微积分第1章函数重点及要点汇总

1、第一章 函数1第一章 函数 1.1 集合 1.2 实数集 1.3 函数第一章 函数2一、集合的概念1.1 集合定义集合: 具有某种属性的事物的全体 / 一些确定对象的汇总.元素: 构成集合的事物或对象.例. 2) 全体偶数1) x2 - 5x + 6 = 0 的根 ；注: 2. 集合的表示: 列举法、描述法、文氏图；例. 为正整数1. 集合的记号: 大小写约定, 全集U与空集 , 与第一章 函数32. 集合的运算：并()、交()、差()、逆( , 又称补)；二、集合的关系与运算1. 集合的关系：包含( ) 、相等( = )；集合的运算律：交换律、结合律、分配律、德摩根律德摩根律： 了解第一章

2、函数4三、集合的笛卡尔乘积定义集合 A, B 的笛卡尔乘积为例. 第一章 函数5一、实数 R (Real) 与数轴1.2 实数集1. 实数的构成 ：有理数 Q (Quotient) ; 无理数.2. 数轴：三要素(原点、正方向、单位长度)3. 全体实数与数轴上的点一一对应.有限小数、无限循环小数；无限不循环小数12Ox微积分讨论的数 仅限于 实数！第一章 函数6二、区间称作开区间称作闭区间称作半开半闭区间有限区间无限区间第一章 函数7三、邻域称作 a 的邻域称作 a 的去心邻域称作 a 的右邻域称作 a 的左邻域称作 第一章 函数8四、绝对值及其性质:1. 含义: | x |为 x 与原点的距

3、离，| x-y |为 x 与 y 的距离.注: 2. 性质:(三角不等式*) 和的绝对值 绝对值之和、 绝对值之差第一章 函数9定义 设 D 为非空数集，若存在某对应法则 f 将每一 xD 对应至唯一的实数 y ，则称 f 为 D 上的函数，记作一、函数的概念1.3 函数(x:自变量; y: 因变量; D: 定义域; Z(f)=y| y=f(x),xD: 值域)注: 2. 函数的要素: 法则、定义域（默认为存在域）.1. 函数的表示: 表格法、图形法、解析法；例. 辨析各组函数异同：第一章 函数10注: 4. 几个特殊函数：(1) 符号函数1-1xyo(2) 取整函数 y=x，x表示不超过x的

4、最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo(3) 狄利克雷函数（了解）xyo1第一章 函数11 例：某化肥厂生产某产品 1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过的部分打九折出售，试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出。 建立函数关系的基本步骤：明确问题中的因变量与自变量，并以适当记号表示；根据题意建立等式，从而得到函数关系；确定函数的定义域。第一章 函数12二、函数的性质1. 有界性 ：设 f 在 D 上有定义，若存在数 M 使则称 f 在 D 上有上界(有下界)，若上下界都有则称之有

5、界.2. 单调性 ：设 f 在 D 上有定义，若（设x1, x2D）则称 f 在 D 上单调递增(不减)，类似可定义单调递减(不增). 了解第一章 函数133. 奇偶性 ：设 f 在 D 上有定义，若则称 f 是 D 上的偶函数(奇函数).4. 周期性 ：设 f 在 D 上有定义，若存在 T 0 使得则称 f 是 D 上周期函数.(周期: 满足此条件的最小的T)注: 偶函数图像关于 y 轴对称，奇函数图像关于原点对称.注: 若 f(x) 以T为周期，则 f(ax) (a0) 以 T/a 为周期.例. 求sin2x、tan(x/2)的周期第一章 函数14三、复合函数定义 设 u=g(x), y=

6、f(u), 若 则称为 f 与 g 的复合函数.例: 3. 已知 f(x) = x2，求 f(1/x) (x0) 与 ff(x).4. 已知 求 f(x+3) 及其定义域.1. 已知 将 y 表示成 x 的函数.2. 由哪些函数复合而成？求其定义域.第一章 函数15四、反函数定义 设有 y=f(x), xD，若 使由此对应确定的函数 称为 y=f(x) 的反函数.注: 3. y = f(x) 有反函数当且仅当 f 是一一对应.1. y = f(x) 的反函数常记作例: 1. y = 3x-1 的反函数为 x = (y+1)/3，常写作 y = (x+1)/3.2. y = f(x) 与 关于直

7、线 y=x 对称.2. y = 10 x 的反函数为 x = lg y，常写作 y = lg x .第一章 函数162) 幂函数 定义域与 的取值有关五、初等函数1. 基本初等函数（共六类） 1) 常函数 y c 注: 1. 正确理解 的含义；2. 幂函数的反函数（若存在）仍为幂函数.第一章 函数173) 指数函数定义域为值域为第一章 函数184) 对数函数定义域为值域为注: 1. 性质:2. 指数函数与对数函数互为反函数.第一章 函数195) 三角函数正弦函数余弦函数第一章 函数20正切函数余切函数定义域值域定义域值域第一章 函数216) 反三角函数反正弦函数例: 1. 求 定义域.2. 求第一章 函数22反余弦函数第一章 函数23