有界磁场中的“最值”问题分类解析

1、分类解析有界磁场中的“最值”问题唐山市丰南一中（063302） 王殿彬带电粒子在有界磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点,有界磁场中的“最值”问题更 是高考物理试题中的常见题，此类问题综合性强，常涉及确定临界条件、正确的作图，还要用到数学中的 几何知识。下面按照有界磁场的形状对此分类解析。一.矩形有界磁场：矩形有界磁场常常涉及的是粒子的入射速度方向一定的速率最值问题，粒子刚好要射出磁场即与射出 边界相切时存在最值。例1. 如图1所示，宽度为d的匀强有界磁场，磁感强度为B，MM，和NN，是它的两条边界。现有一质 量为m，电量为+q的带电微粒沿图1所示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边

2、界NN射出，求粒子入射 的最大速率。解析：要求粒子不从NN，射出入射速率的最大值，只需求出粒子刚好不射出时的入射速率。粒子在磁场中 运动的轨迹如图2所示，经分析知，v越大，对应的半径R越大，当v达到最大值时，对应的圆弧与NN，,R相切，则有轨道圆半径,R相切，则有轨道圆半径R= d + 2,又R=mv（2 +克）Bqd二.圆形有界磁场:圆形有界磁场涉及的最值问题有两方面：（一）圆形有界磁场面积最值问题。（二）带电粒子在有界磁 场中运动时间最值问题。（一）圆形有界磁场面积最值问题：此类问题需要作出带电粒子在圆形磁场中的运动轨迹，并作出两条切线，以两切点的连线为直径时面积 最小.例2. （94高考

3、）一带电质点，质量为m,电量为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中的第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加 一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区 域的最小半径。图3解析：质点在做半径为R图3解析：质点在做半径为R的圆周运动，根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方 向的速度相切。过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O, 点为圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O,为圆心，R为半径的圆（图4中

4、虚线圆）上的圆弧MN，M 点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。在通过M和N两点的不同的圆周中最小的一个是以MN连线为直径的圆周，所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为r= 2 场区域的最小半径为r= 2 R2 R2;2 t2 mvR 22 qB所求磁场区域如图4中实线圆所示。（二）时间最值问题:由扯与。知,圆心角。越大,t越大.当v 一定时，弧长（或弦长）越长,t越大，带电粒子 qB在有界磁场中运动的时间越长.例3.如图5所示，在实线所示的圆形区域内有方向垂直圆面向里的匀强磁场，从边缘的A点有一束速率各不相同的质子沿半径方向射入磁场区域，这些质子在磁场中的运动，则运动时间越长的运动时间越长的

5、，运动时间越长的，运动时间越长的，A.B.C率各不相同的质子沿半径方向射入磁场区域，这些质子在磁场中的运动，则运动时间越长的运动时间越长的，运动时间越长的，运动时间越长的，A.B.C.D.解析:其轨迹越长。其轨迹所对的圆心角越大。射出磁场时的速率越大。射出磁场时的偏向角越大。答案选BD。由弧长l=R。知，弧长1越大，圆心角。不一定大，m电错误。由t=前。知,t与速率无关。三.环状有界磁场：环状有界磁场涉及的问题跟矩形有界磁场一样，关键是找出临界条件，从而求出最值速度。例3.核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的粒子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法

6、（托卡马克装置）。如图6所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空 区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半 径R=0.5m,外半径R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比q/m=4X 107C/kg,中空区 域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析：（1）要使粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切，轨迹如图7所示。由图中知 r12+R12=（R2-r1）2，解得 r1=0.375m.由 Bqv = m 得v =q1 =1.5X107m/s 1 r 1 m所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为v1 =1.5 X 107m/s。（2）粒子以v2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，最容易射出磁场，则以v2速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图8所示。由图中知r2= -1 =0.25m2由 Bq * = mM 得七=2 =1.0X107m/s2 r 2 m2所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度v2=1.0 X 107m/s思考：若粒子沿不同的方向射入环形有界磁场，求所有粒子都能 穿越的最小速度。（提示：做出最不容