大学文科数学32 矩阵及其运算课件

1、2 矩阵及其运算 一、矩阵的概念二、矩阵的加法与数乘矩阵三、矩阵的乘法四、矩阵乘法的几何意义五、矩阵的逆六、nn 线性方程组的解文 科 数 学 引例1. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线，如图所示的是四城市间的航班图，如果从A到B有航班，则用带箭头的线连接A与B。 四城市间的航班图情况常用以下表格来表示一、矩阵的概念0010100101010110DCBADCBA 到站 发站1表示有航班，0表示没有航班文 科 数 学0010100101010110DCBADCBA 到站 发站该表可用如下简单的矩形阵列（表）表示文 科 数 学 引例2. 假设某班前四号学生，期中考试四门课程的考

2、试成绩如下表768081909088819292788610078898091VB物理数学英语4321 上述两例说明：一组数据可按它们的所属种类，用矩形阵列（表）简明的表示出来，这种矩形阵列就称为矩阵。文 科 数 学 由 mn 个数 aij (i=1,m; j=1, ,n) 排成的 m 行 n 列的矩形阵列（表）简记为 定义1称为 m 行 n 列矩阵或 mn 矩阵，其中 aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素。文 科 数 学 几种特殊矩阵 .行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵（Square Matrix）， aii (i=1, n) 称为主对角元素； .只有一行的矩阵(a

3、1, a2,an)称为行矩阵（Row Matrix）或 n 维行向量； 只有一列的矩阵文 科 数 学 如果将一个矩阵的每一列看成一个列向量，则一个 mn 矩阵可认为是由有顺序的 n 个 m 维列向量所组成。 几种特殊矩阵 只有一列的矩阵称为列矩阵（Column Matrix）或 n 维列向量，它也可记为文 科 数 学 几种特殊矩阵 .元素全为零的矩阵称为零矩阵，mn 零矩阵记为 Omn 或 O。 .对于矩阵 A(aij)，将 A 中各元素都变号得到的矩阵称为负矩阵，记为A，即文 科 数 学 下图标出了a, b 两省各三个城市、c 省两个城市彼此之间的通路。由该图提供的信息，在 a 省和b 省之

4、间，城市直接通路情况可用下列矩阵（通路矩阵）表示： 练习其中数字1和0表示相应城市间的直接通路数。写出 b省与 c 省、a 省与 c 省的通路矩阵。文 科 数 学二、矩阵的加法和数乘矩阵 矩阵之所以有用，不仅仅在于将一组数排成矩阵表本身，而主要在于我们可以对矩阵施行一些有实际意义的运算，从而使矩阵这个工具发挥更大的作用。矩阵相等 对于矩阵 A 和 B，当其行数、列数都相同，且所有对应位置上的元素都相等时，称矩阵 A 与 B 是相等的，记作AB文 科 数 学例如则 A 为2. 数乘运算 用数乘 mn 矩阵 A(aij) 的每个元素所得的 mn 矩阵，称为与矩阵 A 的数量乘积（数乘运算），记作A

5、(aij) 定义3文 科 数 学 由于矩阵的数乘最终归结为数的乘法，因此，利用数的加法、乘法适合的运算律，易知数乘矩阵满足以下运算律（,为常数） 矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算。文 科 数 学 假设某班前两号学生，期中考试与期末考试三门课程的考试成绩，可分别表示为如下成绩矩阵 例习若期中和期末成绩，分别占总评成绩的40和60，试用矩阵的运算，计算该两名学生每门课程的总评成绩。文 科 数 学 引例：某公司经营甲、乙两家服装厂，每个厂生产衬衣和外衣。已知各厂用一卷布能生产出的衬衣和外衣的数量如下表：甲乙衬衣2030外衣1510设 x1, x2 分别表示甲、乙两厂所用的布卷数，求两个厂生产

6、的衬衣和外衣的总量表。解：由题意，两厂生产的衬衣、外衣总量表为生产总量衬衣20 x1+30 x2外衣15x1+10 x2三、矩阵的乘法文 科 数 学 设矩阵 A(aij)ms，B(bij)sn，则以cijai1b1jai2b2jaisbsj为元素的矩阵 C(cij) mn 称为 A 与 B 的乘积，记为ABC 定义4文 科 数 学 矩阵乘法运算的特点（ABC） .只有当 A 的列数与 B 的行数相同时，乘积 AB 才有意义； .乘积矩阵 AB 的行数为 A 的行数，列数为 B 的列数； .矩阵 AB 的第 i 行第 j 列元素 cij，恰是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的对应元素的乘积

7、之和。 注意：矩阵的乘法与数的乘法相比有明显的不同，它不是对应元素相乘，而是 A 的行与 B 的列的对应元素相乘再相加。因此，普通数的乘法的运算律不一定都适用于矩阵的乘法。文 科 数 学 例如不存在文 科 数 学 (1). 设 A 是 32 矩阵，B 是22 矩阵，问AB，BA 是否都有意义？ (2). 设 A 是 23 矩阵，B 是32 矩阵，问 AB，BA 是否都有意义？并对有意义的矩阵，指出它们的行数和列数。 (3). 设 思考计算 AB，BA和 BC。文 科 数 学由上述思考题可以看出 (1). 矩阵乘法一般不满足交换律，即 ABBA； (2). 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵； (3

