(新高考)高考数学二轮复习小题考法专训(四)空间几何体与空间位置关系-人教版高三全册数学试题

1、33 3256400 5005002 6 2 A.word小题考法专训（四） 空间几何体与空间位置关系一、选择题1. 已知某圆柱的底面周长为A 级保分小题落实练12，高为 2，矩形 ABCD是该圆柱的轴截面， 则在此圆柱侧面上， 从 A 到 C的路径中， 最短路径的长度为 ( )A 2 10 B 2 5C 3 D 2解析： 选 A 如图， 圆柱的侧面展开图是矩形， 且矩形的长为12，宽为 2，则在此圆柱侧面上从 A 到 C的最短路径为线段 AC，AC 2 2 10. 故选2已知 a， b， c 表示不同的直线， ， 表示不同的平面，下列命题：若 ab， b ，则 a ；若 ab， b ， c

2、，则 ac；若 ab， b ，则 a ；若 ab， b ， b? ， c，则 ac.其中错误命题的序号是 ( )A BC D解析：选 A 对于，由 ab， b ，可得 a 或 a? ，故错误；对于，由 b ， c 得 bc，又 ab，所以 ac . 故正确；对于，由 ab， b ，可得 a 或 a? ，故错误；对于，由 b ， b? ， c 得 bc，又 ab，所以 ac，正确综上所述，错误命题的序号是，选 A.3设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为 4，球心到切面圆心的距离为 3，则该西瓜的体积为 ( )A 100 B C. D 解析： 选 D 因为切面圆的半径 r 4， 球心到切面

3、的距离d 3， 所以球的半径 R r 2d22 2 4 3 4 3 500 4 3 5，故球的体积 V3 R 3 5 3 ，即该西瓜的体积为3 .- 1 - / 114 33B334 8 23 3word4 (2019 某某综合测试 )如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD为矩形， E， F 分别为 PA， PD的中点，在此几何体中，给出下面结论：直线 BE与直线 CF异面；直线平面 PBC； 平面 BCE平面 PAD.其中正确的结论个数为 ( )A 4BE与直线 AF异面；直线 EFB 3C 2 D 1解析：选 C 将平面展开图还原成直观图如图所示E， F 分别为 PA， PD的中

4、点， EFAD. 又四边形ADBC， EFBC， B， C， F， E 四点共面直线ABCD为矩形，BE 与直线 CF共面，不是异面直线，故错误；E平面 PAD， AF? 平面 PAD， 点 E不在直线 AF上， B?平面 PAD，直线 BE与直线 AF为异面直线，故正确；EFBC， BC? 平面 PBC， EF?平面 PBC， EF平面 PBC， 故正确；假设平面 BCE平面 PAD， 即平面 BCFE平面 PAD，又平面 BCFE平面 PAD EF，作 PMEF，垂足为 M，可得 PM平面 BCE， 但由题中条件无法证得 PM平面 BCE， 故假设不成立，故错误故选 C.5已知球 O与棱长

5、为 4 的正四面体的各棱相切，则球 O的体积为 ( )8 2A. 8 33 8 6C. 16 2D 解析：选 A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为 4，所以正方体的棱长为 2 2. 因为球 O与正四面体的各棱都相切，所以球 O为正方体的内切球，即球O的直径 2 R2 2，则球 O的体积 V R3 .6如图所示，用一边长为 2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为底面的最短距离为的鸡蛋 ( 视为球体 ) 放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋 (球体 ) 离蛋巢( )- 2 - / 11D4 2word2 1A.2B2 12

6、C.6 123 12解析： 选 D 因为蛋巢的底面是边长为 1 的正方形， 所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为 1，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为 31，所以球心到截面的距离为3，所以截面到球体最低点的距离为2 23 11 ， 而蛋巢的高度为 ， 故球体到蛋巢底面的最短距离为33 11 2.27若 l， m为两条不同的直线， 为平面，且 l ，则“ m ”是“ ml ”的 (A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件12)D既不充分也不必要条件解析：选 A 依题意，由 m 知存在直线 m1? ， mm1，由 l ， m1? 得 l m1，又 mm1， 因此有 l m， “m ”是“

7、ml ”的充分条件 反过来， 由 ml 不能得到 m ， 此时直线 m可能位于平面 内，因此“ m ”不是“ ml ”的必要条件综上所述，“ m ”是“ ml ”的充分不必要条件，选 A.8. 在正方体 ABCD-A1B1C1 D1 中， 动点 E 在棱 BB1 上， 动点 F 在线段 A1C1上， O为底面 ABCD的中心，若 BEx， A1F y，则四面体 O- AEF的体积( )A与 x， y 都有关B与 x， y 都无关C与 x 有关，与 y 无关D与 x 无关，与 y 有关解析：选 B 如图，因为 VO- AEFVE- OAF，- 3 - / 11AB AC BCA.1 3 BC2B

