微积分下册主要知识总结点总结

1、适用标准文案一、第一换元积分法(凑微分法)g(x)(x)dxg(u)duF(u)CF(x)C.积分种类换元公式1.f(ax)1f(ax)(b)(a0)bdxabdaxuaxb2.f(x)x1dx1f(x)d(x)(0)ux3.f(lnx)1f(ln)(lnx)ulnxx第4.f(ex)exdxf(ex)dexuex一5.f(ax)axdx1f(ax)dax换uaxlna元6.f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinxusinx积7.f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosxucosx分8.f(tanx)sec2xdxf(tan)tanx法xdutanx9.f(cotx)csc2

2、xdxf(cotx)dcotxucotx10.f(arctanx)1dxf(arctanx)d(arctanx)uarctanx1x211.f(arcsinx)1dxf(arcsinx)d(arcsinx)1x2uarcsinx二、常用凑微分公式三、第二换元法f(x)dxf(t)(t)dtF(t)CF(x)C,注:以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,其一般规律以下:当被积函数中含有a)a2x2,可令xasint;文档适用标准文案b)x2a2,可令xatant;c)x2a2,可令xasect.当有理分式函数中分母的阶较高时,常采纳倒代换x1.t四、积分表续4.3分部积分法分部

3、积分公式：udvuvvdu(3.1)uvdxuvuvdx(3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算.一般地,以下种类的被积函数常考虑应用分部积分法(此中m,n都是正整数).xnsinmxxncosmxenxsinmxenxcosmxxnemxxn(lnx)xnarcsinmxxnmxxnmx等.arccosarctan5.1定积分的观点5.2定积分的性质两点增补规定：(a)当ab0;(b)当ab时,bab时,f(x)dxf(x)dxf(x)dx.aabbbb性质1性质2性质3f(x)g(x)dxf(x)dxg(xdxaaabkb(k为常数).kf(x)dxf(x)dx,

4、aabcbf(x)dx.f(x)dxf(x)dxcaa性质4bb1dxdxba.aabb性质5若在区间a,b上有f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx,(ab).aab推论1若在区间a,b上f(x)0,则f(x)dx0,(ab).a文档适用标准文案bf(x)dxb推论2|f(x)|dx(ab).aa性质6(估值定理)设M及m分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值及最小值,则bf(x)dxM(ba).m(ba)a性质7(定积分中值定理)假如函数f(x)在闭区间a,b上连续,则在a,b上起码存在一个点,使b)(ba),(ab).f(x)dxf(a5.3微积分的基本公式一、引例x二、积分上限

5、的函数及其导数：(x)f(t)dta定理2若函数f(x)在区间a,b上连续,则函数(x)xf(t)dta就是f(x)在a,b上的一个原函数.三、牛顿莱布尼兹公式定理3若函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,则bf(x)dxF(b)F(a).(3.6)a公式(3.4)称为牛顿莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1设函数f(x)在闭区间a,b上连续,函数x(t)知足条件：（1）()a,()b,且a(t)b；（2）(t)在,(或,)上拥有连续导数,则有文档适用标准文案bf(t)(t)dt.(4.1)f(x)dxa公式(4.1)称为定积分的换

6、元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很近似.可是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用x(t)把变量x换成新变量t时,积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出f(t)(t)的一个原函数(t)后,不用象计算不定积分那样再把(t)变换成原变量x的函数,而只需把新变量t的上、下限分别代入(t)而后相减就行了.二、定积分的分部积分法buvabbbuvbabudvvdu或uvdxvudxaaaa5.5广义积分一、无量限的广义积分f(x)dxF(x)|aF()F(a)abF(x)|bF(b)F()f(x)dxf(x)dxF(x)|F()F()二

7、、无界函数的广义积分blimbf(x)dx0f(x)dxaablimbf(x)dx0f(x)dx.aa5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的全部应用问题，一般总可按“切割、乞降、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.文档适用标准文案能够抽象出在应用学科中宽泛采纳的将所求量U（总量）表示为定积分的方法微元法，这个方法的主要步骤以下：(1)由切割写出微元依据详细问题，选用一个积分变量，比如x为积分变量，并确立它的变化区间a,b，任取a,b的一个区间微元x,xdx，求出相应于这个区间微元上部重量U的近似值，即求出所求总量U的微元dUf(x)dx；(2)由微元写出积分依据dUf(x)dx写出

