最新高中数学必修五教案

1、高中数学必修五教案【篇一：人教a版高中数学必修五全册教案】 2023年人教版数学必修五教案 姓 名： 沈金鹏 学 号： 134080303 院 、 系：数学学院 专 业: 数学与应用数学 2023年1月22日 人教a版高中数学必修五全册教案 111正弦定理 教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类根本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系， 引导学生通过观察，推导，比拟，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理根本应用的实践操作。 情感态度与价值

2、观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点 正弦定理的探索和证明及其根本应用。 教学难点 两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教学过程 一.课题导入 如图11-1，固定?abc的边cb及?b，使边ac绕着顶点c转动。 a 思考：?c的大小与它的对边ab的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边ab的长度随着其对角?c的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？c b 二.讲授新课 探索研究 abc?sina，?s

3、inb，又sinc?1?cccabc那么?csinsinsinc abc 从而在直角三角形abc中，? sinsinsin有 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？由学生讨论、分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图11-3，1当?abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根据任意角三角函数的定义， 有cd=asinb?bsina,那么同理可得从而 a sina ? b sinb ，c sinc? ? b sinb? ， ac b a sinb sinc sin2当?abc是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。由学生课后自己推导思考2：还有其方法吗？ 由于涉及边长问题

4、，从而可以考虑用向量来研究这问题。 ? 证法二：过点a作单位向量j?ac， 由向量的加法可得 ab?ac?cb ? ? 那么 j?ab?j?(ac?cb) ? j?ab?j?ac?j?cb ? jabcos?900?a?0?jcbcos?900?c? csina?asinc，即 ac ? ?bcabc 同理，过点c作j?bc，可得 从而 ? sinasinbsinc 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sina ? b sinb ? c sinc 理解定理 1正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即

5、存在正数k使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc； 2 a sina ? b sinb ? c sinc 等价于 a sina ? b sinb ， c sinc ? b sinb ， a sina ? c sinc 思考：正弦定理的根本作用是什么？ 三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a? bsina ； sinb 三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sina?sinb。 一般地，三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例题分析 例1在?abc中，a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， ?8

6、0.1(cm)； 根据正弦定理， b? ?74.1(cm). 根据正弦定理， c? sin32.00 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 练习：在?abc中，以下条件解三角形。 ? 1a?45，c?30，c?10cm， 2a?60，b?45，c?20cm 例2 在?abc中，a?20cm，b?28cm，a?400，解三角形角度精确到10，边长精确到1cm。解：根据正弦定理， bsina28sin400 sinb?0.8999.因为00b1800，所以b?640，或 b?116. 当 b?640 时， c?108?0a(?b ?)10?800?，(4?064 asinc20sin760

7、c?30(cm). sin400 当 b?1160 时，c?1 8?0a?(b ?) 1?8，0?(4?01 asinc20sin240c?13(cm). sin40应注意两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 课堂练习 第4页练习第2题。 思考题：在?abc中， a sina ? b sinb? ? c sinc? ?k(ko)，这个k与?abc有什么关系？ 三.课时小结由学生归纳总结 1定理的表示形式： a?b?c ?k?k?0?； sinasinbsincsina?sinb?sinc或a?ksina，b?ksinb，c?ksinc(k?0) a b c ? 2正弦定理的应用范

8、围： 两角和任一边，求其它两边及一角； 两边和其中一边对角，求另一边的对角。 四.课后作业：p10面1、2题。 1.2解三角形应用举例 第一课时 一、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 二、教学重点、难点 教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 三、教学设想 1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以

9、解决哪些类型的三角形？ 2、设置情境 请学生答复完后再提问：前面引言第一章“解三角形中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比方可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学

10、实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 3、 新课讲授 1解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的 条件和所求转换成三角形中的和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 (2)例1、如图，设a、b两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在a的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离是55m，?bac=51?，?acb=75?。求a、b两点的距离(精确到0.1m) 提问1：?abc中，根据的边和对应角，运用哪个定理比拟适当？ 提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生答复。 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，

