附录平面图形的几何性质

1、附录 截面的几何性质A、IP、Sz、Iz、Iyz等均为与截面的几何形状和尺寸大小有关的几何量，称为截面的几何性质。本章将介绍这些几何性质的定义和计算方法。拉压：扭转：弯曲：-1 截面的静面矩和形心位置-2 惯性矩、惯性积和惯性半径-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩-3 平行移轴公式目 录一、截面的静面矩（静矩）特点：1、静面矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的 位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静面矩不同。2、静面矩的数值可正可负，也可以为零。3、静面矩的单位：m3或 mm3 定义：-1 截面的静面矩和形心位置截面对z轴的静面矩截面对y轴的静面矩zyOdAzy二、平面图形的形心

2、位置图示为均质等厚薄板，厚度为，面积为A，单位体积的重量为。设重心为C点，其坐标为yC、zC。 利用合力矩定理可求得重心的坐标公式为（a）（b）（a）（b）平面图形的形心坐标公式则：或(I-2a)(I-2b)(I-1)推论：即：z轴过形心 Sz=0 解：I、II两部分的面积及形心的y坐标分别为因为整个矩形截面对z轴的静面矩恒等于零，即例I-1求I、II两部分面积对z轴的静面矩SzI和SzII，并对其结果进行分析。例I-2求半径为R的半圆截面对直径轴z的静面矩Sz，并确定其形心坐标。解：取对称轴为y轴，则形心必位于y轴上。根据定义：三、组合截面的静面矩和形心位置组合截面对于某一轴的静面矩就等于该

3、截面的各组成部分对于同一轴的静面矩的代数和，即：其中：Ai， yCi， zCi 分别代表第i个简单图形的面积和形心坐标，n为组成此截面的简单图形的个数。(I-3)1.组合截面的静面矩2、组合截面的形心坐标公式其中：yC 、 zC为组合截面的形心坐标 Sz、Sy为组合截面对z、y轴的静面矩 A为组合截面的总面积,(I-4)1002014020求图示T形截面的形心位置例I-3解：把T形截面看做由、两个矩形截面组成。求图示截面对y、z轴的静面矩以及形心位置zyOR解法1：练习：ydy解法2：zyOr-2 惯性矩、惯性积和惯性半径一、惯性矩与惯性积惯性矩定义特点：（3）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位

4、为m4。（2）惯性矩恒为正值截面对z轴的惯性矩截面对y轴的惯性矩zyOdAzy（1）惯性矩不仅与截面的形状尺寸有关，还与所选坐标轴的位 置有关，同一截面对不同坐标轴惯性矩不同。惯性积定义特点:(1)其值可正、可负，可零。截面对y、z轴的惯性积zyOdAzy(2)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4 。(3)若截面有一个对称轴，则截面对包含此对称轴在内的正交坐标轴的惯性积必为零。（对称轴）其中iz、iy分别称为截面对z轴和y轴的惯性半径。工程中常把惯性矩表示为截面的面积与某一长度平方的乘积, 即或二、惯性半径（下册用到）惯性半径的常用单位为米（m）或毫米（mm）。截面对其所在平面内任一点的极惯

5、性矩Ip，等于该截面对过此点的一对正交坐标轴的惯性矩之和。三、极惯性矩定义zyOdAzyA（I-7）（I-7）式表明：求矩形截面对其对称轴z和y轴的惯性矩例I-4解：四、常用截面惯性矩公式求图示圆截面对其形心轴z、y的惯性矩例I-5解：方法一：方法二：（定义）同理，对于空心圆：例I-6 试计算图示三角形截面对平行于底边的形心轴z的惯性矩Iz解：得则-3 平行移轴公式C为形心，yC、zC为形心轴，O平行移轴公式证明:(第二式)坐标关系：(1)两对平行轴中必须有一对为形心轴。(2)在应用惯性积平行移轴公式时，注意a、b 的正负号。注意：O平行移轴公式反移轴公式例I-6求图示截面对形心轴y、z的惯性