8、表示总量U的定积分UbbadUf(x)dxa微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中拥有宽泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实质问题时，应注意以下两点：(1)所求总量U对于区间a,b应拥有可加性，即假如把区间a,b分红很多部分区间,则U相应地分红很多部重量,而U等于全部部重量U之和.这一要求是由定积分观点本身所决定的;(2)使用微元法的关键是正确给出部重量U的近似表达式f(x)dx，即便得f(x)dxdUU.在往常状况下，要查验Uf(x)dx能否为dx的高阶无量小并不是易事，所以，在实质应用要注意dUf(x)dx的合理性.二、平面图形的面积1

9、）直角坐标系下平面图形的面积2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元dA1r()2d2所求曲边扇形的面积A12d.()2文档适用标准文案三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元dVf(x)2dx,所求旋转体的体积b()2.Vfxdxa四、平行截面面积为已知的立体的体积：假如一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于必定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元dVA(x)dx,bAxdx所求立体的体积V.a()5.7积分在经济剖析的应用6.1空间分析几何简介一、空间直角坐标系在平面分析几何中，我

10、们成立了平面直角坐标系，并经过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标(x,y)对应起来.相同，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来成立空间直角坐标系.过空间必定点O,作三条互相垂直的数轴，挨次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴.它们组成一个空间直角坐标系Oxyz（图6-1-1）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种.我们往常采纳右手系.二、空间两点间的距离|M1M2|(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，假如曲面S上任一点坐标都知足方程F(x,y,z)0，而文档适用标准文案不在曲面S上的任何点的坐标都不知足

11、该方程，则方程F(x,y,z)0称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程F(x,y,z)0的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1)已知曲面上的点所知足的几何条件，成立曲面的方程;(2)已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单并且最重要的曲面.能够证明空间中任一平面都能够用三元一次方程AxByCzD0(1.3)来表示，反之亦然.此中A、B、C、D是不全为零常数.方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2平行于某定直线并沿定曲线C挪动的直线L所形成的轨迹称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采纳一系列平行于坐标面的平面去截割曲

12、面，从而获得平面与曲面一系列的交线（即截痕），经过综合剖析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌.这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.x2y2z21(a0,b0,c0)(1.4)椭球面2b2c2a椭圆抛物面zx2y22p（p与q同号）2qx2y2p与q同号)双曲抛物面2pz(2q文档适用标准文案单叶双曲面x2y2z21(a0,b0,c0)a2b2c2双叶双曲面x2y2z21(a0,b0,c0)a2b2c2x2y2z20(a0,b0,c0)二次锥面2b2c2a6.2多元函数的基本观点一、平面地区的观点：内点、外点、界限点、开集、连通集、地区、闭地区二、二元函数的观点定义1设D是平面

13、上的一个非空点集，假如对于D内的任一点(x,y)，依据某种法则f，都有独一确立的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值记为f(x,y)，即zf(x,y)，此中x，y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集z|zf(x,y),(x,y)D称为该函数的值域.近似地，可定义三元及三元以上函数.当n2时,n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，假如当点P(x,y)无穷趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无穷趋于一个常数A，则称A为函数zf(x,y)当(x,y)(

14、x0,y0)时的极限.记为limf(x,y)A.xx0yy0或f(x,y)A（(x,y)(x0,y0)）也记作limf(P)A或f(P)A(PP0)PP0二元函数的极限与一元函数的极限拥有相同的性质和运算法例，在此不再详述.为了区文档适用标准文案别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3设二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，假如limf(x,y)f(x0,y0),xx0yy0则称zf(x,y)在点(x0,y0)处连续.假如函数zf(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则称函数zf(x,y)在(x0,y0)处中断.与一元函数近似，二元连

15、续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所组成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.全部二元初等函数在其定义地区内是连续的.这里定义地区是指包括在定义域内的地区或闭地区.利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义地区内一点的极限时，只需算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭地区D上连续的二元函数也有近似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下边我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭地区D上的二元连续函数,在D上起码获得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭地区D上的二元连续函数在D上

