF3-F2-F1)x3+=1+xx+0+0+F(xx

6、)=+由 解解得A=，B=F(xx)=-取x=1,kk=n，则Fnn=()n+11-()n+11（2）在在Fibbonaaccii数列中中，前后后两项的的比值是是以黄金金数0.6188为极限限的。记bn=，则有有b0=1 b11=b2=b3=b4=b5= bbn=在求数列列的极限限之前我我们首先先来证明明以下两两个命题题：（i）引引理：FFiboonaccci数数列的任任意相邻邻四项满满足 FFn-22Fn+11-FnFn-11=(-1)nn ， n3证明：根根据行列列式与线线性方程程组的关关系，方程组 的解是是 x=()n-()n=FFn-11y=()n+11-()n+11=FFnFn-1、

7、FFn满足原原方程组组，于是是有把以上方方程组的的两边对对应相乘乘，得=整理得， Fn-12+FnFn-11-Fn2=(-1)nn+1 (Fnn-Fn-1)(Fn+Fn+1)-FnFn-11=(-1)nn FFn-22Fn+11-FnFn-11=(-1)nn 证证毕。（ii）数列存存在极限限。证明：由由引理可可知，当当n=22k+11，Fkk-2FFk+11-FkFk-11=-110：当n=2k，Fk-2Fk+11-FkFk-11=10因此分别别有， 即数列递递增，数数列递减减。 显然然， 数列有界界。根据“单单调有界界数列必必有极限限”可知、存在极极限。设设=A, =B， 分别对bb2n=及

8、b2nn+1=两边取取极限有有A=, 与与B=即有与，则必必有A=BB0数列极极限的存存在性可可证。 于是由（ii）我们可可求。根据Fiibonnaccci数列列的通项项以及1得, =0.6618三Fiibonnaccci数列列的应用用价值科学家发发现无论论在数学学领域还还是在自自然界中中都有很很多有趣趣的现象象与Fiibonnaccci数列列有关，现在举举例如下下：杨辉三角角对角线线上各数数之和构构成Fiibonnaccci数列列，即Fn=多米诺牌牌（可以以看作一一个21大小小的方格格）完全全覆盖一一个n2的棋棋盘，覆覆盖的方方案数等于于Fibbonaaccii数。从蜜蜂的的繁殖来来看，雄雄

9、峰只有有母亲，没有父父亲，因因为蜂后后产的卵卵，受精精的孵化化为雌蜂，未受受精的孵孵化为雄雄峰。人人们在追追溯雄峰峰的祖先先时，发发现一只只雄峰的的第n代代祖先的的数目刚刚好就是是Fibbonaaccii数列的的第n项项Fn。 钢琴的113个半半音阶的的排列完完全与雄雄峰第六六代的排排列情况况类似，说明音音调也与与Fibbonaaccii数列有关关。自然界中中一些花花朵的花花瓣数目目符合于于Fibbonaaccii数列，也就是是说在大大多数情情况下，一朵花花瓣瓣的数目目都是33，5，8，113，221，334，。如果一根根树枝每每年长出出一根新新枝，而而长出的的新枝两两年以后后，每年年也长出出

10、一根新新枝，那么历年年的树枝枝数，也也构成一一个Fiibonnaccci数列列。 Fiboonaccci数数列的重重要价值值还在于于它能作作为一些些实际问问题的数数学模型型，从而而使复杂杂的实际际问题转转化到我我们熟悉悉的数学学问题的的解决上上。问题一：有一条条n级楼楼梯，如如果每步步只能跨跨上一级级或两级级，问欲欲登上去去，共有有几种走走法？分析：由由于登上上n级台台阶可以以从第nn-2直直接上来来，也可可以通过过第n-1级分分步上来来，这样样登上nn级台阶阶的走法法不仅与与登上nn-1级级走法有有关，且且也与登登上n-2级台台阶的走走法有关关，故这这里可以以考虑通通过二阶阶递推式式来进行行

11、求解。解：登上上第一级级只有一一种走法法，记aa1=1，登上第二二级，有有两种走走法，记记a2=2，如果要登登上第nn级，那那么可能能是第nn-1级级走上来来，也可可能是第第n-22级跨上上两级上上来的，故有 ann=an-1+aan-22显然这是是缺了FF0项的FFiboonaccci数数列，它它的通项项为 Fnn=()n+11-()n+11所以要登登上第nn级楼梯梯，共有有Fn种不同同的走法法。问题二：某一种种产品的的质量取取决于它它的温度度，这个个温度估估计在110000C15000C之之间，怎怎样试验验才能找找到最好好的温度度？ 有有人从110011C开始始做试验验，一直直做到1149

