同济大学高等数学第六版函数与极限

1、第一节 映射与函数一、集合二、映射三、函数四、小结第一章 函数与极限一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N-自然数集Z-整数集Q-有理数集R-实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.集合的运算1集合的并2集合的交3集合的差4集合的补集合的运算律1交换律：2结合律：3分配律：4摩根律：2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.

2、邻域:4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程而言的.通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x, y, t等表示变量.5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:二、映射1 映射概念 设 是两个非空集合，如果存在一个法则 ,使得对于 中每个元素 ，按法则 在 中有唯一确定的元素 与之对应，则 称为从 到 的映射，记作 其中 称为元素 （在映射 下）的像，并记作 ，即 而元素 称为元素 （在映射 下）的一个原像；集合 称为映射 的定义域，记作 ，即 ；中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，记作 或 ，即从上述

3、映射的定义中，需要注意的是： （1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 ，即定义域 ；集合 ，即值域的范围： ；对应法则 ，使对每个 ，有唯一确定的 与之对应. （2）对每个 ，元素 的像 是唯一的；而对于每个 ，元素 的原像不一定是唯一的；映射 的值域 是 的一个子集，即 ，不一定 . 设 Y 是从集合 到集合 的映射，若 ，即 中任一元素 都是 中某元素的像，则称 为 到 上的映射或满射；若对 中任意两个不同元素 ，它们的像 ，则称 为 到 的单射；若映射 既是单射又是满射，则称 为一一映射（或双射）满射、单射与双射 设 是从集合 到集合 的映射，则由定义，对每个 有唯一的 ，适合 .

4、于是，可以定义一个从 到 的新映射 ，即 对每个 ，规定 ，这 满足 . 这个映射 称为 的逆映射，记作 ，其定义域 ，值域 2.逆映射与复合映射注意：只有单射才存在逆映射.复合映射：设有两个映射 其中 .则有映射 可以定义一个从 的对应法则，它将每个 映成 . 显然，这个对应法则确定了一个从 的映射，这个映射称为映射 构成的复合映射，记作 ，即 注意： 的值域 必须包含在 的定义域内，即 因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域三、函数自变量因变量对应法那么f函数的两要素:定义域与对应法那么.约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应

5、的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否那么叫与多值函数 (1) 符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2) 取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数(4) 取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1解故M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1函数的有界性:2、函数的特性2函数的单调性:3函数的奇偶性:偶函数xyxo-x奇函数yxox-x4函数的周期性:通常说周期函数的周期是指其最小

6、正周期.例2解单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,DWDW3、反函数与复合函数(1) 反函数设函数 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.2、复合函数定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.5、初等函数由常数及根本初等函数否那么称为非初等函数 . 并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四那么运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 . 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为根本初等函数.4. 根本初等函数非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x = 0当 x 0取整函数当第二节 数列的极

7、限一、概念的引入二、数列的定义三、数列极限的定义四、收敛数列的性质五、小结 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣1、割圆术：刘徽一、概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列与函数几何意义三、数列的极限问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察: 例如 当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 那么常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为数列极限的描述定义问题:“无

8、限增大，“无限接近意味着什么? 如何用数学语言刻划它？考察逼近1的规律：如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：数列极限的精确定义几何解释:简记形式 0, NN 当nN时 有|xna| . 0, NN 当nN时 有|xna| . 数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意： 0, NN 当nN时 有|xna| . 例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 0, NN 当nN时 有|xna| . 例3证 0, NN 当nN时 有|xna| . 例4 分析: 证明 0, NN 当nN时 有|xna| . 四、收

9、敛数列的性质1、有界性例如,有界无界定理1 收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.2、唯一性定理2 每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.3.收敛数列的保号性定理3 如果 证从而有推论 如果数列4、子数列的收敛性注意：例如，定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证毕第三节 函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结 练习题一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近.1、定义：2、另两种情形:3、几何解释:例1证2、自变量趋向有限值时函数

10、的极限1、定义：2、几何解释:注意：例2证例3证例4证函数在点x=1处没有定义.3.单侧极限:例如,左极限右极限左右极限存在但不相等,例6证二、函数极限的性质1.有界性2.唯一性定理(保号性)推论23.函数极限的局部保号性推论1 如果 那么就存在着4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理三、小结函数极限的统一定义(见下表)过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 第四节 无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小1、定义:极限为零的变量称为无穷小.例如,注意1无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2零是可以作为无穷小的唯一的数.2、无穷小与函数极限的关

11、系:证必要性充分性意义1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大注意1无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大无界，证三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,

12、无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第五节 极限运算法那么一、极限运算法那么二、求极限方法举例三、小结 思考题一、极限运算法那么定理证由无穷小运算法那么,得推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，二、求极限方法举例例1解小结:解商的法那么不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5解先变形再求极限.解例6例7解左右极限存在且相等,例8 . 求解: 方法 1那么令 原式方法 2变量替换有理

13、化意义：例8解第六节 极限存在准那么 两个重要极限一、极限存在准那么二、两个重要极限三、小结 思考题一、极限存在准那么1.夹逼准那么证上两式同时成立,上述数列极限存在的准那么可以推广到函数的极限注意:准那么 和准那么 称为夹逼准那么.例1解由夹逼定理得2.单调有界准那么单调增加单调减少单调数列几何解释:例2证(舍去)二、两个重要极限(1)假设那么推广：例3解(2)推广：123假设那么4假设那么例4解例5解1解2 原式=第七节 无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换三、小结 思考题一、无穷小的比较例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢程度不同.不可比.观察各极限定义:例如，例1解证必要

14、性充分性意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如,常用等价无穷小:例解二、等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理)证例解假设未定式的分子或分母为假设干个因子的乘积，那么可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例解例解解错说明:(1)无穷小量和差取低阶规那么: 假设 = o() , (2)无穷小量和差代替规那么: 例如,例如,(3)无穷小量因式代替规那么:界, 那么例如,(4) 无穷大量和差取高阶规那么:例如,第八节 函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函

15、数的间断点三、小结 思考题一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,例3证二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 那么可使其变为连续点.如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点或左右极限都存在的间断点统称为第一类间断点.3.第二类间断点例6解例7解狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.

16、仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.判断以下间断点类型:例8解第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性一、四那么运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性一、四那么运算的连续性定理1例如,二、反函数与复合函数的连续性定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.定理3证将上两步合起来:意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解例2解同理可得定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内

17、是连续的.定理5 根本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续 )定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2. 初等函数求极限的方法代入法.例3例4解解一、最值定理 二、介值定理 第九节 闭区间上连续函数的性质 注意: 假设函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即: 设那么使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 推论. 由定理 1 可知有证: 设上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 二、介值定理定理2. ( 零点定理 )至少有一点且使( 证明略 )定理3. ( 介值定理 )设 且那么对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证: 作辅助函数那么且故由零点定理知, 至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值