16、必定有界.定理3（介值定理）在有界闭地区D上的二元连续函数,若在D上获得两个不一样的函数值,则它在D上获得介于这两值之间的任何值起码一次.6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量x时,相应地函数有增量文档适用标准文案f(x0 x,y0)f(x0,y0),假如limf(x0 x,y0)f(x0,y0)存在,则称此极限为函数zf(x,y)在点(0,0)处xx0对x的偏导数,记为z,f,zxxx0或fx(x0,y0).xxxxx0 x0yy0yy0yy0比如，有fx(x0,y0)limf(x0 x,y0)f

17、(x0,y0).x0 x近似地，函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为limf(x0,y0y)f(x0,y0),y0y记为z,f,zyxx0或fy(x0,y0).yxx0yxx0yy0yy0yy0上述定义表示，在求多元函数对某个自变量的偏导数时,只需把其他自变量看作常数，而后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法例来计算之.二、对于多元函数的偏导数，增补以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dydy与自变量的微分dx的商.但偏导可看作函数的微分udx数的记号是一个整体.x（2）与一元函数近似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们

18、知道，假如函数在某点存在导数，则它在该点必然连续.但对多元函数而言，即便函数的各个偏导数存在，也不可以保证函数在该点连续.比如，二元函数xy,(x,y)(0,0)f(x,y)x2y20,(x,y)(0,0)文档适用标准文案在点(0,0)的偏导数为fx(0,0)f(0 x,0)f(0,0)lim0limx0,x0 x0 xfy(0,0)f(0,0y)f(0,0)lim0limy0.y0 x0y但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为zf(x,y)，M0(x0,y0,f(x0,y0)是该曲面上一点，过点M0作平面y0，截此曲面得一条曲线，其方程为zf(x

19、,y0)yy0则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率（图6-3-1）.同理，偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量QQ(p,y),此中p为该产品的价钱,y为花费者收入.记需求量Q对于价钱p、花费者收入y的偏改变量分别为pQQ(pp,y)Q(p,y),和yQQ(p,yy)Q(p,y).易见，pQp的均匀变化率.而表示Q对价钱p由p变到ppQlimpQppp0表示当价钱为p、花费者收入为y时,Q对于p的变化率.称EplimpQ/QQpp/ppQp0文档适用标准文案

20、为需求Q对价钱p的偏弹性.同理，yQy的均匀变化率.而表示Q对收入y由y变到yyQlimyQyyy0表示当价钱p、花费者收入为y时,Q对于y的变化率.称EylimyQ/QQy0y/yyQy为需求Q对收入y的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中常常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数p(x,y)cxay1a,c0且0a1，此中p是由x个人力单位和y个资本单位生产处的产品数目（资本是机器、场所、生产工具和其他用品的成本）。偏导数和pxy分别称为人力的边沿生产力和资本的边沿生产力。六、高阶偏导数设函数zf(x,y)在地区D内拥有偏导数zzfx(x,y),fy(x,y),xy则在D内

21、fx(x,y)和fy(x,y)都是x、y的函数.假如这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数zf(x,y)的二阶偏导数.依据对变量求导序次的不一样，共有以下四个二阶偏导数：文档适用标准文案z2zfxx(x,y),z2zfxy(x,y),xxx2yxxyz2zfyx(x,y),z2zfyy(x,y),xyyxyyy2此中第二、第三两个偏导称为混淆偏导数.近似地，能够定义三阶、四阶、以及n阶偏导数.我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理1假如函数zf(x,y)的两个二阶混淆偏导数2z及2z在地区D内连续,yxxy则在该地区内有2z2zyx.xy6.4全微分一、微分的定义定义1假如函数zf

22、(x,y)在点(x,y)的全增量zf(xx,yy)f(x,y)能够表示为zAxByo(),(4.2)此中A,B不依靠于x,y而仅与x,y相关,(x)2(y)2,则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微分,AxBy称为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分,记为dz,即dzAxBy.(4.3)若函数在地区D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.二、函数可微的条件定理1(必需条件)假如函数zf(x,y)在点(x,y)处可微分,则该函数在点(x,y)的文档适用标准文案偏导数z,z必存在,且zf(x,y)在点(x,y)处的全微分xydzzxzy.(4.4)xy我们知道，一元函数在某点可导是在该点可

