高考立体几何精选题库2

1、155.已知空间四边形46C。的边长都是1,又BD=6,当三棱锥A3CO的体积最大时，求二面角BACD的余弦值.解析：如图，取AC中点石，B力中点尸,由题设条件知道(1) /BED即二面角BACD的平面 TOC o 1-5 h z 角3分(2)当人尸_1面8。时，匕seo达到最大6分这时 ED2=AD2-AE2= 1 -ae2= 1 -()2=1 -AF，2+Fc224A 尸l/“c2lc2、，1 Z1BD,1 z,3、7-1= 1(AD FD ) = 1(1) = 1(1)=,2224248又 be2=ed2,c 2ED2 -BD- 5COS /BED = 一一2EDxBE 7.12 分AA

2、156.有一矩形纸片 ABCD, AB=5, BC=2, E, F 分别是 AB, CD 的点，且BE=CF=1,把纸片沿EF折成直二面角.(1)求BD的距离；(2)求证AC, BD交于一点且被这点平分.解析：将平面BF折起后所补形成 好是长方体的一条对角线.(1)解：因为AE, EF, EB两两守 所以BD恰好是以AE, EF, EB为士 所以 BD = VaE2+EF2+EB2 -押 分(2)证明：因为AD幺EF, EF幺BC,所以AD幺BC.所以ACBD在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形.所以AC、BD交于一点且被这点平分157.已知4BCD 中，ZBCD=90 , BC=CD=

3、1, AB_L平面BCD,ZADB=60 ， E、F分别是AC、AD上的动点，且(I )求证：不论人为何值，总有平面(I )求证：不论人为何值，总有平面FNR力(II )当人为何值时，平面BEFJ_平面/ W证明:(I ) VABYffi BCD, AABICD,CD BC 月一 AB Pl BC=B,CD 平面ABC.3分ABC.XV = = 2(O/1 为直二面角,DOI ACDO_L 平面ABC. DC = DD = CD = a即ADCD为正三角形,二.NDCD = 60NEOF = 180 - NEDG = 120161.如图，正方体AG中，已知。为AC与BD的交点，M为DD】的中点

4、。(1)求异面直线BQ与AM所成凭(2)求二面角BMAC的正切解析：方法一 ：BO AC,：. B10 1 AC,设正方体的棱长为则B0 = Wa,MO =a,MBT =-aMB： = B、D? + MO29：. MO 1 B0/. B0 1 面M4。. Bp _L AM方法二:取AD中点N,连结AR,则A】N是BQ在侧面ADD】AI 上的射影.易证 AM_LAN.AM_LBQ （三垂线定理）（2）连结MB1，ABi，MC,过0作OH_LAM于H点，连结BiH,BQ平面MAC, A NBiHO就是所求二面角BMAC的平 面角.2HO AM = AC MO,:. HO =10Bo _在RfAB“

5、。中,tan AB. HO =眄HO162.在正方体AG中，E为BC中点（1）求证：BDi平面C】DE；（2）在棱CCi上求一点P,使平面A|B（3）求二面角BCiDE的余弦值。（解析：连交C于F,则EF / BD, BD、Z 面CQE, EF u 面 CQE, BD / 面 CQE.(2) v AfB, _L 面BCGB1,C u 平面8CC, AtBt _L GE故保要过用作用p ge交c0于p点即可 此时尸为eq的中点.事实上,当P为CG的中点时,B,p C,E从而GEL平面A 4 p.平面AB/ JL平面CQE.(3)连结 BQ BQ,则8。= BC ED = EC,连结BF,则BF

6、X DC、,EF 1 DC,NEFB即为二面角B - G。一 E的平面角.在ABEF中,；EF = y/CE2+CF2 =,BF = QcF2 +BC =22由余弦定理：cos Z.EFB = 丝即为所求.如图，立体图形中，底面是正方形A8C。，其他四 个侧面都是全等的正三角形，画出二面角V-A5-C的平面角，并 求它的度数.解：设底面边长为0,则侧面三角形的边长也为a.取A8的中点E,。中点凡 连VE、EF.,：侧面是正三角形，VE1.AB.又 EFBC, BCLAB, ：. EFLAB.就是 心4小。的平面角.cos ZVEF=.已知二面角冲/-仅是45。角，点尸在半平面a内，点P到半平