12、99C，共共做4999次试试验，找找到了最最好温度度，这叫叫均分法法。显然然这是一一种很笨笨的方法法。若我我们利用用Fibbonaaccii数列的的知识只只须做113次实实验就可可达到同同样的效效果。 这这里我们们利用FFiboonaccci数数列中的的极限，因为它它是无理理数不好好计算，所以取取它的三三位不足足近似值值0.6618来来代替它它。 我我们用一一张有刻刻度的纸纸条上写写上10000CC15000C，在15500CC的点记记为Fnn，第一一次试验验在纸条条总长的的0.6618处处即13309CC处取第第一个试试验点记记为Fnn-1，使得=0.6618 第第二次试试验,将将纸条对对折

13、，找找到与113099C（即即Fn-1）相相重合的的点，即即11991C点点记为FFn-22，显然然Fn-2=FFn-Fn-1，取取Fn-2作第第二个试试验点，比较FFn-11和Fn-2，如如果Fnn-2处处比Fnn-1处处好，就就将Fnn-1的的右边的的纸条剪剪去（反反之，剪剪去Fnn-2左左边的一一段）。 第第三次试试验，将将剩下的的纸条再再对折，在与111911C（FFn-22）重合合的点，即在111188C（FFn-33）点处处做，做做完后进进行比较较，如仍仍是11191CC处好，则剪去去11118C左左边的一一段（反反之，剪剪去11191CC右边的的一段）第四次试试验，将将11118

14、C13009C这这段纸条条再对折折，又可可找到与与11991C重重合的点点12336C(Fn-4)，在12236CC处做第第四次试试验。然后再比比较、剪剪裁，依依次做下下去，直直至达到到所要求求的精度度为止。试验中中依次所所取的试试验点就就构成了了一个FFiboonaccci数数列。为什么这这里只要要做133次试验验就可抵抵用均分分法做4499次次试验呢呢？我们们下面来来探讨这这种试验验方法的的原理。一方面，在试验验中我们们是通过过用折纸纸法也就就是来回回调试法法来缩短短试验的的范围，减少试试验次数数的。它它比均分分法优化化得多。例如，取Fiibonnaccci数列列的F55点为第第一个试试验

15、点，则用对对称来回回调试法法做5次次试验。相当于于均分法法做133次试验验。一般般地，取取Fm-1为第第一个试试验点，用对称称来回调调试法做做m-11次试验验。相当当于均分分法做FFm-11次试验验。m越越大，效效果越佳佳，由于于0.6188而=，因此此，从00.6118出发发做133次试验验相当于于均分法法做6000多次次试验，这就是是它的优优越性所所在。如如果我们们将区间间0，1均均分为nn+1份份，做nn次试验验，可以以知道最最优点在在长的区区间内，叫做精精度，记记为=。对折折纸法而而言，做做n次试试验最优优点在长长度为(0.6618)n-11的区间间内。题题中做4499次次试验，设试验

16、验区间长长度为11，则=由(0.6188)n-1= 解得得n13另一方面面，我们们在试验验中每次次剪去一一段后，最优点点是不会会丢掉的的，这是是试验有有效的前前提保证证。设每每个试验验点对应应的试验验结果是是试验点点的函数数，我们们假定它它满足以以下定义义：设ff(x)是区间间a,b上上的一个个函数，如有一一点m属属于aa,b使f(x11)ff(x22)ff(m)，当aax11x2m时时；f(m)f(x1)ff(x22)，当当mxx1x2b时时，则f(xx)叫做做区间a,bb上的的一个单单峰函数数，点mm叫做好好点，也也就是我我们要找找的最优优点。因此我们们在试验验中某段段区间a,bb上比比较两个个点Fmm和Fm-1时，如果ff(Fmm)ff(Fmm-1)，则可可丢区间间a,Fm；如如果f(Fm)ff(Fmm-1)，则可可丢区间间Fmm-1,b；如果ff(Fmm)=ff(Fmm-1)，则可可丢区间间a,Fm和Fm-1,bb。以上这种种试验方方法是今今天科学学领域上上所谓的的优选法法，它体体现了FFiboonaccci数数列在现现代最优优化理论论中重要要的应用用价值。总之，FFiboonaccci数数列的内内涵