8、Dword所以，考查 AOF的面积和点 E到平面因为 BB1 平面 ACC1A1，所以点 E 到平面 AOF的距离为定值，又AOF的距离的值，AOA1C1，所以 OA为定值，点 F 到直线 AO的距离也为定值，即 AOF的面积是定值，所以四面体 O- AEF的体积与 x， y 都无关，故选 B.9 (2019 某某一诊 )在各棱长均相等的直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知N是棱 AC的中点，则异面直线A. 36C.3解析：选 C 取 AA1 的中点A1M与 BN所成角的正切值为 ( )B 12D2P，连接 PN， PB，则由直三棱柱的性质可知M是棱 BB1 的中点，A1MPB，则 PBN

9、为异面直线 A1 M与 BN 所成的角 ( 或其补角 )设三棱柱的棱长为2 3，所以 PN BN2PB2 ，所以 PNB90，在 RtPBN中，选 C.2，则 PN 2， PB 5， BNPN 2 6tan PBN ，故BN 3 310 (20 19 某某模拟 ) 在三棱锥 P- ABC中， PA PBPC 2， ABAC 1， BC 3，则该三棱锥外接球的体积是 ( )4 3C 4 3 解析：选 A 由 PAPBPC8 2 332 32，得点 P 在平面 ABC内的射影 O 为底面 ABC的外心，PO平面 ABC， 所以 POOA，在 ABC中， ABAC 1， BC 3， ，所以 sin

10、BAC 2 . 由正弦定理得 OA2sin BAC 1，即2 2 2cos BAC 2AB AC OAOBOC 1. 在 Rt POA2 2中， PO PA OA 1，所以 OAOBOC OP 1，所以三棱锥 P- ABC的外接球的球心为 O，- 4 - / 114 33 6 12 12 6 6 2 2 2 2 2 Bword其半径为 1，故三棱锥 P- ABC的外接球的体积为 ，选 A.11已知三棱锥 P- ABC的棱 AP、 AB、 AC两两垂直，且长度都为2 为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于3A 3 4 C.解析：选 B且 APABAC如图所示，3.BD3

11、 25 6RtPAC， RtPAB为等腰直角三角形，3，以顶点 P为球心，以( )以顶点 P 为球心，以 2 为半径作一个球与 RtPAC的 PC， AC分别交于 M， N 两点，得 cos APN 2 ，所以 APN 6，所以 NPM ，所以 MN 2 ，同理 GH ， HN 1 ，1又 GM是以顶点 P 为圆心，以 2 为半径的圆周长的 ，所以所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于GM ，6 3 2 9 3 6 6 2 3 6 2 .故选 B.12 (2018 全国卷 ) 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为 ( )

12、3 3A.42 333 2C.4解析：选棱 A1A， A1B1，3D2A 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1 D1 中，平面 AB1D1 与A1 D1 所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与 A1A，A1B1， A1D1 平行， 故正方体 ABCD-A1B1C1D1 的每条棱所在直线与平面 AB1D1所成的角都相等如图所示，取棱 AB， BB1， B1C1， C1 D1， D1 D， DA的中点 E， F， G， H， M， N，则正六边形 EFGHM在平面与平面 AB1D1 平行且面积最大，此截面面- 5 - / 113 1 2 2 3 3EFGHMN 6 word积为 S正六边形

13、 2 2 2 sin 60 4 . 故选 A.二、填空题13 (2019 高考 ) 已知 l， m是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断：l m； m ； l .以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析：已知 l， m是平面 外的两条不同直线，由l m与m ，不能推出 l ，因为 l 可以与 平行，也可以相交不垂直；由l m与l 能推出 m ；由m 与l 可以推出 l m.故正确的命题是 ? 或 ? .答案：若 m 且 l ，则 l m( 或若 l m， l ，则 m )14.(2019 某某七校联考 )如图， 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，

14、 点P 在线段 BC1 上运动有下列判断：平面 PB1D平面 ACD1；A1 P平面 ACD1；异面直线 A1 P与 AD1 所成角的取值 X 围是 0， ；三棱锥 D1- APC的体积不变其中正确的是 _ (把所有正确判断的序号都填上 )解析：在正方体中，易知 B1 D平面 ACD1， B1D? 平面 PB1 D，所以平面 PB1 D平面 ACD1，所以正确；连接 A1B， A1C1 图略，容易证明平面 A1BC1 平面 ACD1，又 A1P? 平面 A1BC1，所以 A1 P平面 ACD1，所以正确；因为 BC1 AD1，所以异面直线 A1 P 与 AD1 所成的角就是直线 A1P 与BC

15、1 所成的角，在 A1BC1 中，易知所求角的 X 围是 3， 2 ，所以错误； VD1- APCVC- AD1P，因为点 C到平面 AD1 P的距离不变，且 AD1P的面积不变，所以三棱锥 D1- APC的体积不变，所以正确答案：15. 如图，正方体 ABCD-A1B1 C1 D1 的边长为 2，过 BD1 的截面的面积- 6 - / 11word为 S，则 S 的最小值为 _解析：由题知，过 BD1 的截面可能是矩形，可能是平行四边形，(1) 当截面为矩形，即截面为 ABC1D1， A1BCD1， BB1D1 D时，由正方体的对称性可知 SABC1D1 SA1BCD1SBB1D1D4 2.