23、微的充分必需条件.但对于多元函数则否则.定理1的结论表示，二元函数的各偏导数存在不过全微分存在的必需条件而不是充分条件.因而可知，对于多元函数而言，偏导数存在其实不必定可微.由于函数的偏导数仅描绘了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描绘了函数沿各个方向的变化状况.但假如对偏导数再加些条件，就能够保证函数的可微性.一般地，我们有：定理2(充分条件)假如函数zf(x,y)的偏导数z,z在点(x,y)连续,则函数在该xy点处可微分.三、微分的计算习惯上，常将自变量的增量x、y分别记为dx、dy，并分别称为自变量的微分.这样，函数zf(x,y)的全微分就表为dzzdxzdy.(4.5)xy上述对于

24、二元函数全微分的必需条件和充分条件，能够完整近似地推行到三元及三元以上的多元函数中去.比如，三元函数uf(x,y,z)的全微分可表为uudyu(4.6)dudxdz.xyz四、全微分在近似计算中的应用设二元函数zf(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,且|x|,|y|都较小时,则依据全微分定义，有zdz文档适用标准文案即zfx(x,y)xfy(x,y)y.由zf(xx,yy)f(x,y)，即可获得二元函数的全微分近似计算公式f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y(4.7)6.5复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数微分法复合函数的

25、中间变量为一元函数的情况设函数zf(u,v),uu(t),vv(t)组成复合函数zfu(t),v(t)dzzduzdv（5.1）dtudt.vdt公式(5.1)中的导数dz称为全导数.dt、复合函数的中间变量为多元函数的情况设zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)组成复合函数zfu(x,y),v(x,y),zzuzv(5.3)xuxv,xzzuzv(5.4)yuyv,y、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情况定理3假如函数uu(x,y)在点(x,y)拥有对x及对y的偏导数,函数vv(y)在点y可导，函数zf(u,v)在对应点(u,v)拥有连续偏导数,则复合函数zfu(x,y),

26、v(y)在对应点(x,y)的两个偏导数存在,且有zzu,(5.7)xuxzzuzdv.(5.8)yuyvdy注：这里z与f是不一样的，z是把复合函数zfu(x,y),x,y中的y看作不变而xxx对x的偏导数，ff(u,x,y)中的u及y看作不变而对zf是把函数zx的偏导数.与xyy文档适用标准文案也有近似的差别.在多元函数的复合求导中，为了简易起见，常采纳以下记号:f1f(u,v),f2f(u,v),f122f(u,v),uvuv这里下标1表示对第一个变量u求偏导数，下标2表示对第二个变量v求偏导数，同理有f11,f22,等等.二、全微分形式的不变性依据复合函数求导的链式法例，可获得重要的全微

27、分形式不变性.以二元函数为例，设zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)是可微函数，则由全微分定义和链式法例，有dzzdxzdyzuzvdxzuzvdyxyuxvxuyvyzudxudyzvdxvdyuxyvxyzzdv.duvu因而可知，只管此刻的u、v是中间变量，但全微分dz与x、y是自变量时的表达式在形式上完整一致.这个性质称为全微分形式不变性.适合应用这个性质，会收到很好的成效.三、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的观点，并介绍了不经过显化而直接由方程F(x,y)0(5.11)来求它所确立的隐函数的导数的方法.这里将进一步从理论上说明隐函数的存在性，并经过多元复合函

28、数求导的链式法例成立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.文档适用标准文案定理4设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内拥有连续的偏导数,且Fy(x0,y0)0,F(x0,y0)0,则方程F(x,y)0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能独一确定一个连续且拥有连续导数的函数yf(x),它知足y0f(x0),并有dyFx.(5.12)dxFy定理5设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续的偏导数,且F(x0,y0,z0)0,Fz(x0,y0,z0)0,则方程F(x,y,z)0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能独一确立一个连续且拥有连续偏导数的

