数值分析课后习题与解答

1、. 课后习题解第一章绪论习题一1.设 x0,x* 的相对误差 ，求 f(x)=ln x 的误限。 解：求 lnx 的差极限就求 f(x)=lnx 的误差限，由公 (1.2.4)有已 知 x* 的 相 对 误 差，故满 足 ， 即2.下列各数是经过四舍五得到的近似试指出它有 几位有效字，并给出误差限与相对差限。解：直接据定义和式( 则得 有 5 位 有 效 ， 其 ， 相 对 差 限有 2 位效数字，有 5 位效数字，3.下列公式何才比较准确 学习参考. 解：要使算较准确，要是避免两相数相减，故变换 所给公式（1）（2）4.近似数 是 3位有数数。5.计算四个选项取 利用 式计算误最小。第二、三

2、插值与函逼近习题二、1. 定的数值表用线性插与二次插值算 ln0.54 的近似值并估计差限 解： 仍可使用 n=1 n=2 Lagrange 插值或 值, 并应用误估计（5.8。线性插时，用 0.5 及 0.6 两点， 用 Newton 值学习参考. 误差限，因，故二次插值，用 ，0.7 三，作二次 Newton 值误差限，故2. x4 上给的等距节函数表，若二次插值法求 的近似值要使误差不过 应取多少解：用误估计式（，函数表步长 令因学习参考. 得3. ，求和 .解：由均与导数关系于是4. 互异，求的值，这 pn+1.解 ： ， 由 均 差 对 性可知当有而当 Pn1 时于是得5. 证 .解

3、：解：要按差分定直接展开得学习参考. 6. 知的函数表求出三次 均插值多项式计算 f(0.23)的似值并 用均差的项表达式估误差 解：根据定函数表构均差表由式(5.14)当 时得 Newton 差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表式 (5.15)得由于7. 定 的函数表 学习参考. 用 Newton 距插值式计算 cos 0.048 及 cos 0.566 的近 似值并估误差解：先构差分表计算公式，用 n=4 得 Newton 前误差估计公式（5.

4、17得其中学习参考. 计算时用 Newton后插公式（误差估计公式（5.19得这里 仍为 0.5658求 一 数 高 四 的 项 p(x), 使 满 足解：这种目可以有很方法去做，但以简单为宜此处可先造使它满足，显然p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由 p(2)=1 出 A ，于是，再令9. 称为第二 Chebyshev 多项式试求 的表达式，并证明 多项式序。 解：因学习参考是-1,1上带权的正交. 10. 用最小二乘法求一个形如 下列数据并计算均方差 的经验公使它拟合解：本题出拟合曲线 程系数，即 ，故法方法方程为解得最小二乘合曲线为 均方程为学习参考. 11. 填空题(1)

5、满 足 条 件 p(x)=( ).的 插 值 项 式(2)=( ).,则 f1,2,3,4 )，f (3) 设为互异节，为对应的次插值基函数，则( )， ).(4) 设是区间0,1上权函数为 (x)=x 的最高项系为 1 的正交多项式列其中则( )，答：( )（4）第 4 章数 值 积 与数值微分习题 4学习参考. 1. 别用复合梯形公及复合 公式计算下列积分.解本题只要据复合梯形式（ 6.11 ）及复合 Simpson公式（6.13）直接计算即可。对 ， n=8,分点处计算 f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出 积分2. Simpson 公式求积分，按式（6.13）求得，并估计差，解

6、：直接 Simpson 式 6.7得由（式估计误差，因，故3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指求积公式所有的代数精确 .解：本题接利用求积式精确度定义则可突出求公式 的参数。（1）令代入公式端并使其相，得学习参考. 解此方程得，于是有再令 ，故求积公具有 3 代数精确度。（2）令代入公式端使其相等得解出得而对（3）令不准确成，故求积公具有 次代数精确度。 代入公式确成立，得解得学习参考，得求积式. 对故求积公具有 2 代数精确度。4. 算积分超过 ，问区间，若用复 Simpson 公要使误不要分为多等分 改复合梯形公式达到同精确度，区解：由 Simpson 公式余项

7、及应分为多等分?得即超过取 即区间分为 分可使误不对梯形公同样，由余项式得即取 n=255 才使复合梯公式误差不过5. Romberg 求积算法求分 学习参考，取. 解：本题要对积分使用 Romberg 算法（ ，计算到 K3结果如下表所。于是积分 ，分准确值为 0.7132726用三点 积公式计算积 .解：本题接应用三点 Gauss 式计算即可。 由于区间 ，所以先做变换于是本题精确7用 三 点 Gauss-Chebyshev 求 积 公 式 算 积 分解：本题接用 Gauss-Chebyshev 求积公式计学习参考. 即于是 ， 即为三点公式，是 ，即故8. 确定常数 A，B，C，及 ，使

8、求积公式有尽可能的代数精确并指出所得求公式的代数确 度是多少它是否为 Gauss 型的求公式?解：本题可根据代数确度定义确定数满足的方，令 对公式精成立，得到由（2）得 A=C ，这两方程不独立。可令（5），得由（3）解得 则有求积式，代入（）得学习参考. 令公式精确立，故求积式具有 5 代数精确度三点求积式最高代数确度为 ，故它是 Gauss 型的。第五章解线性方组的直接法习题五1. 用 Gauss 消去法求解下列方程组.解本题是 Gauss 消去法解体方程组，只要直接用消元公式及回代式直接计算可。故学习参考. 2. 用列主元消法求解方程组系数矩阵 的行列式 detA 的值解：先选主元 2