8、). 矩阵乘法一般不满足消去律，即 BABC，且 BO，但可能 AC。文 科 数 学 矩阵乘法满足的运算规律（为常数） .结合律： .分配律： .矩阵乘法与数乘还满足以下运算律：文 科 数 学 设 练习验证：文 科 数 学 计算下列矩阵的乘积 例1 结论：任何矩阵与其同型的单位矩阵相乘，此矩阵保持不变。文 科 数 学 计算下列矩阵的乘积 例2矩阵乘法不满足交换律！矩阵乘法不满足消去律！文 科 数 学说明以下矩阵是何变换 从几何上看：在矩阵 A 的作用下，V 以原点为中心顺时针旋转了900；因此，矩阵 A 表示的是以原点为中心顺时针旋转900的变换。 练习文 科 数 学设 从几何上看：在矩阵 A

9、2 的作用下，V1 向 y 轴正向压缩了0.5倍，V2 向 y 轴负向压缩了0.5倍；因此，矩阵 A2 表示的是向 y 轴方向（负向或正向）压缩0.5倍的变换。 例2文 科 数 学讨论以下矩阵是何变换（, 0） 矩阵 A1 表示的是向 y 轴方向（负向或正向）压缩倍的变换； 矩阵 A2 表示的是向 x 轴方向（负向或正向）压缩倍的变换； 矩阵 A3 表示的是向 x 轴方向（负向或正向）压缩倍、 y 轴方向（负向或正向）压缩倍的变换。 练习文 科 数 学 矩阵变换的性质 由矩阵的线性运算性质，对于平面上的任意向量 U, V 及任意实数,，有称满足上述性质的变换为平面向量的线性变换，即矩阵表示的是

10、线性变换。 一般而言：任意一个 mn 矩阵 A 乘以一个 n1 列向量 X，得到一个 m1 列向量 AX，可以看作是 A 将向量 X 变换成了向量 AX，称向量 AX 为向量 X 的像，而向量 X 是向量 AX 的一个原像。矩阵的几何意义文 科 数 学 线性方程组的矩阵表示 利用矩阵乘法和矩阵相等的含义，对含 m 个方程，n 个未知量的线性方程组（简称 mn 线性方程组）令文 科 数 学则线性方程组可表示为矩阵形式系数矩阵未知列向量右端项列向量 求解线性方程组的本质：对给定的变换 A，从已知像向量 B，寻找原像向量 X。文 科 数 学 设 A, B 是两个2阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，则对

11、任一向量 U( u1, u2 )T，有即对任一向量 U，先作变换 B，得一向量 BU，再接着对此向量作变换 A，得一向量 A(BU)；与对向量 U 直接作变换 AB，得一向量 (AB)U，其结果是相同的，因此，乘积矩阵 AB 表示的是先经 B，再经 A 的接连的线性变换。 2.矩阵乘法的几何意义矩阵乘法的几何意义文 科 数 学设 对 V 先作变换 A2 再作变换 A1表示：先将 V 向 y 轴负向压缩0.5倍，再以原点为心逆时针旋转900；与对 V 直接作乘积变换 A1A2，所得结果完全一致。 例3文 科 数 学 如果将例3中的变换改为先对 V 作变换 A1，再作变换 A2，问所得结果与例3是

12、否一致？所得结果不一致。 说明：接连施行一些变换，所得结果与变换的次序有关，不能随意变更。 原因在于：矩阵乘法不满足交换律。 思考文 科 数 学五、矩阵的逆 1.逆矩阵的概念和性质 在数的运算中，若数 a0，则有其中 a-11/a 为 a 的倒数，也可称 a-1 为 a 对乘法运算的逆元素。 在矩阵的运算中，对矩阵方程AXB（A 是方阵），当 X 有解时，是否能表示成XA-1B如果可以，A-1 是何含义？概念的引入：能否推广到矩阵：文 科 数 学 定义5 对 n 阶方阵 A，如果存在 n 阶方阵 B，使得则称 A 是可逆矩阵，并称 B 是 A 的逆（矩阵）。 易见：当 A 可逆时，其逆 B 也

13、可逆，且 A 是 B 的逆。 若将矩阵 A 看作是线性变换，则他的逆 B 可看作是它的逆变换（还原）；反之，A 也可看作是 B 的逆变换。 若 A, B 互逆，则先作变换 B，再作变换 A，或先作 A，再作 B，相当于作了一个恒等变换 I。文 科 数 学设 变换 A 将任意向量 V 向 y 轴负向压缩0.5倍，得向量 WAU，而变换 B 又将向量 W 向 y 轴正向拉伸2倍，从而回到了原向量 UBW；反之，结果完全一致，所以变换 A, B 互为逆变换。 此外：从矩阵乘法上看，因为所以矩阵 A, B 确实互为逆矩阵。 例1文 科 数 学 问题：如果 A 可逆，其逆是否唯一？ 若 B1, B2 都

