拉普拉斯方程

1、拉普拉斯方程(Laplaces equatiOn )又称调和方程、位势方 程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得 名。拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述 曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平 面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为 该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2 ,用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内 部的压强pl与液体外的压强p2就会不同，在液

2、面两边就会产生压 强差AP= P1- P2 ,称附加压强，其数值与液面 曲率大小有关，可表示为:,式中Y是液体表面张力系数，该公式称为拉,式中Y是液体表面张力系数，该公式称为拉+ + =O+ + =O血却,其中？2为拉普拉斯普拉斯方程。在数理方程中拉普拉斯方程为: 算子，此处的拉普拉斯方程为二阶 偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量X、y、Z二阶可微的实函数 :其中?2称为拉普拉斯算子。拉普拉斯方程的解称为调和函数。如果等号右边是一个给定的函数f （X，y，Z），即：则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的 椭圆型偏微分方程。偏微分算子

3、飞（可以在任意维空间中定义这样 的算子）称为拉普拉斯算子，英文是LaPIaCe OPeratOr或简称作 LaPlaCian。方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两 个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意 线性微分方程）， 这两个函数之和（或任意形式的 线性组合）同样满足前述方程。这 种非常有用的性质称为 叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已 知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。二维方程两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：2u2u 1= 0解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。人物介绍拉普拉斯， 1749 年 3 月 23 日生于法国西北部 卡尔瓦多斯

4、的博 蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。 1795 年任巴黎综合工科学 校教授，后又在高等师范学校任教授。 1799 年他还担任过法国经度 局局长，并在拿破仑政府中任过 6 个星期的内政部长。 1816 年被 选为法兰西学院 院士， 1817 年任该院院长。 1827 年 3 月 5 日卒于 巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学 的方法，以他的名字命名的 拉普拉斯变换 、拉普拉斯定理 和拉普拉 斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和 拿破仑 结下不解之缘。拉 普拉斯在数学上是个大师，在政治上是个小人物、墙头草，总是效 忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把 无穷小量 的精神 带到内阁里。在席卷法国的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰 落，没有显著地打断他的工作。尽管他是个曾染