(江苏专版)高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应

1、3123word第 3 讲 平面向量的数量积及应用举例1 (2018 某某质检 ) 已知向量 a(2， 1)， b(5 ， 3) ，则 a b 的值为 _ 解析 因为 a b (2， 1) (5 ， 3) 10 3 7. 答案 72等边三角形 ABC的边长为 1，Ca，Ab，Bc，那么 a bb c c a_ 解析 由题意知 | a| | b| | c| 1，且 a 与 b 的夹角为 120， b 与 c 的夹角为 120， c 与 a 的夹角也为 120 . 故 a b b cc a . 答案 3已知 | a| 3，| b| 4，且 a 与 b 不共线， 若向量 akb 与 a kb 垂直，

2、 则 k _ 解析 因为 ( akb) (akb)，所以 ( akb) (a kb) 0， 即 | a| 2 k2 | b| 2 0.又因为 | a| 3， | b| 4，所以 答案 44如图，菱形 ABCD的边长为k2 196，即 k .2， BAD60， M为 DC的中点，若 N为菱形内任意一 点( 含边界 ) ，则 AMAN的最大值为 _ 解析 由平面向量的数量积的几何意义知， AMAN等于 AM与 AN在AM方向上的投影之积，所以 (MAN) maxM C 答案 95已知平面向量 a(1 b 的夹角，则 m_.ABD ( BD) 1 3D9.2 2 2， 2)， b(4， 2)， c

3、mab( mR) ，且 c 与 a 的夹角等于 c 与1 / 7c a c b2bc2 2 ，解得 a b0，即4 a bsin A a的夹角为word 解析 由题意得： | c| a| | c| b| ? 答案 26 (2018 某某市高三第一次调研测试的值为 _sin Asin C| a| | b| ? 5 2 5 ? m2.c a c b 5m8 8m20 )在 ABC中，若 BC BA2ACABCACB，则解析：由 BCb c 2bc BA2ACABCA CB，得a2 aca222cac b2 aba22化简可得 a 2c. 由正弦定理得 sin Cc 2.答案： 2 7 (2018

4、某某高三模拟 )在凸四边形 ABCD中， BD2， 且ACBD0， ( AB C) (C ABCD的面积为 _AD) 5，则四边形解析： (B C) (CD) (B A C) (CB D) ( BC) (CB) 2 2 2 2ACDB5，即 ACBD5. 因为 BD2，所以 AC3，1 1所以四边形 ABCD的面积为 2ACBD2 23 3.答案： 38 (2018 某某月考 ) 平面向量 a， b 满足 | a| 2， | ab| 4，且向量 a 与向量 a b3 ，则 | b| 为_ 解析 因为向量 a 与向量 a b 的夹角为 ，所以 cos | a42 a b. 所以 | a| 2|

5、b| 2 | a b| 2，从而解得， | b| 2 3. 答案 2 39在 ABC中， AB10， AC6， O为 BC的垂直平分线上一点，则 O_ 解析 取 BC边的中点 D， 连结 AD，则OC(D O) C DCDC ( BC) (CB) ( C2 B2) (6 2 102) 32.2 / 73 3.3 2 1 2 1 word 答案 3210已知正方形 ABCD的边长为 _DE DC的最大值为 解析 法一：以点 A 为原点，1，点 E是 AB边上的动点，则 B的值为 _；DEAB， AD所在直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 0)， B(1， 0)， C(1，

6、1)， D(0， 1) ，又 E 在AB边上，故设 E( t， 0)， t 0， 1，则E( t ， 1)， B(0 ， 1) ，所以 E B( t ， 1) (0 ， 1) 1.因为 C(1， 0) ，所以 E C( t ， 1) (1， 0) t，又 t 0， 1， 故DE DC的最大值为 1.法二：由图知，无论 E 点在哪个位置， E在B方向上的投影都是 CB1，所以 E B | B| 1 1，当 E运动到 B点时， E在C方向上的投影最大即为 DC1，所以 (E C) max | C| 1 1. 答案 1 111. 如图，在 OAB中，已知 P为线段 AB上的一点， yB.OPxOA(