16、(2) 当截面为平行四边形时，如图所示，过点 E作 EMBD1 于 M，如图 (a) 所示， SBED1FBD1 EM，又因为 BD12 3，所以 SBED1FEM2 3，过点 M作 MND1D交 BD于 N，连接 AN，当 ANBD时，EM 2，故四边形 BED1F 的面积最小值为 SBED1F 2 2 3 2AN最小，此时， EM的值最小，且6，又因为 4 2 2 6，所以过 BD1 的截面面积答案： 2 616 (2019 全国卷S 的最小值为 2 6.) 已知 ACB90， P 为平面 ABC外一点， PC2，点 P 到ACB两边 AC， BC的距离均为解析：如图，过点的距离3，那么

17、P到平面 ABC的距离为 _P作 PO平面 ABC于 O，则 PO为 P 到平面 ABC再过 O作 OEAC于 E， OFBC于 F，连接 PC， PE， PF，则 PEAC，PFBC.又 PEPF 3，所以 OE OF，所以 CO为 ACB的平分线，即 ACO45.在 Rt PEC中， PC2， PE 3，所以 CE 1，- 7 - / 113 2 ，点1 3 6 6VA- BEF d2 d2 为定值，2 21 3 13 4 41 33 2 21 1 92 21 1word2 2 2 2所以 OE 1，所以 PO PE OE 3 1 2.答案： 2B 级拔高小题提能练1. 多选题 如图，正方

18、体 ABCD-A1 B1 C1 D1 的棱长为 3，线段 B1 D1 上有两个动点 E， F 且 EF 1，则当 E， F 移动时，下列结论正确的是 ( )A AE平面 C1BDB四面体C三棱锥D四面体ACEF的体积不为定值A- BEF的体积为定值ACDF的体积为定值解析：选 ACD 对于 A，如图 1， AB1 DC1，易证 AB1 平面 C1BD，同理 AD1 平面 C1BD，且 AB1 AD1A，所以平面 AB1D1 平面 C1BD，又AE? 平面 AB1D1，所以 AE平面 C1BD， A 正确；对于 B，如图 2， SAEF EF h1 12 32 2 2 346 C到平面 AEF的

19、距离为点 C到平面 AB1D1 的距离 d1 为定值，所以 VA- CEFVC- AEF d1 d1 为定值，所以 B 错误；对于 C，如图 3， S BEF 13 ，点 A 到平面 BEF的距离为点 A到平面 BB1D1D的距离d2 为定值，所以 3 2 2 C 正确；对于 D，如图 4，四面体 ACDF的体积VA- CDFVF- ACD 333 为定值， D 正确故选 ACD.- 8 - / 11word2某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目项目：折叠状态下 (如图 1) ，检查四条桌腿长相等；项目：打开过程中 (如图 2) ，检查 OMONOM ON；项目：打开过程中 (如图 2

20、) ，检查 OKOLOK OL；项目：打开后 ( 如图 3) ，检查 1 2 3 490；项目：打开后 ( 如图 3) ，检查 ABCDAB CD.在检查项目的组合中，可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是 ( )A BC D解析：选 B A 选项，项目和项目可推出项目，若 MON MON，则 MN较低， MN较高，所以不平行，错误； B 选项，因为 1 2 3 4 90，所以平面ABC平面 A BCD，因为 ABA B，所以 AA平行于地面，由知， O1O1 AA平面 MNNM，所以桌面平行于地面，故正确； C 选项，由得， OMON， O1AAA， O1 A AA， ABAB，所以 A

21、A BB，但 O1A与 O1 A是否相等不确定，所以不确定 O1O1 与 BB是否平行，又 O1O1 MN， 所以不确定 BB与 MN是否平行，故错误；D 选项， OKOLOK OL，所以 AA BB，但不确定 OM与 ON， OM， ON的关系，所以无法判断 MN与地面的关系，故错误综上，选 B.3. 已知正方体 ABCD-A1B1C1 D1 的棱长为 1， 除面 ABCD外， 该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图) ，则四棱锥 M- EFGH的体积为_解析：连接 AD1， CD1， B1A， B1C， AC，因为 E， H 分别为 AD1， CD1 的- 9 - / 1122121 2 32 3Vmax r 3341 134 819 r ，所_108，所以 Vmax1_1 1 1word中点，所以 EHAC， EH AC，因为 F， G分别为 B1A， B1C 的中点，所以12所以 EH FG， EHFG，所