6、矩。解：(1) 计算三部分对y、z 轴的惯性矩（2）计算截面的惯性矩IIIIII例 I-7 求图示半圆截面对平行于底边的z轴的惯性矩Iz。解：整个圆截面对z1轴的惯性矩为 ，则半圆对z1轴惯性矩为虽然z轴与z1轴平行，但它们都不是半圆截面的形心轴，故不能直接移轴，即4040a100a100例I- 8 求图示截面对形心轴z、y的惯性矩。解：(1) 计算半圆对z轴的惯性矩故4040a100a100(2) 计算Iz(3) 计算Iy例I- 9 求图示截面对水平z(过形心)轴的惯性矩。解：可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩减去里面的小矩形对z轴的惯性矩。形心坐标：利用平行移轴公式，可得外面的大矩形对z轴

7、的惯性矩为：同理可得里面的小矩形对z轴的惯性矩为：所以练习 求图示截面对水平形心轴z 的惯性矩。解：可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩减去里面的小矩形对z轴的惯性矩。形心坐标：外面的大矩形对Z轴的惯性矩为：利用平行移轴公式，可得里面的小矩形对z轴的惯性矩为：所以练习 求图示截面对水平形心轴zC的惯性矩。则：y100mm100mm100mm100mm-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩一、惯性矩和惯性积的转轴公式则截面对y1轴的惯性矩为已知：Iy 、 Iz 、 Iyz 求：Iy1 、 Iz1 、 Iy1z1坐标关系：带入上式，整理得（I-11a）（I-11b）（I-11c）（I-11a）（I-11

8、b）将（I-11a）和（I-11b）式相加，可得上式表明截面对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。二、截面的主惯性轴和主惯性矩当坐标轴转动90之后由此可知，在坐标轴转动的过程中，必然会有一对坐标轴的惯性积则y0、z0就称之为主惯性轴，简称主轴。截面对主轴的惯性矩称之为主惯性矩。主轴位置：（I-13）主惯性矩：（I-14a）（I-14b）此时 恒大于 ，这是由于（I-13）式中负号放在分子上所致。（I-11a）说明：主惯性矩为极值惯性矩由于截面对过同一点的任一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一常数，故上述主惯性矩 是截面对过该点的所有坐标轴的惯性

9、矩中之最大值，而 则为最小值。则y0、z0称为形心主惯性轴可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴三、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩若，且交点与截面的形心重合常见截面形心主轴的位置（简称形心主轴）(1)有两个对称轴的截面（形心）y、z即为形心主轴(2)有一个对称轴的截面y、z即为形心主轴(3)没有对称轴的截面，同样存在一对形心主轴。(书例I-10)(4)圆截面y、z、y1、z1均为形心主轴确定无对称轴截面形心主轴的步骤：确定截面的形心位置，选取一对形心轴为参考轴；求出截面对参考轴的惯性矩和惯性积；由（I-13）式解出 值，从而确定形心主轴 y0的位置。再利用（I-14a）和（

10、I-14b）式，即可求得截面的形心主惯性矩。例I- 10 试确定图示Z形截面的形心主轴的位置，并计算形心主惯性矩。9090102002020IIIIIIC解：(1) 确定截面的形心位置由于Z形截面有一对称中心C，故C点即为该截面的形心。选取通过形心C的水平轴z和竖直轴y为参考轴。9090102002020IIIIIIC(2)求截面对y、z轴惯性矩和惯性积矩形I矩形II9090102002020IIIIIIC矩形III整个截面对y、z轴的惯性矩和惯性积：故 y、z轴不是形心主轴因为tan20分子分母都为负，说明20应该在第三象限(3)确定形心主轴的位置由（I-13）式：9090102002020IIIIIIC(4)求形心主惯性矩证明：取y轴为对称轴，再取y2为对称轴，所以过形心的轴均为形心主轴例 I-11 证明图示正八边形截面的形心轴均为形心主轴，且截面对所有形心轴的惯性矩均相等。（C为形心）设y1、z1为任意形心轴(角 为任意值)则：则：把 带入，有 所以截面对所有形心轴的惯性矩均相等。以上证明中，并没有用到正八边形的个体性质。因此，可以推论，对任意正多边形截面，过形心的轴均为形心主轴，截面对所有形心轴的惯性矩均相等。bbb练习：1. 求图示四分之一圆形截面对y、z轴的惯性矩和惯性积