湖南省长沙市雅礼教育集团2020-2021学年高一上学期期中数学试题

1、湖南省长沙市雅礼教育集团2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知全集。=123,4,5,6,7,8,集合4 = 2,3,5,6,集合3 = 1,3,4,6,7,则集合AcQl=()A. 2,5B. 162.下列各组函数中表示同一函数的是(A. y =工-1和=上二1 x + C. y = a2 和 y = (x + l)-3.命题“3xeR,的否定形式是A. VveR, 1 y 2C. 3xwR, y2C. 2,5,6 D. 235,6,8 )B.、=%。和丁 = 1(工/?)D-=誓和丫=后()B.玉eR, 1 y 2.若奇函数/(x)在区间3,

2、6上是增函数，在区间3, 6上的最大值为8,最小值为1，则 2/(-6) + /(3)的值为()A. 10B. -10C. -15D. 151 4.已知”0力。，a+b = 2,则)，=一 十 的最小值是() a b7A. B. 429C. -D. 52 6,函数/(x) = ln(x22x 8)的单调递增区间是A. (yo,-2)A. (yo,-2)D. (4,+co). %=广是“函数/(x)=k4在区间口,+8)上为增函数”的()A.充分不必要条件B.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,C.充要条件.已知函数/（%） = 满足/=4,则函数g（x） = |log,（x +

3、 l）的图象大致为（二、多选题.给出下面四个推断，其中正确的为().A.若aw(0,+co),则 2 +，22： a b若 x, y w (0, +co)则 Ig x + 1g:4C.若c/eR, 则一+ 24； ax yD.若x,yeR, xy0时，f（x） = x- -2x,则x0且。工1）在（0, 1）上是减函数，则实数”的 取值范国是（1, 2C.在同一平而直角坐标系中，函数y = 2、与,，=1。82工的图象关于直线）=%对称 21D.若30 =4, =36,则二+ 7的值为112.,、 2V 一 12.,、 2V 一 1己知函数下而说法正确的有（）A./（x）的图像关于原点对称B.

4、/（x）的图像关于y轴对称了5）的值域为（T1）D.Vxpx2 e R ,且内 W 9）一士） 0D.七一七 养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度了（单位：千克/年）是养殖密 度X （单位：尾/立方米）的函数.当工不超过4尾/立方米时，U的值为2千克/年：当 4x20时，v是x的一次函数，当工达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，口的值 为0千克/年.三、填空题13.若器函数y = /（M的图象经过点9, ；则/（25）三、填空题13.若器函数y = /（M的图象经过点9, ；则/（25）的值是14.lg| + 21g2-+2 =2k 2 71215.若函数y = /（x）为偶函数

5、，且在（0, +8）上是减函数，又/（1） = 0,则仁3。的解集为.设函数/（工）=/用+ *】，若词之/，+4）恒成立，则实数“的取值范1 I X国是四、解答题. （1）解不等式2/一工一30：（2）若3/+-+ 3N0的解集为R，求实数的取值范I乱.已知函数=一，且/=2, 2） = 12.（1）求”，b的值;（2）若xe2,1,求/（力的值域.已知命题-不等式Vx帆0成立”是真命题.求实数”的取值范围：（II）若4: Y v6- v 4是的充分不必要条件，求实数。的取值范围. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水闱网”（1）当0犬20时，求口关于x的函

6、数解析式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并 求出最大值.x + h.已知函数/（口=笆丁的定义域（一1，1）.（1）当。=2时，求f（x）的值域:（2）当 =0时，解不等式/（1 1） + /。）0.已知函数/(x) = log2(2+l)/. i w1（1）解关于X的方程/（A0 + -x + 1 I /（X）+ 3工-1 =3； 乙）、乙）（2）若函数g（x） = 2*+2-X-2加2/（x）+eR）在04工2上的最小值为2,求的值.参考答案A【解析】。出=2,5,8，所以 AcB = 2,5,故选 A.考点：集合的运算.D【分析】 根据函数的

7、定义域和解析式是否相同判断.【详解】y = x - l的定义域为R,），=二11的定义域为xlxw-l,故错误: x + 1y =一和定义域为xlxHO,尸1定义域为R,故错误:y = f和y =（x+i）-解析式不同，故错误:Dj(x) = Mi匚=1，定义域为卜卜0, ga) = 77th = 1,定义域为410,故正 X(6)确: 故选：D【点睛】 本题主要考查相等函数的判断，属于基础题.3.D【分析】 直接根据特称命题的否定为全称命题，写出答案.【详解】 量词“3改为V ”,结论 1 v y K 2”的反面是“ y 1或y 2:故选：D.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对

