专升本《高等数学》精选练习强化试卷14

1、专升本高等数学精选练习强化试卷14一选择题1微分方程的待定特解为（ B ） （A）； （B）；（C）； （D）（为待定常数）。2微分方程的待定特解为（ D ） （A）； （B）；（C）； （D）。二填空题1设（为任意常数），为某二阶常系数齐次微分方程的通解，则该方程为。解：由通解的结构知，齐次方程的特征方程有根，特征方程为，即， 故所求的微分方程为。2的通解是。解：特征方程为 ， 故方程的通解为。3已知方程的三个特解： ，则该方程满 足，的特解为。 解：，是对应的齐次方程 的两个解，且这两个解线性无关，由非齐次方程解的结构定理知，的通解为 。 把，代入，得， 所求特解为，即。三、解答题1设，是

2、某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。解：设所求微分方程为， ，是方程的解， 特征方程有根：，。 特征方程为，即。 故齐次方程为， 非齐次方程为， 把代入非齐次方程，得， 所求微分方程为。2设，求。解：， ， 得初值问题：。 方程对应的齐次方程的通解为， 设非齐次方程的一个特解为，将之代入原非齐次方程，解得，所以， 故所求非齐次方程的通解为。 ， 代入初始条件，得， 所求特解为。3求微分方程满足条件，的特解。解：由， 得， 令，则得，化简得， 即， 特征方程为， 对应的齐次方程的通解为， 设非齐次方程的特解为，代入方程，得， ， 从而方程的通解为。 故原方程的通解为， 代入条件，得

3、， 原方程的特解为。4利用代换将方程化简，并求出原方程的通解。解：由，得， 两边对求导，得， 于是原方程， 化为， 特征方程为， 方程对应的齐次方程的通解为， 由观察可知方程的一个特解为 方程的通解为，故原方程的通解为。5设L是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点（）。试求曲线L的方程；求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小？解：设曲线L过点的切线方程为， 令，则得该切线在y轴上的截距为。由题设知， 令，则此方程可化为，解之得。 由L经过点（），知，故L的方程为， 即。 设第一象限内的曲线在点处的切线方程为

4、 ，即（）， 它与x轴与y轴交点分别为（）与（）， 所求面积为， ， 令，得。当时，；时， 是在内的唯一极小值点，即最小值点。 故所求切线为 ， 即。6设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点处的曲率为，且此曲线上点处的切线方程为，求该曲线的方程，并求出函数的极值。解：曲线向上凸，。 ， 即，且，。 令，则方程化为， 分离变量得，积分得， ，代入初始条件，得， ，代入初始条件，得， ，。 令，得驻点， ，当时，函数取得极大值。7一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积成正比，比例常数。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为雪堆在开始融化的3 小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时？解：设雪堆在时刻的体积，侧面积，由题设知，积分得，由，得，故，又，即，解得，从而. 因雪堆全部融化时，故得，即雪堆全部融化需6小时。解法二：