第36炼向量的数量积-寻找合适的基底

1、- -第36炼 向量的数量积一一寻找合适的基底在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量a,b数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（a,b模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将a,b两个 向量表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法一、基础知识：（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：U Ir1平面向量基本定理：若向量 el,e2为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量rrIrIrIrlra，均存在唯一一对实数1, 2 ,使得a1e12e2。其中e1,e2成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向

2、量数量积运算a b a b cos ,其中为向量a,b的夹角3、 向量夹角的确定：向量a,b的夹角指的是将a,b的起点重合所成的角，0,其中0 :同向:反向:a b24、数量积运算法则：r r r r（1）交换律：a b b ar rrr rr（2）系数结合律：a bab a bRPrrrr rr（3）分配律： a b c aC bC因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘 的展开式规律相同：rr 2r2rr r2rr rr例如：aba2ab bab ab0rIJrIr rIrIr5、若a1 e +2e2,b1e1+ 2e2,则rrIrIrIrIrL2i

3、r2IrurabG +2e2G +2e2 = 11 eI22e21 22 1 e1e2r rr由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将a,b用基底表示出来，则可计算a b（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：1如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。常见的可UlurUUUUUUIUU1 Uiur2UUU1UUir21 UUUUJir2 UUU28ADBCACAB-ACABAC - AB AC-AB333333UurUUr8答案：ADBC3UUULUUlrUlUrUUirUUJr例2：如图，

4、已知在VABC 中，ADAB,BC3BD,AD1,则ACAD思路:观察条件，AC,Ad很难直接利用公式求解以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有:（1）向量的加减运算（2）“爪”字型图：在 VABC中，D是BC上的点，如果n UUU-JAB，其m nBD : CDIUUm UUUIm: n ,贝U ADACm nUUJr UUU UUJr中AD, AB, AC知二可求一。特别的，如果AD是BC边上UULr 1 IULr IuLU的中线，贝以边所成向量作基底的图形有：

5、等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有:（1）向量的加减运算（2）“爪”字型图：在 VABC中，D是BC上的点，如果n UUU-JAB，其m nBD : CDIUUm UUUIm: n ,贝U ADACm nUUJr UUU UUJr中AD, AB, AC知二可求一。特别的，如果AD是BC边上UULr 1 IULr IuLU的中线，贝U AD -AC -AB2 23、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角二、例题精炼例 1:如图，在 VAB

6、C 中， BAC 120o, AB2,AC 1,D 是边 BC 上一点，DC 2BD，UUlr 则ADUUUBC思路:IUlr UUUAD,BC模长未知（BC尚可求出），UUur夹角未知,C所以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底,BAC 120o,AB 2, AC 1 ,可计算UUU UUJr 出 AB ACUuJl UulrAB AC cos120oIUU IUlrAB, AC ,模长均已知，数量积已求,条件齐备，适合作为基底。UUU UJIrIUlrAB, AC 表示 ADUUJrBC : BCUJUUJlrACUUr IUU AB , AD1 ULU-AC3Uur AB ,3择两个向

7、量表示 AC, AD ,条件中ULU- UUrULU-AD AB AD AB 0 （数量积有了 ）, ADBD: CD 1: , 3 1 （底边比值IUUr UUur 所以AC AD一 UiUr-,3AD ,3BD: CD 1: , 3 1 （底边比值IUUr UUur 所以AC AD一 UiUr-,3AD ,3UUUr联想到“爪”字型图）ADUuUABUJU Uur 1 AB AD1 UULT yC解得:-UJUr 2-,3AD X3UULTAC_ UUlT V 3 ADUUUUUInLUUU为基底。下一步只需将 AC表示出来，BC .,3 BDUuJr IUlT L 答案：AC AD 、3

8、UUU例3:在边长为1的正三角形 ABC中，设BCUUUr UJT2BD,CAUJUUUIT3CE，则 UUU例3:在边长为1的正三角形 ABC中，设BCUUUr UJT2BD,CAUJUUUIT3CE，则 ADUUU思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量，UiUr UuU量积均可计算，所以考虑 ADlBE用三边向量进行表示，表示的方法很多，例如观察“爪”字形图可得BEIUAD川BUUAI- 2AcZ A山BI- 32 - 3UUJr UUU 1 UUUAD BE - UUJr UUU 1 UUUAD BE - AB2UUU2 UUU 1 UUrAC BC - BA3