8、概念的理解，属于基础题.C【分析】先利用条件找到了(3)= -1, /(6) = 8,再利用是奇函数求出八一3), /(-6)代入即可.【详解】解：由题意在区间3, 6上是增函数，在区间3, 6上的最大值为8,最小值为-1，得/(3)= -1, /(6) = 8,/1)是奇函数，.-/(-3) + 2/(-6) = -/(3)-2/(6) = l-2x8 = -15.故答案为：-15.C【分析】利用题设中的等式，把)的表达式转化成(色=)(+ ?),展开后，利用基本不等式求得) 2ab的最小值.【详解】因为a，a+b = 2,叱 14,4 + 、/4、5 b 2。、5 c lb 2a 9 口所

9、以)，=一 + 一 =()(- + -) = - + - + - + 2J-x- =-(当且仅当 TOC o 1-5 h z a h 2ab 22ab 272ab2-=心，即/?=加时等号成立).2a b1 49所以y = 十一的最小值是.a b2故选：C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二 定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.D【解析】 由2x 8。得：A- G (-00,-2) U (4,+co) 令，=/一21一8,则产Im,VxG(-oc-2)lhtj=x2 -2a -8 为减函数:xG (4，+oo)时,仁

10、一 2x _ 8为增函数：产为增函数，故函数./U)=ln(x2 _2x _ 8 )的单调递增区间是(4,也)，故选D.点睛：形如y = /(g(x)的函数为y = g(x), y = /(x)的复合函数，y = g(x)为内层函 数，=/(犬)为外层函数.当内层函数y = g(x)单增，外层函数y = /(x)单增时，函数y = /(g(x)也单增： 当内层函数y = g(x)单增,外层函数y=f (力单减时,函数y=g(x)也单减: 当内层函数y = g(x)单减，外层函数y = /(x)单增时，函数y = /(g(x)也单减： 当内层函数y = g(工)单减，外层函数y = /(x)单减

11、时，函数y = /(g(x)也单增. 简称为“同增异减”.A【详解】函数.)的单调增区间为E 4-00),减区间为(一8, ,所以当4=1时，增区间为1, +00), 所以在2, +8)上也递增.当7U)在区间2, +8)上为增函数，则有，区2,所以=1不一定 成立.“a=l”是“函数/*)=卜4在区间1,+8)上为增函数”的充分不必要条件，故选A. 8. C【分析】 由已知求出。，得g(x)表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项.【详解】由恬2 =4，。= 2,(x) = |log2(x + l)| = -log由恬2 =4，。= 2,(x) = |log2(x + l)| =

12、0,一）。，则11 = _（_ 1）+（_ 1） -2 （-X（-） = -2 ,当且仅当（一二） = （_），即x=_y y x y x V xx时取等号，即选项D正确，即四个推段中正确的为AD,故答案为AD.【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等“，属基础题.ABD【分析】根据奇函数的定义与性质判断.【详解】 由/（。） = 一/（。）得/（。） =。，A 正确:当X20时，则x0时，/(x) = x1所以二+ =log%36 = l,故。正确.ci b故选：1所以二+ =log%36 = l,故。正确.ci b故选：BCD.【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复

13、合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可；12. AC【分析】依次判断每个选项：判断奇偶性得出A正确，B错误：利用换元法求/J)的值域，可得出/(X)= / (-x) = (x) 2 x (X) = x - 2x , D 正.确.故选:ABD.【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关犍.BCD【分析】直接利用复合函数的性质判定A的结论，利用对数的运算判断3、。的结论，利用函数的 对称性判断C的结论.【详解】解：对于4：函数丁 =(：尸的最小值为故4错误；对于4 ：已知函数产log“(2-词(a 0且“ W 1)在(0,1)上是减函数，a所以J C ，解得10和/(x)0的解集，

14、再根据偶函数的性质，将不等式转化为厂/(1)0,再直接解不等式.【详解】因为函数是偶函数，关于)轴对称，/(-1) = /(1) = 0,根据函数的单调性可知当时，“X)二0,当X(T2-1)U(1,”)时，/(x)o,/(x) + / (r)2/,(x)、/、n_i 0 v 7 0 ,即 x.f(x)0 x0 x0，解得：XG(-hO)U(h+0和/(“。的解集，再根据分数 不等式的解法，解不等式.16. -4,4【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，根据函数性质，不等式等价于/ (ar) / (x2 + 4)/ (|) f (x2 + 4),再根据函数的单调性得同+4,再利用参变分离的方法

15、，转化为函数的最值，求。的取值范用【详解】由函数的解析式可知函数的定义域为R,且满足/(力=/(耳，所以函数是偶函数，当x0 时,x0 时,口-Jr,2 + x22 + x2/(、) = )-+占T (x。)，乙人4y = e-是单调递减函数，y = _f-l(x 0)也是减函数,4I人所以函数/(x) = ei+my l (x0)是单调递减函数 乙I人f (公)/(x2+4)=/(|ax|) f (x2 + 4),即当工=0时，不等式成立,x? + 44当工00时，同=卜|+国,x? + 44当工00时，同=卜|+国,4+同I I / min43+南2=4,当工=2时，等号成立,即 |40-