9、行 行交换得并求出消元3 与 2 行交换 回代得解消元行列式得3. Doolittle 分解法求 解.解：由矩乘法得的学习参考. 再由由求得解得4. 述矩阵能否作 Doolittle 分解，若分解，分解式 否唯一?解 ： A ， 若 A 能 分 解 ， 步 分 解 后 ，相互矛，故 A 能分解，但 若 A 中 1 行与 行交换，则可分解为 LU对 B，然，但它仍分解为分解不唯， 为一任意常数， U 异。C 可分解，且唯 一。学习参考. 5. 追赶法解三对角程组 Ax=b，中解：用解三角方程组追赶法公式（ 3.1.2和（3.1.3） 计算得6. 平方根法解方程解：用分解直接得由及求得7. ，证明

10、解：即 ，一方面学习参考. 故8设计算 A 的范数，列范数及 F-数和 2范数解：故9设 上任一种数，是非奇异，定义，证明证明：根矩阵算子定和定义，得令 ， P 非奇异，故 x 与 为一对一，于10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计，即，即解：记.则学习参考的解 ，而的解. 故而由（ ）的误差计得表明估计略大，是合实际的。 是非题（若 是 末尾（）填 +, 不是 填 ：题目中（1）若 A 对称正定, 范数 （ ）,则是 的一种向量定义定义 （4）只要是一种范矩阵 ）是一种范矩阵 ） ，则 A 总可分解为 A=LU,其中 L 为单位下三角阵， 为非奇上三角阵 （ ）（5要 解 ）总

11、可用列主元消法求得方程组的（6）若 A 对称正定,则 A 可分解为 素为正的三角阵 （ ） 学习参考，其中 为对角元. （7）对任何都有 （ ）（8）若 为正交矩阵，则（ 答案： （12（4） （56（8）第六章解线性方组的迭代法习题六1. 证明对于任意的矩阵 列 零矩阵收敛于解：由于故2. 程组而(1) 考查用 Jacobi 法和 解此方程组收敛性. (2) 写出用 法及 法解此方程组的迭代公式并以计算到为止解：因为具有严格角占优，故 法与 法收敛。 （2）J 法得迭代公式是学习参考. 取 ，代到 18 次有GS 代法计算公为取3. 方程组证明解此程的 Jacobi 迭代法与 Gauss-S

12、eidel 迭代法同 时收敛或散解：Jacobi 迭代为 其迭代矩学习参考. 半径为 Gauss-Seide迭代法为其迭代矩，其谱半为由于 ， Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 法同 时收敛或时发散。4. 列两个方程组 ，若分别用 及 GS 法求解， 是否收敛解：Jacobi 法的迭代矩是即 ，故 ，J 法收敛、 GS 的迭代矩阵学习参考. 故 ，解此方程组 GS 法不收敛5. detA用 ,b 示解方程组 Ax=f 的 J 法 法敛的充分必条件 .解 J 法迭矩阵为，故 J 法收敛的充要条件是。GS 迭代矩阵为学习参考. 由得 法敛得充要件是6. 用 SOR 法解方程 (分别

13、取 =1.03,=1,=1.1)精确解 ，要求当时迭代终，并对每一个 值确迭代次数解：用 SOR 方解此方程组迭代公式为取若取， 当，迭代 次得时 ， 迭 代 5 达 到 求7. 上题求出 SOR 迭代法最优松弛因及渐近收敛速 度 ， 并 求 J 法 GS 法 的 渐 近 收 敛 速 度 要 使学习参考. 那么 J 法 GS 和 SOR 法各迭代多次 ? 解：J 法的迭代矩阵为故因 A 为对称正定三对角阵，最优松弛子J 收敛速度由于 ，故若要求，于是迭次数对于 J 法对于 对于 法8. 空题学习参考，取 ，取 ，取 K5. (1)要使应满足（ .(2) 已知方程组，则解此程组的Jacobi 代

14、是否收（它的近收敛速度 （(3) 设方程组 Ax=b, 其中阵是（）.GS 的迭代矩阵是（ .(4) 用 法方程组方法收敛充要条件是 满足（）.其 法的迭代矩，其中 a 为实数，(5) 给定方程组 ,a 为实数.当 满足 （且 02 SOR 迭法收敛.答:J 法是收敛的，(3)J 法迭代矩阵是 (4) 满足(5) 满足第七章习题七学习参考，GS 迭代矩阵非线性方求根. 1. 用二分法求方程的正根，误差小于 0.05解使 二 法 先 要 确 定 有 根 区 。 题f(x)=x2-x-1=0, 因 f(1)=-1,f(2)=1, 故间 为有根 区间。另根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法 计

15、算各次代值如表。其误差2. 求方程在 近的一个，将 方程改写成下列价形式，并立相应迭代公 ，迭代公,迭代公，迭代公.试分析每迭代公式的敛性并选取一种收敛最快的方 法求具有 4 位有效数字的近似根解 取区间且 在且 ，中，则 L1，满足收敛理条件，故代收敛。 学习参考. （ ）， 在中 ， 且中有迭代收敛。（3），在附近 故迭代法发。在迭代（）及（2）中，因为（2）的迭代因子 L 较， 故它比（）收敛快。用（2）迭代，取 ，则3. 方程的迭代法(1) 证明对,均有 ,其中 为方程的 .取 =4, 此迭代的近似根，使差不超过 并列出各迭代值.此迭代法敛阶是多少?证明你的论,解 ：（ 1 ） 迭 代 函 ， 有（2）取，则有各迭代值取学习参考，其误差超过. （3）故此迭代线性收敛4. 定函数设对一切 x,存在而且 .证明对方程的任意常 ,代法 的根均收敛于解：由于，为单调增数，故方程的根是唯一的假定方程有 迭代函数，。令，则，由递推有，即5. 用 Steffensen 方计算第 题中2)、(3) 的近似根， 精确到解:在( 中,令, ,有令 ,得