29、函数zf(x,y),它知足条件z0f(x0,y0),并有zFx,zFy.(5.14)xFzyFz6.6多元函数的极值及求法一、二元函数极值的观点定义1设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的随意一点(x,y),假如f(x,y)f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极大值；假如f(x,y)f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极小值;极大值、极小值统称为极值.使函数获得极值的点称为极值点.定理1(必需条件)设函数zf(x,y)在点(x0,y0)拥有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零，即fx(x0,y0)0

30、,fy(x0,y0)0.(6.1)文档适用标准文案与一元函数的情况近似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2(充分条件)设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.令fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C.(1)当ACB20时，函数f(x,y)在(x0,y0)处有极值，且当A0时有极小值f(0,y0)；A0时有极大值00)；xf(x,y(2)当ACB20时，函数f(x,y)在(x0,y0)处没有极值;(3)当ACB20时，函数f(x,y)在(x0,y0)处可能

31、有极值，也可能没有极值.依据定理1与定理2，假如函数f(x,y)拥有二阶连续偏导数，则求zf(x,y)的极值的一般步骤为：第一步解方程组fx(x,y)0,fy(x,y)0,求出f(x,y)的全部驻点；第二步求出函数f(x,y)的二阶偏导数，挨次确立各驻点处A、B、C的值，并依据ACB2的符号判断驻点能否为极值点.最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数f(x,y)在D内全部驻点处的函数值;（2）求f(x,y)在D的界限上的最大值和最小值;（3）将前两步获得的全部函数值进行比较，此中最大者即为最大值,最小者

32、即为最小值.在往常碰到的实质问题中，假如依据问题的性质，能够判断出函数f(x,y)的最大值（最小值）必定在D的内部获得，而函数f(x,y)在D内只有一个驻点，则能够必定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值（最小值）.文档适用标准文案三、条件极值拉格朗日乘数法前面所议论的极值问题，对于函数的自变量一般只需求落在定义域内，并没有其他限制条件，这种极值我们称为无条件极值.但在实质问题中，常会碰到对函数的自变量还有附带条件的的极值问题.对自变量有附带条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数f(x,y)和(x,y)在地区D内有一阶连续偏导数，则求zf(x,y)在D内满足条件(x,y

33、)0的极值问题，能够转变为求拉格朗日函数L(x,y,)f(x,y)(x,y)（此中为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数zf(x,y)在条件(x,y)0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：结构拉格朗日函数L(x,y,)f(x,y)(x,y)此中为某一常数;(2)由方程组Lxfx(x,y)x(x,y)0,Lyfy(x,y)y(x,y)0,L(x,y)0解出x,y,此中x,y就是所求条件极值的可能的极值点.注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必需条件,所以依据这种方法求出来的点能否为极值点,还需要加以议论.可是在实质问题中,常常能够依据问题自己的性质来判断所求的点能否是极值点.拉格朗日乘数法可

34、推行到自变量多于两个而条件多于一个的情况:四、数学建模举例文档适用标准文案6.7二重积分的观点与性质一、二重积分的观点定义1设f(x,y)是有界闭地区D上的有界函数.将闭地区D随意分红n个小闭地区1,2,n,此中i表示第i个小闭地区，也表示它的面积，在每个i上任取一点(i,i),作乘积f(i,i)i,(i1,2,n)并作和nf(i,i)i,i1假如当各小闭地区的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭地区D上的二重积分,记为f(x,y)d,即Df(x,y)dnlimf(i,i)i(7.2)D0i1此中f(x,y)称为被积函数,f(x,y)d称为被积表达式,d

35、称为面积微元,x和y称为积n分变量,D称为积分地区,并称f(i,i)i为积分和.i1对二重积分定义的说明:(1)假如二重积分f(x,y)d存在，则称函数f(x,y)在地区D上是可积的.能够证D明，假如函数f(x,y)地区D上连续，则f(x,y)在地区D上是可积的.此后，我们总假设被积函数f(x,y)在积分地区D上是连续的;(2)依据定义，假如函数f(x,y)在地区D上可积，则二重积分的值与对积分地区的分割方法没关，所以，在直角坐标系中，常用平行于x轴和y轴的两组直线来切割积分地区D，则除了包括界限点的一些小闭地区外，其他的小闭地区都是矩形闭地区.设矩形闭地区i的边长为x和y，于是ixiy.故在直角坐标系中，面积微元d可记为dxdy.ijj文档