趣味数学-高斯求和 完整版课件

1、趣味数学 数学家的故事高斯 1796年的一天，德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的数学题。 正常情况下，青年总是在两个小时内完成这项特殊作业。 像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了。第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。 青年没有在意，像做前两道题一样开始做起来。然而，做着做着，青年感到越来越吃力。 困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题。当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题。 作业交给导师后，导师当即惊呆了。他用颤

2、抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时，不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。” 多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它。” 这个青年就是数学王子高斯。 有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好，这就是人们常说的无知者无畏。 高斯是贫寒家庭出身。他的祖父是农民，父亲除了从事园艺的工作外，也当过各色各样的杂工，如护堤员、建筑

3、工等等。父亲由于贫穷，本身没有受过什么教育。 母亲在三十四岁时才结婚，三十五岁生下了高斯。她是一名石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，他手巧心灵是当地出名的织绸能手，高斯的这位舅舅，对小高斯很照顾，有机会就教育他，把他所知道的一些知识传授给他。而父亲可以说是一名”大老粗”，认为只有力气能挣钱，学问对穷人是没有用的。 高斯在晚年喜欢对自己的小孙儿讲述自己小时候的故事，他说他在还不会讲话的时候，就已经学会计算了。 高斯还不到三岁的时候，有一天他观看父亲在计算受他管辖的工人们的周薪。父亲在喃喃的计数，最后长叹的一声表示总算把钱算出来。 父亲念出钱数，准备写下时，身边传来微小的声音：“爸爸！算错了，钱应该

4、是这样”。 父亲惊异地再算一次，果然小高斯讲的数是正确的，奇特的地方是没有人教过高斯怎么样计算，而小高斯平日靠观察，在大人不知不觉时，他自己学会了计算。 当他还在小学读书时，有一天，算术老师要求全班同学算出以下的算式：1+2+3+4+98+99+100=？ 在老师把问题讲完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地写下答案5050，而其它孩子算到头昏脑胀，还是算不出来。最后只有高斯的答案是正确无误。 原来：1+100=101，2+99=101，3+98=10150+51=101 前后两项两两相加，就成了50对和都是101的配对了即10150=5050。高斯的算法123499100？110029939

5、849525051。1100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。数列 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数按照一定的顺序规律排列起来就是一个数列。 如果在这个数列中，任意两个相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数列。其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。相邻两个数之间的差称为公差，这列数中数的个数称为项数。 例 如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。 其中（1）是首项为1，末项为

6、100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）项数2。 例1 1231999？分析与解：这串加数1，2，3，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得（11999）199921999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例2 11121331？分析与解：这串加数11，12，13，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11121（项）。 （11+31）212=441在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1）例3 371199？分析与解：3，7，11，99是公差为4的等差数列，项数=（993）4125， （399）2521275例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。想：末项=253（40-1）142 （25142）4023340利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求