14、是 A 的逆，则AB1B1AIAB2B2A故B1IB1=(B2A)B1B2(AB1)B2I=B2所以，可逆矩阵 A 的逆是唯一的。 将矩阵 A 的逆记为 A-1，即AA-1A-1AI 由矩阵可逆的定义知：单位矩阵 I 可逆，且其逆就是自身，即 I1I。文 科 数 学 若 A, B 是可逆矩阵，证明 AB 也可逆，且(AB)1B1A1并从变换的角度说明上式的准确性。 从变换的角度：先作变换 B、变换 A，之后再作变换 A 的逆变换 A1、变换 B 的逆变换 B1，从而又回到了原向量；反之，所得结果完全一致，相当于作了一个恒等变换。 练习文 科 数 学 解：对任意2阶方阵所以矩阵 A 不存在逆矩阵

15、，即不可逆。 结论：并非任意非零方阵都有逆矩阵，因此在矩阵运算中，不能施行乘法运算的逆运算除法。 问题：对任意非零方阵，其逆是否一定存在？问矩阵 是否存在逆矩阵? 例2文 科 数 学 从线性变换角度：对于变换 A，有其中 k 为任意实数，这说明变换 A 将向量 (1, k)T，都变为了向量 (1, 0)T。 显然：不可能存在一个矩阵 B，可将向量 (1, 0)T同时变回到向量 (1, 1)T， (1, 2)T，因此变换 A 不存在逆变换，即矩阵 A 不存在逆矩阵。问矩阵 是否存在逆矩阵? 例2文 科 数 学 证明矩阵不是可逆矩阵，并说明它可将无穷多个向量变为同一个向量。 练习文 科 数 学2.

16、逆矩阵的判别法则及其求法为此，要解如下两个线性方程组解：设要求 ABI，即问 是否可逆，如可逆，求出 A1? 例1文 科 数 学相应的增广矩阵为利用高斯消元法，可将上述矩阵分别化为所以解为文 科 数 学从而求得矩阵 B 为 易于验证：ABBAI，因此矩阵 A 可逆，且 A1B所以解为文 科 数 学 分析：上述两个方程组具有相同的系数矩阵 A，为了简化计算，可将两个增广矩阵合并为即将单位矩阵 I 放在矩阵 A 的右边，然后对此矩阵( A | I ) 做行初等变换，当 A 被化成单位矩阵 I 时，其中的 I 化成的 B 就是 A1。文 科 数 学由此可知：矩阵 A 可逆，且该结果与例1完全一致。文

17、 科 数 学r后一个矩阵左边的第二行全为零，故不可能化为单位矩阵，所以矩阵 A 不可逆。 由上述讨论可以看出：对矩阵 ( A | I ) ，若用高斯消元法，能将其中的 A 化为 I，则其中的 I 化成的即为 A1；若 A 化不成 I，则 A不可逆。解：对矩阵 ( A | I ) 做行初等变换问 是否可逆，如可逆，求出 A1? 例2文 科 数 学问以下矩阵是否可逆，如可逆，求出其逆? 例3解：对矩阵 ( A | I ) 做行初等变换文 科 数 学文 科 数 学文 科 数 学文 科 数 学求下列矩阵的逆矩阵 例习文 科 数 学 设 n 阶方阵 A 可逆，则线性方程组AXB有唯一解XA1B 证：存在

18、性，将 XA1B 代入方程组左端，则A(A1B)(AA1)BIBB显然 XA1B 是方程组的解。 唯一性，设方程组还有一解 X1，使得 AX1B，则两边同时左乘 A1，有A1(AX1)(A1A)X1IX1X1A1BX六、nn 线性方程组的解 定理文 科 数 学则方程组的矩阵形式为 由前面的例1知：A 可逆，且所以方程组的解为 XA1B，即解：令利用逆矩阵，求解线性方程组 例1文 科 数 学利用逆矩阵，求解线性方程组 例习文 科 数 学利用逆矩阵，求解线性方程组 例习文 科 数 学 总结：前面曾指出，解方程组的问题就是对给定的线性变换 A，从已知像向量 B，寻找原像向量 X；若系数矩阵 A 可逆

19、，即线性变换 A 存在逆变换 A1，则像向量 B 在 A1 作用下，就可得到原像向量 X；由于 A1 唯一，所以原像向量也唯一，即此时方程组有唯一解。 问题：如果系数矩阵 A 不可逆，方程组的解会出现什么情况？文 科 数 学 由前面的练习知：系数矩阵 不可逆。 (1).无解。方程组的第二行为矛盾组，在几何上：直线空集空集 (2).无穷多解。在几何上：直线任意点直线结论：系数矩阵不可逆时，线性方程组的解不一定。 判断下列线性方程组解的情况，并从几何上加以说明。 思考文 科 数 学 某城市有三个企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。已知开采一元钱煤，煤矿需支付0.25元电费驱动它的设备和照明，还需支付0.25元的运输费；生产一元钱电力，发电厂需支付0.6