可逆矩阵精品课件

1、可逆矩阵第1页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二第三章 可逆矩阵 本章教学内容1 可逆矩阵的定义及性质2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算3 矩阵的秩第2页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质 本节教学内容1.可逆矩阵的概念2.可逆矩阵的性质第3页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质1.可逆矩阵的概念考察矩阵方程 AX=C,问X=?矩阵不存在除法，怎么办？我们自然想到，若存在B,使BA=E,则有 BAX=BC ，即 X=BC不用除法，解方程 2x=4 B叫做A的逆矩阵第4页，共50页，202

2、2年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质定义1.1设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E则称方阵A为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，简称A的逆。注:可逆矩阵与逆矩阵是同阶方阵，非方阵不论及可逆性，方阵不一定可逆。 例第5页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质注:可逆矩阵也称非奇异矩阵， 不可逆矩阵称奇异矩阵。第6页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质2. 可逆矩阵的性质性质1 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的.证 设矩阵B,C均为矩阵A的逆矩阵，则 BA=AB=E, CA=AC=E,于

3、是 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C. #记号: A的逆矩阵记做A-1.第7页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质例 证明:初等矩阵可逆且证所以命题成立. #第8页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质性质2 若A可逆，则A-1可逆，且(A-1)-1=A.证所以A-1可逆，且(A-1)-1=A. #性质3证 #第9页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质性质4 若A可逆，则AT可逆，且(AT)-1=(A-1)T.证 故 AT可逆，且(AT)-1=(A-1)T. #

4、性质5 若A,B同阶且都可逆，则AB可逆，且 (AB)-1=B-1A-1 证故 AB可逆，且 (AB)-1=B-1A-1 . #第10页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质注 一般的， (AB)-1A-1B-1推论1 若A1, A2, , Am,都是n阶可逆矩阵，则推论2 若A可逆，m为正整数，则Am可逆，且于是，对一切整数k,l，有 AkAl =Ak+l， (Ak)l =Akl.第11页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二1 可逆矩阵的定义及性质本节学习要求 理解逆矩阵的概念，熟悉逆矩阵的性质，会用定义验证逆矩阵。作业：习题3.1(

5、A) 第3题第12页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算 本节教学内容1.伴随矩阵与逆矩阵的计算2.用初等变换求逆矩阵3.分块对角矩阵的逆矩阵第13页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算1.伴随矩阵与逆矩阵的计算定义2.1 设n阶方阵A=(aij), 元素aij在A中的代数余子式为Aij，则矩阵称为A的伴随矩阵。第14页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算定理2.1 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则 AA*=A*A=AE .证第

6、15页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算定理2.1 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则 AA*=A*A=AE .证第16页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算定理2.2 方阵A可逆 A0，若A可逆，则证 若A可逆，则AA-1 =AA-1 =E=1， A0； 若A0，由定理2.1有所以A可逆，且定理作用：判断方阵可逆性，求逆阵。第17页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算例 设解二阶方阵的逆有规律吗？第18页，共50页，2022年

7、，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算例1 设解所以A可逆. 第19页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算例1 设解 第20页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算例1 设解 第21页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算定理2.3 方阵A可逆 存在方阵B，使AB=E. A-1=B.证 ) 取B=A-1 即可.) AB =AB =E=1， A0， A可逆，且 A-1=A-1E=A-1(AB)=(A-1A)B=

8、EB=B. #推论2.1 设A,B均为n阶方阵，若AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B, B-1=A. 推论作用：论证方阵可逆性，及逆阵形式. 第22页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算例2 设方阵A，使E+A可逆，且B=(E+A)-1(E-A),求 (E+B)-1.解 由B=(E+A)-1(E-A)，得(E+A)B=E-A,从而E+A+(E+A)B=2E, 即(E+A)(E+B)=2E第23页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算2.用初等变换求逆矩阵定理2.4 方阵A可逆 矩阵A经

9、有限次初等变换可变成单位矩阵. 证 设A的标准形为B，即存在初等矩阵第24页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算定理2.5 方阵A可逆 矩阵A可表示成有限个初等矩阵的积.证 ) 方阵A可逆，则存在初等矩阵P1, P2,Ps,Q1,Q2,Qt，使PsP2P1AQ1Q2Qt=E .又初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵，所以A是有限个初等矩阵的积.) 若矩阵A可表示成有限个初等矩阵的积.由初等矩阵可逆知A也可逆。 #第25页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算定理2.6 方阵A可逆 矩阵A经有限次初等