9、31 ,（注意向量夹角）4IUU UU答案：AD BEIUU UU答案：AD BE小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以D为坐标原点，BC所在直线为X轴,AD所在直线为y轴。D）E坐标完成之时，就是线为X轴,AD所在直线为y轴。D）E坐标完成之时，就是UUur UUUAD BE计算的完成之日，且此法在计算上更为简便。例4：如图，在VABC中，已知AB 4, AC 6, BAC60 ,点D,E分别在边AB, ACUUUUUiT UULT上，且 AB 2AD,ACUUU3AE ,点F为DE中点，则UuT UUUrBF DE的值是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5UUU I

10、IUIJr思路：在本题中已知 AB , AC及两个向量的夹角，所UJU UUJ以考虑将UJU UUJ以考虑将AB,AC作为一组基底。则考虑将UUU UUUr UUU UUUBF,DE用AB,AC进行表示，再做数量积即可解:UuTIUITUJIJrIUIJU1UJUrBFBDDF-BA-解:UuTIUITUJIJrIUIJU1UJUrBFBDDF-BA-DE2 2UUJ 1 UlUr UULr BA AE AD2UJU 1 1 UJU 1 UJU-ABAC -AB2 321 UUr3 uuu-AC-AB64UUU UUJ1 UUr3 uuu-AC-AB64UUU UUJUJU1 UUr1 UUU

11、且 DE AEAD-AC-AB ,所以有:32UUr Uur1 uuur3 uuu1 UJU1 UUUBF DE-AC-ABACAB6432UULr 2UJU 2UJU UUIr由已知可得：AB16, AC36, AB AC1 IUlr 2 AC18UuU AB1 UUU UIUr 3 uui2 -AB AC - AB 38IUlrAC CoSBAC12IUU UUUBF DE 4UJU UJIr 解：BC ACUJU UJIr 解：BC ACUuJ UUUAP BC 0UuUUuUAB Q APIUU UurAB ACUUUBCIUlr UJUAC AB 0UUU 2 UUU 2 UUU 2

12、 即 AB ACUUr UUr1 AB AC 0 答案:CUUU UurUuUUUUUUUULUUJlr例5：已知向量AB, AC的夹角是120o ,且AB2, AC3 ,若 APABAC，且UULUUAPBC ,则实数 的值是ULU ULIrUUU ULUUUUUUU思路:题中AB, AC模长夹角已知，所以选择它们作为基底，表示AP,BC，再根据APBC求出即可ULU 2Q ABUJIr24, ACUUU UJlr9,AB ACUJU ABUULrACcos BAC3式变为：49 310解得12712答案：7UUUUUr UUUUlr例6：在边长为1的正三角形 ABC中,BDxBA,CE y

13、CA,x 0, y 0,xy 1 ,则UUr UUrCD BE的最大值为3答案：-8思路：所给VABC为等边三角形，则三边所成向量两两数量UUU UuU积可解。所以用三边向量将 CD,BE表示出来，再作数量积运算并利用X y 1消元即可求出最值UJUUUJUJUUUJUJUUUrUJUUJrCDBECBXBABCyCA11 11-yX -Xy122 2Q Xy 1y 1X且OX1UJUUUJ1119CDBE-X 1X2X222UUU 2UUJIUrUUl UJUUuJUjrBCyCBCAXBA BCXyBACA111 1-yXXyXy222 22X 11133X 2248UJlrIUUUJlr

14、UUrUULUuLIUlLIUUUJlLUJr解:CD CB BD CB XBABE BC CE BC yCA1等号成立条件：X 2UJU UuU3CD BEmax83答案：8中用X中用X把y消掉，贝U X所满足的条件除了已知的X 0之外，还有y O例7例7：如图，在四边形 ABCD中，ABBC,AB 3,BC 4,VACD是等边三角形，则小炼有话说：(1)本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把问题解决:UUJlU,11,121 X y,11CDBE1y X-Xy1y X1 -2222 228(2)在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围，则这个范围由主元来承担，比如本题Uuj UuUA