7、1) 如果 P2A，求 x， y 的值；(2) 如果 P3A， | A| 4， | B| 2，且 A与B的夹角为 60时，求 P B的值 解 (1) 由P2，所以 PB2( P A)， 2 1即 3OP2OAOB，所以 x ， y 3 3 3 1(2) 4 OB4( OAOB) 4OA4OB， B BA，OPOBBPOB BA 3 1 所以 OPAB 4OA4OB ( OBOA) OA OB OAOB 9.4 4 212已知 ABC的角 A、 B、 C所对的边分别是 a、 b、 c，设向量 m(a， b)， n (sin B，sin A)， p( b 2， a2)3 / 722，_.1a b1

8、 1 2word(1) 若 mn，求证： ABC为等腰三角形；(2) 若 mp，边长 c 2，角 C ，求 ABC的面积 解 (1) 证明：因为 mn，所以 asin Absin B，即 a b ，其中 R是三角形 ABC外接圆的半径，2R 2R所以 a b.所以 ABC为等腰三角形(2) 由题意可知 m p 0，即 a( b 2)b( a 2) 0.所以 a b ab. 由余弦定理可知，2 2 ab ( ab) 2 3ab，4 ab 即( ab) 2 3ab4 0，所以 ab4( 舍去 ab 1)，所以 S absin C24 sin 3 3.1已知 a( ， 2 )， b (3 ， 2)

9、，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值 X 围是_解析： a 与 b 的夹角为锐角，则 a b0 且 a 与 b 不共线，则4 1 13 3 4 1 3或 0 3或 3，所以 的取值 X 围是， 0，31， .3 4 0，2 6 0，解得 4 1答案： 3 0， 3 2 (2018 某某省师大附中联考P是斜边 AB上的一个三等分点，则，3)在直角三角形 ABC中， ACB90， AC BC2，点 CPCBCP CA解析：建立如图所示的直角坐标系，2 4则 A(2， 0)， B(0， 2)， P1 3， 3 ，4 / 742答案： 或 13 3 ，4 4 16 23 3 3 32 ，Pwo

10、rd4 23 3 ，所以 CP1 C B(0， 2)， A(2， 0) ，所以 BA(2， 2)故CP1 BCP1 ACP1 ( B A)2 4 4 8 3， 3 (2， 2) 3 34， CP2 CBCP2 CA ( BA)4 2 8 4 ， (2， 2) 4.答案： 43. 如图， 在平行四边形 ABCD中， 已知 AB8， AD5， P3D， PP2，则 B D的值是 _ 1 3 解析： 因为 APAD DPAD4AB，BPBCCPAD4AB， 所以 APBP 1 3 2 3 2 1 AD AB AD AB |AD| | AB| ADAB2， 将 AB8，AD5 代入， 解得DB22.答

11、案： 224 (2018 苏锡常镇四市高三调研 )在 ABC中，已知 AB 1， AC2， A60，若点 P满足PAB C，且 P P1，则实数 的值为 _ 1 解析：由题意可得 ABAC12 1， ABP B2 BC1 ，2 2 2APAC1 4 ，AP AB2 B C 2AC24 2 2 1， 又 PP1， 则(PB) (PC) P CPBB C1，代入化简得1 或 1.4 3 10，解得 145在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 a ( 1， 2) ，又点 A(8， 0)， B( n，t )， C( ksin ， t ) 0 2 .5 / 74 324 3241 2 3 .wor

12、d(1) 若ABa，且 |AB| 5| A| ，求向量 B；(2) 若向量 C与向量 a 共线，当 k4，且 tsin 取最大值 4 时，求 A C.解： (1) 由题设知 B( n 8， t ) ，因为 Ba，所以 8n 2t 0. 又因为 5| A| | B|，所以 564 ( n8) 2t 2 5t 2 ，得 t 8.当 t 8 时， n24； t 8 时， n 8，所以 OB(24， 8) ，或 B( 8， 8)(2) 由题设知 C( ksin 8， t )，因为C与 a 共线，所以 t 2ksin 16，2t sin ( 2ksin 16)sin 2k sin k k .因为 k4，

13、所以 1k0，所以当 sin k时， t sin 取得最大值 k .由 4，得 k 8，此时 ， C(4， 8)所以 OA C(8， 0) (4， 8) 32.6已知在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，向量 m(sin A， sin B)， n (cos B， cos A)， m n sin 2 C.(1) 求角 C的大小；(2) 若 sin A， sin C， sin B 成等差数列，且 C) 18，求 c 边的长CA ( AB解： (1) m n sin A cos Bsin B cos Asin( AB)，对于 ABC， AB C， 0 C，所以 sin( AB) sin C，所以 m n sin C，又 mn sin 2 C，所以 sin 2