10、行变换可变成单位矩阵. 证 ) 由定理2.4 可知；) 方阵A可逆，则A-1可逆，即矩阵A经有限次初等行变换可变成单位矩阵.推论 方阵A可逆 矩阵A经有限次初等列变换可变成单位矩阵. 第26页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算用初等行变换求逆矩的方法:设方阵A可逆 ,则存在初等矩阵第27页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算例4 用初等行变换求矩阵A可逆 解 第28页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算例5 解矩阵方程 AXB=C

11、，其中解 X=A-1CB-1，由例4知第29页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算解 X=A-1CB-1，由例4知第30页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算用初等列变换求逆矩的方法:设方阵A可逆 ,则存在初等矩阵第31页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算3.分块对角矩阵的逆矩阵设分块对角矩阵第32页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算例6 求矩阵A的逆矩阵， 解 第33页，共5

12、0页，2022年，5月20日，7点17分，星期二2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算本节学习要求1.理解伴随矩阵与逆矩阵的概念，会用伴随矩阵求低阶可逆矩阵的逆；2.掌握用初等行变换求逆矩阵的方法，会解矩阵方程；3.掌握分块对角矩阵的逆矩阵的求法；4.理解各定理，知道其作用，熟悉矩阵可逆的充要条件，会判断矩阵是否可逆，熟悉矩阵与其伴随矩阵的关系。作业：习题3.2(A) 第2(2), 8, 11题第34页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩 本节教学内容1.矩阵的秩的概念2.用初等变换求矩阵的秩3.矩阵的秩的讨论第35页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，

13、星期二3 矩阵的秩1.矩阵的秩的概念定义3.1 在nm矩阵A中，取某k个行及某k个列(1kminn,m)，由这些行与列相交处的元素(其位置次序不变)构成一个k阶行列式，叫做A的一个k阶子式。注：nm矩阵A的k阶子式共有第36页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩定义3.2 若矩阵A的一个r阶子式的值不等于零，而所有的r+1阶子式(存在的话)的值都等于零，则称数r为矩阵A的秩，记作R(A)，规定R(O)=0.性质 设A为nm矩阵，则 R(A)minn,m； R(AT)=R(A).第37页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩例1(1) 求

14、矩阵A的秩解 A的2阶子式A的3阶子式只有A,第38页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩例1(2) 求矩阵B的秩解 B的3阶子式B的4阶子式都等于0，行阶梯形矩阵的秩 =非零行的行数第39页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩2.用初等变换求矩阵的秩定理3.1 若矩阵A经过有限次初等变换化为B，则 R(A)=R(B).注：若将A化为行阶梯形矩阵B，易知A的秩定理3.1中A与B为等价关系,所以有：推论3.1 若AB，则 R(A)=R(B). 推论3.2 设A为mn矩阵，P为m阶可逆矩阵， Q为n阶可逆矩阵，则 R(A)=R(PA)=R

15、(AQ)=R(PAQ)第40页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩例2 求矩阵A的秩解第41页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩所以R(A)=3.第42页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩3.矩阵的秩的讨论定义 设A为mn矩阵，当R(A)=m时，称A为行满秩矩阵；当R(A)=n，称A为列满秩矩阵。 设A为n阶方阵，当R(A)=n时，称A为满秩矩阵，当R(A)n时，称A为降秩矩阵。特征 A满秩 A 0 A可逆 A非奇异， A降秩 A =0 A不可逆 A奇异.第43页，共50页，2022年，5月20日，7

16、点17分，星期二3 矩阵的秩定理3.2 设A为mn行满秩矩阵，则存在nm列满秩矩阵B，使AB=E.证 R(A)=mminn,m， mn. 若n=m，则A为满秩矩阵，A可逆，取B=A-1，有AB=E，B可逆，B为nm列满秩矩阵。 若mn，则由R(A)=m知A有m阶子式A1 0,A经初等列变换可使A1位于矩阵的前m列，即存在可逆矩阵P使 AP=(A1, A2) .第44页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩由推论3.2知即B为nm列满秩矩阵。 # 第45页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩例3 设A为mn矩阵， B为np矩阵，证明 R(

17、AB) R(A)+R(B)-n.证 设R(A)=r，则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使第46页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩注意到B1是Q-1B去掉n-r行得到的，而矩阵每去掉一行，则秩数减1或不变，因此所以注 在例3中若AB=0，则有 R(A)+R(B)n. (n为A的列数)第47页，共50页，2022年，5月20日，7点17分，星期二3 矩阵的秩例4 设A为n阶方阵(n2)，A*为A的伴随矩阵, 试证 当R(A)=n时， R(A*)=n； 当R(A)=n-1时， R(A*)=1； 当R(A)n-1时， R(A*)=0.证 当R(A)=n时， 当R(A)=n-1时，第48页