11、题目条件告诉了边ab的对角，ac为边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个角算出ac的对角，应用正弦定理算出ab边。 解：根据正弦定理，得 ab=acsin?acbsin?abc sin?abc 55sin75? = 55sin75? 65.7(m) sin(180?51?75?)sin54? ab =acsin?acb=55sin?acb= sin?abc 答:a、b两点间的距离为65.7米 变式练习：两灯塔a、b与海洋观察站c的距离都等于a km,灯塔a在观察站c的北偏东30?，灯塔b在观察站c南偏东60?，那么a、b之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a km

12、 例2、如图，a、b两点都在河的对岸不可到达，设计一种测量a、b两点间距离的方法。 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定c、d两点。根据正弦定理中三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出ac和bc，再利用余弦定理可以计算出ab的距离。【篇二：人教版高中数学必修5教案】 数学5 第一章 解三角形 章节总体设计 一课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当到达以下学习目标： 1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理

13、，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 二编写意图与特色 1数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成局部，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角，“如果两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三

14、角形全等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书

15、成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和稳固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的根本关系，三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角

16、的问题。这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实根底上，形成良好的知识结构。 ?课程标准?和教科书把“解三角形这局部内容安排在数学五的第一局部内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这局部内容的处理有了比拟多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比方对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书那么用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比

17、拟中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理那么指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广. 3重视加强意识和数学实践能力 学数学的最终目的是应用数学，而如今比拟突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题

18、中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却方法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜测等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。 三教学内容及课时安排建议 1.1正弦定理和余弦定理约3课时 1.2应用举例约4课时 1.3实习作业约1课时 四评价建议 1要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得

19、到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理那么可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决方法，并对于不同的方法进行必要的分析和比拟。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。 2适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步稳固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于

20、实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。课题: 111正弦定理 教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类根本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比拟，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理根本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来表达事物之

21、间的普遍联系与辩证统一。 教学重点 正弦定理的探索和证明及其根本应用。 教学难点 两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教学过程 .课题导入 如图11-1，固定?abc的边cb及?b，使边ac绕着顶点c思考：?c的大小与它的对边ab的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边ab的长度随着其对角?c的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？.讲授新课 探索研究(图11-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在rt?abc中，设bc=a,ac=b,ab=c, 根据锐角三角函数 abc中正弦函数的定义，有?si

22、na，?sinb，又sic?n?1, ccc a abc那么?csinasinbsinc abc从而在直角三角形abc中，?sinasinbsinc (图11-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 由学生讨论、分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图11-3，当?abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根据任意角三角函 ab数的定义，有cd=asinb?bsina,那么，?sinsincb同理可得，?sinsinabc从而?sinasinbsinc (图11-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。证法

23、二：过点a作j?ac，由向量的加法可得 ab?ac?cb ?那么j?ab?j?(ac?cb) ?j?ab?j?ac?j?cb ? ?0jabcos?90?a?0?jcbcos?900?c? csina?asinc，即 同理，过点c作j?bc，可得 从而 a sin?ac ?bc ?b sin?c sin 类似可推出，当?abc是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。由学生课后自己推导 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 abc ?sinsinsin理解定理 1正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k

24、使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc； abcabcbac2等价于， ?sinsinsinsinsinsinsinsinasin从而知正弦定理的根本作用为： bsina三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?； sina三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sina?sinb。 一般地，三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例题分析 例1在?abc中，a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， c?1800?(a?b) ?1800?(32.00?81.80) ?66.20； 根据正弦定理， b?8

25、0.1(cm)； sin32.0根据正弦定理， c?74.1(cm). sin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2在?abc中，a?20cm，b?28cm，a?400，解三角形角度精确到10，边长精确到1cm。 解：根据正弦定理， bsina28sin400 sinb?0.8999. 因为00b1800，所以b?640，或b?1160. 当b?640时， c?1800?(a?b)?1800?(400?640)?760， asinc20sin760 c?30(cm). sin400 当b?1160时， c?1800?(a?b)?1800?(400?1160)?240， a

26、sinc20sin240 c?13(cm). sin400 评述：应注意两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 .课堂练习 第4页练习第11、21题。 补充练习?abc中，sina:sinb:sinc?1:2:3，求a:b:c 答案：1：2：3 .课时小结由学生归纳总结 abca?b?c1定理的表示形式：?k?k?0?； sinasinbsincsina?sinb?sinc 或a?ksina，b?ksinb，c?ksinc(k?0) 2正弦定理的应用范围： 两角和任一边，求其它两边及一角； 两边和其中一边对角，求另一边的对角。 .课后作业 第10页习题1.1a组第11、21题。 教

