(五)曲线与方程、抛物线精选

1、(五)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线y24x的焦点F作抛物线的两条弦AB，CD，设直线AC与BD的交点为P，直线AC，BD分不与y轴交于M，N两点(1)求证：点P恒在抛物线的准线上；(2)求证：四边形PMFN是平行四边形证明(1)由题意知F(1,0)，不妨设A(a2,2a)，D(b2,2b)，a0，b0)及点M(2,0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB4.(1)求p的值；(2)假设l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1通过点C且垂直于y轴，直线l2通过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上(1)解因为l过M(2,0)，且当l垂直

2、于x轴时，AB4，因此 抛物线通过点(2,2)，代入抛物线方程，得42p2，解得p1.(2)证明设直线l的方程为yk(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立eq blcrc (avs4alco1(y22x，,ykx2)消去x，得ky22y4k0，y1,2eq f(2r(416k2),2k)，那么y1y2eq f(2,k)，y1y24.因为点C为AB中点，因此 yCeq f(y1y2,2)eq f(1,k)，那么直线l1的方程为yeq f(1,k).因为直线l2过点M且与l垂直，那么直线l2的方程为yeq f(1,k)(x2)联立eq blcrc (avs4alco1(yf(1,

3、k)，,yf(1,k)x2，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,yf(1,k)，)即Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,k)，因此 点P在定直线x1上3.如图，已经知道定点R(0，3)，动点P，Q分不在x轴和y轴上挪动，延长PQ至点M，使eq o(PQ,sup6()eq f(1,2)eq o(QM,sup6()，且eq o(PR,sup6()eq o(PM,sup6()0.(1)求动点M的轨迹C1；(2)圆C2：x2(y1)21，过点(0,1)的直线l依次交C1于A，D两点(从左到右)，交C2于B，C两点(从左到右)，求证：eq o(AB,sup6()eq

4、 o(CD,sup6()为定值(1)解方法一设M(x，y)，P(x1,0)，Q(0，y2)，那么由eq o(PR,sup6()eq o(PM,sup6()0，eq o(PQ,sup6()eq f(1,2)eq o(QM,sup6()及R(0，3)，得eq blcrc (avs4alco1(x1xx13y0，,x1f(1,2)x，,y2f(1,2)yf(1,2)y2，)化简得x24y.因此 动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线方法二设M(x，y)由eq o(PQ,sup6()eq f(1,2)eq o(QM,sup6()，得Peq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)，0)

5、，Qeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(y,3).因此 eq o(PR,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)，3)，eq o(PM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3x,2)，y).由eq o(PR,sup6()eq o(PM,sup6()0，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)，3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3x,2)，y)0，即eq f(3,4)x23y0，化简得x24y.因此 动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线(2)证明由题意，得eq o(AB,sup6()eq o(

6、CD,sup6()ABCD，C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，那么ABFAFBy111y1.同理CDy2.直线l的歪 率显然存在，设直线l的方程为ykx1，联立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,x24y，)得x24kx40，因此 x1,2eq f(4kr(16k216),2)，因此 x1x24k，x1x24，因此 eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()ABCDy1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211，因此 eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()为定值1.4.如图，已经

7、知道抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点(1)假设eq o(TA,sup6()eq o(TB,sup6()1，求直线l的歪 率；(2)求ATF的最大值解(1)因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，T(1,0)，当lx轴时，A(1,2)，B(1，2)，如今eq o(TA,sup6()eq o(TB,sup6()0，与eq o(TA,sup6()eq o(TB,sup6()1矛盾，因此 可设直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，x1,2eq f(2k24r(2k2424k4),2k2)，那么x1x2eq f(2k24,k2)，x1x21，故yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)16x1x216，y1y24.因为eq o(TA,sup6()eq o(TB,sup6()1，因此 (x11)(x21)y1y21，将代入并整理，得k24，因此 k2.(2)因为y10，因此 tanATFeq f