数列解题技巧归纳总结

1、数列解题技巧归纳总结知识框架数列的概念数列的分类 2) 等差数列的通项公式：=a1 + (n 1)d等差数列的求和公式S = -(a + a )= n 21 nn(n 1)na +d1等差数列的性质气+ a=a + a (m + n = p + q)两个基本数列等比数列等比数列的定义=q(n 2)an1等比数列的通项公式气=aq-1a 一 anq = -qn)等比数列的求和公式Sn= 1 q = 1 q叫0 = 1)等比数列的性质a a = a a (m + n = p + q)n m p q(q 丰 1)公式法分组求和数列1 求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和 累加累积归纳猜想证明数列的应

2、用分期付款 其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握 了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递 推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为a =a +d及a =qa (d，q为常数)例1、已知a满足a二a+2,而且a=1。求a。nn+1 n1n例1、解 Va +i-a =2为常数 .a 是首项为1,公 差为2的等差数列a =1+2 (n-1)即 a =2n-1例2、已知们满足、a a

3、 a解 .金七是常数n+1 2二？ .d)是以2为首项，公比为:的等比数列n+1 n (2n + 1)(2n 1)22n 1 2n +1令n=1，2，(n-1)，代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a1) + (a3-a2) + (a -a ,(2)递推式为a +1=a +f (n)例3、已知a 牛 a =， a = a +- n 1 2n+1 n 4n 2 1解：由已知可知a a 一 1一 1() Li 1 、_4n 3an - a1+ 2(1-211 - 4n2说明 只要和f (1) +f (2) +f (n-1)是可求 的，就可以由a +1=a +f (n)以n=1，2，(n-1)代

4、入，可得n-1 个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+q(p，q为常数)例 4、 a ， a = 1，1 （ flN）a - 3a + 2，a *n1n n-1n解法一：由已知递推式得a =3a+2, a=3a +2。两式n+1 nn n-1相减：a -a =3 （a -a ）n+1 nn n-1因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为 a-a = （3X1+2） -1=4 3n-1即 a =2 3n-1-1n解法二：上法得an+1-an 是公比为是有: a -a =4, a -a =4 3, a -a =4 ,32,213243.L aa =4 3a +2-a =4

5、 3n-1 nnan+1=3an+23的等比数列，于 ，a -a =4 3n-2,n-1把n-/f*E等、式）、莉顶得an=2 3n-1-1（4）递推式为an+1=p an+q n （p, q为常数）例5】己知佰盘中，电二:，（?） 5,求电 略解 在心二，电十（：）5的两边乘以严得 产 1，也+i = j十 1，令、=2n则于是可得b/n=fnbn /由上题的解法，得:bnbnnn说明对于递推式j =四+ q气可两边除以疔，得粉5圭f引辅助敷列后用（5）递推式为a 2 =pa + qaa -aa P(a -aa )，思路：设a qa，可以变形为:a pa qa就是M = （ 口 + 0 ）项

6、Q d，则可从:二解得J 6，于是a -aa是公比为B的等比数列想就转化为 n+1n前面的类型。21解 在5 = M 七电两边减去讪+i，得（电+-褊是公比为-:,首项为幻-纣=1的等比数列(6)递推式为S与a的关系式 n n此类型可利用也七，顼*21-13疾2)【例7】设(电刖H项的和嚣=4-日n -芬7 Q (1)求日n+1与日玖的系；(2)试用n表示a o解C1)由氟=4-$得第1 = 4 _ 口 -芬ZT TOC o 1-5 h z S S =(i a ) + ()+1 n n +12-22-1 1 q = q a +71+1 n n+12-11 1 a = a + +i2 n 2&上

7、式两同乘以2n+i得2n+ia 2na +2则2na 是公差为 n+l nn2的等差数列。 2na = 2+-如T)* 2=2n n f -次2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和 公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。1 + 2 + 3+ +n =1+3+5 + (2n-1)=n2 f I ! 2 口(ii + 1)(2n+l)1 十 十S 十十n =；1*+/=匹户已【例8】求数列 1，(3+5), (7+9+10), (13+15+17+19), 前n项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=i个奇数，2

8、 n,n 1)最后一个奇数为：1+ i n(n+1)-1 X 2=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为=侦(ii+i)七(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1) + 2 (n2-22) +3 (n2-32) +n (n2-n2)解 S=n2 (1+2+3+n) - (13+23+33+。+n3)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。S = 3C1 + 6C2 + 3nCn例10、求和：例 10、解 S= 0 . O +3C + 60 + +3nC又S

9、n = 3nC + 3 (n - 1) C 混.十十 0理相加，且运用堂= C!：t可得2氟=3门以+以+ +尊)=勿尸:.S =3n 2n-1n(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应 项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的 公比，然后错位相减求和.例口求数列1, 3x,5x2,，(2n-1)xn-1前n项的和.例11、解设 S =1+3+5x2+(2n-1)xn-1.当x = l时，Sn = 1 +* n = n3.x=0 时，S=1.当x=0且x=1时，在式两边同乘以x得n.xS =x+3x2+5x3+(2nT)Xn, n-，得 (1-x)S =1+2

10、x+2x2+2x3+2xn-i-(2nT)x n._12x(1 - x11-1)理由公式知嚣= 1 + 一( & 一 1)广1 -X1- X1+ x - (2n + l)n + (2n - 1)3醇(iF(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法:1 1 1 1 1 n(n + k) k. n n. + k1 11 1 1 1 n(n + l)(n +2)2n n + 1 n +2_日E=：y项例12、求和上+上+上+11 5 3 7 5 9(2 n - 1)(2n + 3)值 1)3 求养口 十十 + - +P 5 3 * 7 5 *9. (2n-l)(

11、2n+3)解寸(2ii-l)(2n + 3) = 3C2n-1 北 + 步_ 门11F H11I4L5 3 7 5 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3J4L 3 2n+l 2n + 3Jn(4n+5)3(细+ 1)(2n + 3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，1G一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想liiJ运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问 题解决。【例13】 等差数列a 的首项a 0,前n项的和为S ,n1n=J若S=S (1乂k )问n为何值时S最大？

12、1 kn的二次函数苔沱。年小1的图像开口向下时季大口此函wn为自变量L尹k)没启o次霸二当1廿为偶数时，口= -f (1) =f (k) 廿十1当1+k为奇敷时，口=写时纪最大.2.方程思想【例14】设等比数列a 前n项和为S ,若S +S =2S , nn369求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解.依题意可知q尹1。.如果q=1,则S3=3aS6=6a1，、9=9气。由此应 推出a1=0与等比数列不符。16191 q=1,有Sj Cl- qe) 2a Cl - q) ?)1 - q1 - q1 - q整理得q3 (2q6-q3-1) =0Lq乂02q6 -q3 -1=0 qpl舍，qf = |. V4-q=-T此题还可以作如下思考： TOC o 1-5 h z S =S +q3S = (1+q3)S S=S +q3S =S (1+q3+q6), 6333O 9363.由 S +S =2S 可得 2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=0 369? i 泌q = 一衫一亍3.换元思想112【例15】 已知