27、后记： 课题: 教学目标 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题。 过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点【篇三：高中数学必修五全套教案】 探索研究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在rt?abc中，设bc=a,ac=b,ab=

28、c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 abc ?sina，?sinb，又sinc?1?, ccc 那么 a sina ? b sinb ? c sinc ?c? 从而在直角三角形abc中， a sina b sinb ? c sinc (图11-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 由学生讨论、分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图11-3，当?abc是锐角三角形时，设边ab上的高是cd，根据任意角三角函数的定义，有cd=asinb?bsina,那么同理可得从而 a sina a sina ? b sinb ，c sinc? ? b sinb? ，c b

29、 sinb sinc ac b (图11-3) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sina ? b sinb ? c sinc 理解定理 1正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc； 2 a sina ? b sinb ? c sinc 等价于 a sina ? b sinb ， c sinc ? b sinb ， a sina ? c sinc 从而知正弦定理的根本作用为： 三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a? bsina ； sinb 三角形的任意两边与其中一边

30、的对角可以求其他角的正弦值，如sina? a sinb。 b 一般地，三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例题分析 例1在?abc中，a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， c?180?(a?b) ?180?(32.0?81.8) 000 ?66.2； 根据正弦定理，asinb42.9sin81.8b?80.1(cm)； 0 sinasin32.0 根据正弦定理， asinc42.9sin66.2c?74.1(cm). 0 sinasin32.0 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2在?abc中，a?20cm，

31、b?28cm，a?400，解三角形角度精确到10，边 长精确到1cm。 解：根据正弦定理， bsina28sin40 sinb?0.8999. a20 因为00b1800，所以b?640，或b?1160. 当b?640时， c?1800?(a?b)?1800?(400?640)?760， asinc20sin76c?30(cm). 0 sinasin40 当b?1160时， c?1800?(a?b)?1800?(400?1160)?240， asinc20sin24c?13(cm). 0 sinasin40 补充练习?abc中，sina:sinb:sinc?1:2:3，求a:b:c 答案：1：

32、2：3 2正弦定理的应用范围： 两角和任一边，求其它两边及一角； 两边和其中一边对角，求另一边的对角。 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因a、b均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。a 如图11-5，设cb?a，ca?b，ab?c，那么c?a?b，那么 c ?c?c?a?ba?b ? ?a?a?b?b?2a?b c ab ?2?2? ?a?2a?b 2 ? ? ? 从而 c2?a2?b2?2abcosc (图11-5) 同理可证 a2?b2?c2?2bccosa 222 b?a?c?2accosb 于是得到以下

33、定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosa222 b?a?c?2accosb 222 c?a?b?2abcosc 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 由学生推出从余弦定理，又可得到以下推论： b?c?a cosa? 2bca?c?b cosb? 2acb?a?c cosc? 2ba 2 2 2 2 2 2 2 2 2 理解定理 从而知余弦定理及其推论的根本作用为： 三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 三角形的三条边就可以求出其它角。

34、思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理那么指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 由学生总结假设?abc中，c=900，那么cosc?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析 例1在?abc中，a ?cb?600，求b及a 解：b2?a2?c2?2accosb =2?2?2?cos450=12?2?1) =8b? 求a可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b?c?a1 , 解法一：cosa? 2bc22 2 2 a?600. 例2在?abc中，a?134.6cm，b?87.8cm，c?1

35、61.7cm，解三角形 解：由余弦定理的推论得： b?c?a cosa? 2bc 2 2 2 87.8?161.7?134.6? 2?87.8?161.7?0.5543, 222 a?5620?； c?a?b cosb? 2ca 222 134.6?161.7?87.8 ? 2?134.6?161.7?0.8398, b?3253?； 222 0000 c?180?(a?b)?180?(5620?3253?) 补充练习在?abc中，假设a2?b2?c2?bc，求角a答案：a=1200 .课时小结 1余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2余弦定理的应用范围：三边求三角；两边及它们的夹角，求第三边。 随堂练习1 1在?abc中，a?80，b?100，?a?450