角平分线性质 详细版课件

1、角平分线的性质（1，2课）复习提问1、角平分线的概念 2、点到直线距离的意义。一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（ ）图1图2BPAl1l2PA下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）PM 如右图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?探究1：ACDBE已知:AOB求作：AOB的平分线（1）以O为圆心，适当长为半径作

2、弧，交OA于M，交OB于N。（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点C。（3）作射线OC。射线OC即为所求。A0BMNC做法：AO仔细观察步骤尺规作角的平分线ABOAOEBCPD 将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.折一折探究2：已知：如图，OC是的AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。求证：PD=PEC证明： PDO

3、A，PEOB（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）在PDO和PEO中 PD=PE（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）问题探究ABODEPC角平分线的性质1： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC性质应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。性质的作用： 证明线段相等。性质的书写格式：OP 是 的平分线PD = PE（在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。1. 如图，AD平分BAC（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到

4、这个角的两边的距离相等。BD CD（）练习：2. 如图， DCAC，DBAB （已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BD CD（）3. AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。不必再证全等4.ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE5.如图所示， ABC中，AB=AC，M为BC中点，MDAB于D，MEAC于E。求证：MD=ME。BM是ABC的角平分线,点P在BM上CN是ABC的角平分线,点P在CN上ABCPMNDEF PD=PE

5、PE=PF(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).PDPE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F例1 已知：如图ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？ OBPEPDOA议一议 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 已知：如图， ， ，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点P在 的角平分线上。BADOPE 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，P

6、D=PE， 求证：点P在 的角平分线上。证明：作射线OP 点P在 角的平分线上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边）PD = PE （ 已 知 ）性质 2BADOPE性质 2的应用书写格式：OP 是 的平分线PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）DEOP AB例1、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.学以致用AAAAAAADNEBFMCA例2.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的

7、角平分线。ABCEFD例3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分 线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上性质 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。性质 2 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。BADOPECPD = PEOP 是 的平分线OP 是 的平分线PD = PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(

8、_)(2). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。角平分线上的点到角的两边的距离相等随练习堂例2 已知：如图ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上证 明：过F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距

9、离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?变式训练 直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。1 如图，DEAB，DFBC，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= 。60BF2 如图，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=。角的平分线AC应用与拓展1.在ABC中, C=900,AD平分BAC交BC于点D,若BC=8,BD=5,则点D到AB的距离为多少