16、4674,综上可知4的取值范围是-4,4.故答案为：T,4【点睛】本题考查指数函数，函数的奇偶性和函数的单调性，解抽象不等式，属于中档题型.方法点睛：本题涉及利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式，一般包含以下方法：.奇函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数的给定区间上的单调性，将不等式转化为 /(N)v/(W)的形式，再根据单调性去掉“/，再解不等式；.偶函数和单调性解抽象不等式，首先确定函数在(0,+8)的单调性，根据 /(-x) = /(x) = /(|x|),将不等式转化为/(同)。，求出解集即可:(2)利用判别式()，列不等式求出的取值范围.【详解】 解：(1)不等式2丁_工一30可

17、化为(x + l)(2x - 3)。,3解得xv-1或x , 2所以不等式的解集为(3,-1)呜,):(2) 3/+队+ 3)。的解集为R,所以 = 4x3x33，解得所以实数。的取值范围是-6,6.【点睛】a 0AO（wO）恒成立，则0a 0AO（wO）恒成立，则0A0若o+bx + cWO, WO)恒成立，则,a0A0若aP+Z?x+cO（4wO）恒成立，则，a 0A018. (1) 。= 4, 。= 2： (2)24 对于一元二次不等式，若依2+法+。20（。工0）恒成立，则【分析】（1）由条件1） = 2,2） = 12代入函数,求函数的解析式：（2）由（1）知/（工）=4一2二 xe

18、-2j,再利用换元法，转化为二次函数求最值.【详解】a - b = 2（1）由条件可知，解得：（1）由条件可知a + b = 6(2) /(x) = 4A-2 xe-2,l设2小,，）=产1? 12)4当，）=产1? 12)4当ft时，函数单调递减，|1,2时，函数单调递增,.= 时，函数取得最小值一 1, 24/；）= 一2，f（2） = 2, .函数的最大值是2, 综上可知函数的值域是一1,2【点睛】本题考查指数函数，二次函数求值域，属于基础题型.方法点睛：与指数函数，对数函数有关的二次函数求最值，首先换元，转化为二次函数，再 利用对称轴与定义域的关系求最值.(I) (2什)(II) 6,

19、)【分析】(I )根据命题P是真命题，得不等式恒成立,将不等式恒成立转化为最大值成立，即可得到；(II)先化简命题q：a-4m/一不在一14工(x2-X)max(-lWXl)，、(1Y 1内为.x= X, I 2) 4所以一14厂一X42,即(厂 一 X)max =2,62,所以实数小的取值范围是(2,一)(H)由 q 得。一4？，所以。一422,即之6所以实数。的取值范围是6,xo)【点睛】本题考查了不等式恒成立转化为最值成立以及充分不必要条件的应用，属于中档题.2,(0 x4,xe?/*)(1) v = i 5；(2)当养殖密度x为10尾/立方米时，鱼的x + -A4x20yxeN4)18

20、2 v725年生长量可以达到最大为一千克/立方米.2【分析】(1)由题意：当0 x4时，v(x) = 2 .当4W，W20时，设y(x) = x+。，y(x) = at+。在H, 20是减函数，由已知得在H, 20是减函数，由已知得20a + h = 04a + b = 2能求出函数u(x).2x,0Kx v4,xe N*(2)依题意并由(1), /(x) =1)2, 八，根据分段函数的性质求x-+-x,4Wx420”N* 85出各段的最大值，再取两者中较大的即可，由此能求出结果.【详解】解：(1)由题意：当0ex4时，v(x) = 2 .当4Wx420时，设依幻=心+。，显然似x) = ax

21、+在4, 20是减函数，由已知得20a + b = 0由已知得20a + b = 04。+ = 2 TOC o 1-5 h z 解得 4 = 一,，b = 9 822,0 x4,xe故函数) = 15.x + Ax20.xeN 82(2)依题意并由(2)依题意并由(1)得/(幻=2一一犬 +二U20,xe N*85当0Kx4时，/*)为增函数, 且 4) = 4x2 = 8.121当4Wx420时，/(x) = -x2+x =(x-10)2 + 12.5,8 5sx)2=/(1)= 12.5.所以，当0 xK20时，的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最

22、大值约为12.5千克/立方米.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.21. (1)一21. (1)一1一 走 2:(2)【分析】（x + 2 _ 1（1）由）=2得到,IV一二万一三T，令x + 2y= J = d（.2）3 =（x + 2）+ _2_4，利用对勾函数的性质求解. x + 2x + 2x + 2V（2）由8 = 0得到/（x） = i，易得函数是奇函数，再分x = 0和xwO分析函数的单调 X 1性，然后结合奇偶性利用函数的单调性的定义解不等式.【详解】f( .)_x + 2_1(1)当。=2时，x + 2& a2 - 1 (x