15、C BD的值为思路：从条件中可分析 VABC , VADC的边所成的向量两两之间数量积可求，其公共边为AC ,所以以AC思路：从条件中可分析 VABC , VADC的边所成的向量两两之间数量积可求，其公共边为AC ,所以以AC作为突破口,UUUUUlr所求数量积中只有 BD需要转换，可得 BDIuU UUHBC CD ,所UJIr UULr UUlr UJU UJH 以 AC BD AC BC CDUJLr UJU UUU UJLrAC BC AC CD ,进而B可解UJlr IUlL UUU 解: BD BC CDUJlrUUUUUirUJIrIUirUUUUUIUirUUirACBDACB

16、CCDACBCACCD在 RtVABC 中，AC ,AB2 BC25在等边三角形ADC中，DC AC 5IUr UUUAC BCUUACUUUBC COSACBUUUACUJUBCBCACUUI 2BC 16UJIr UiW AC CDUJIrACUUICD COSACD252UUUUU 7AC BD -2答案：72UUU UUur小炼有话说：（1）在求AC CD时要注意夹角不是ACD ,而是它的补角!UJiJr UUUT（2）在求AC BC也可以用投影定义来解，即UUrUuU UUU 2AC BC BCUUU UUiUI UJUAC在BC上的投影为BC ,所以UUU0, AB的中点，贝yUu

17、U ABUUuU AMUUUU DMUUrDC()C.33A. 1 B.1D.22UJUUUUr ACUUurUJIr思路：本题要抓住ABDBDC0这个条件，所UUU UUU 例&如图，四边形 ABCD满足AB ACUUiU UUU DB DC求表达式中主要解决UUUJ UUUU而AM ,DM可用条件中的向量进行表示:而求得表达式的值UuUU1 UJUUU UUUU解: AM2 AB AC ,DMUUU UuJU AB AMUJU2 DC 2 ,若 M 是 BCUJUU1UUUUJUrUuU1UJUUUrAMABAC,DMDBDC ,从22UUUJ UUUUAM ,DM 。从图中可发现 AM

18、, DM分别是VABC,VBDC的中线，从UJU UUU -DB DC2UuUU UJU 1 UJU UJU UUUDM DC -AB AB AC2UuU UJIrUuUlUJIrDB DC 0,AB2DC2UJU UUUQ AB ACUUU21 UuU UJU-AB -AB AC2ULU UUU-DC DB2UUJ UU-DC DB2UUrDC 1UJIr DCUJLr 2 -DC2UuU UUJU UuuU UJLr AB AM DM DCIUJU 21 UUr 2AB DC2 2答案：D例9：菱形ABCD边长为2 , BAD 120o ,点E,F分别在BC,CD上，且IUUUuJ UUr

19、UJIrUuUUJUUUr UUUBEBC,DFDC ,若AEAF1,CECFA 1B.3A.22C 5D.7C.-412思路：本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，UUU UlUJUlUI IUU的 AE AF 1,CE CF所以可以考虑将题目中所给3-所涉及的向量用菱形的边和2进行表示，进而列出关于解:UuJAEUJU UUUAB BEUUUABIUlr UUUrBC,AFUUIr ADUULr DFUUj ADUlirDCUUJIUU ULUUuUCE1CB,CF1CDUJUUJlrIUUUJUUurUurAE AFABBCADDCUJU UurIUlr UJ

20、IrUJlr UUUUrirUULrAB ADBC ADDC ABBCDC2 442UJUIuUUlU UUUCECF1 1CB CD 21372 421 221221311243的方程，解出方程便可求出答案：D例10：已知向量UUU UUU UUUOAIOBIOC满足条件:UuJ UUU UUU OA OB OCUUJrOC 2，UUU UUU 点P是VABC内一动点，贝U AB APUUU UUU UUr UUUBC BP CA CP UUU UUU UUirIUU思路：本题已知 OAlOBlOC模长，可对 OAUUUOBUulrOC0进行变形得到更多条件:goZOA血BUUOIiJnUUU2 UlJU 2UUUIIJUOAOB OCOAOB2 ,同理ULJU UUlr UULr IUUOB OC OC OA2ULJU UUlr UULr IUUOB OC OC OA2,从而可将所求式子中的向量均用UUJUUUUJlrOA,OB,OC表示再进行计算即可。UUrUUUUUIUrUUr解：OAOBOC0OAUur2UUU 2UUrUUUUUir 2OAOB2OAOBOCUUU UUr 可得：OA OB2 :I同理Uur OB,代入UUr UULr UJU OC OC OAUUUUUUUUrOBOCOAIUUOBULlnOAUJU