7、面用勺距离是，求点尸到棱/的距离.B解：经。作P6_L于B,经P在平面。内作PA JJ于A.连 AB,则 AB_U.NPA8就是二面角的平面角，ZPAB=45.那么在中，PB=h, PA = Wi.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证: 它们所成的角与这个二面角的平面角互补.A证明：如图PQJ_夕，PQ1AB,PR La, PR 工 AB,则 48_1面 PQR.经尸。火的平面交。、眨SR、SQ,那么 AB_LSR, AB1SQ./QSR就是二面角的平面角.因四边形 SRPQ 中，/PQS=/PRS=90。,因此 NP+NQSR= 180. 一张菱形硬纸板A8C。的中心是点。，沿

8、它的一条对角线 AC对折，使8O_L。，这时二面角氏AC-。是多少度？要使二 面角B-AC-D为60。，点B和。间的距离应是线段BO的几倍？解：因A5CQ是菱形，故沿对角线AC折为空间图形后80_LAC, DOLAC./BOD就是二面角B-AC-D的平面角.因 8O_LO3,故NBO3 = 90。，即二面角RAC-Q是90。.要使二面角B-AC-D为60.因80 = 03,故803是等边三角形，此时BO = BO.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面 ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化，面24。与面PC。所成 的二面角恒大于90。.解析：注意到题目中所给的二面角，面PAO与

9、面PC。的棱为 PD,围绕P。而考虑问题解决途径.D证法一：利用定义法经A在PD4平面内作AE_LPO于E,连CE.因底是正方形，故CQ = D4. CEDAAED, AE=EC, ZCED= ZAED = 90,则 CELPD.故NCEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角.设AC与交于。，连0,则0J_AC.V2因上OA=Vx 2 =a, AEADa.松 +-2-（204）2（A + &oa）（ae -血。修COS ZAEC= 2AEEC =Q 0.所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90.证法二：运用三垂线法PBABCD,则X AD1AB,AZ）f| PAB,即面046_1_面/

10、c可确定一个平面B ,同理1 u B . 丁 a、B均过相交直线b、1 , a、B重合，a、b、c、1共面； 7 .提示：只需证明P、Q、R为平面ABC与a的公共点;.如图：已知AABC 在平面 a 夕卜，ABDa=P, ACCla=R, BC可得点在面内,RCl a =Q。可得点在面内,R求证:P、Q、R三点共线。解析：点在线上，线在面内,点是平面a与平面ABC的公共点，即可。.如图：已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P,求J正：点B、DP在同一条直线上。解析：直线EF n直线,HG=P,直线EF,又EF2平面ABD,.P6平面

11、ABD,同理P平面CBD,由公理2,点B、D、P 在同一条直线上。.如果把两条异面直线称作“一对”,则在正方体十二条棱中, 共有异面直线（）对A. 12B. 24C. 36D. 48解析：BB如图，棱B如图，棱AA，有4条与之异面，所有所有棱能组成4x12:48对，但每一对都重复计算一次，所以有48对十24对。.已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相 交于AB, M、N分别是对角线AC、BF上的点，且AM=FN,求证：MN 平面BCE.解析：作NPAB交BE于点P,作MQAB交BC于点Q,证MNPQ证MNPQ是平行四边形，再证MN面BCE.棱长为1的的正方体ABCDABCD中

12、，求证：平面4BD平面CBD.解析：过a和直线b上任意一点P作一平面Y和平面8交于a ,I a 6 , . a H a , a uB、 a a , a u a , *. a u a , a Cb = P b u p , b B ,，aB； 8 . A, B / D ! C ,，A|B 平面 CDB,同理 BD平面CDB,.AiBu面 AiBD, BDu面 AiBD, .面 A|BD面 CD|B1.已知（如图）：平面a 平面B, A、C a,B、DW B,AB与解析:如图作辅助线,CD是异面直线,E、F分别是线段AB、CD的中点,求证：/ Ej B .解析:如图作辅助线,.如图：在ZXABC中,

13、ZACB=90, M是AB的中典PM/面ABC,求证:PA=PB=PC.解析：连结MC,由NACB=90。，M为AB的中点，MB=MC = MA,，PM_L面 ABC,，NPMA=NPMB=NPMC=90。，又 PM 公用，PMAAPMBAPMC,，PA=PB=PC；.四边形 ABCD 是距形，AB=2, BC= 1 , PC_L平面 AC, PC =2,求点P到BD的距离.解析：作CE_LBD于解析：作CE_LBD于E,连结PE,179.如图：在斜边为AB的ABC中，过点A作PA_L平面ABC, AE1PB 于 E, AF1PC 于 F, ( 1 )求证：BC_L平面 PAC； ( 2 )求

14、 证:PB_L平面AEF.解析:(1)PA_L面ACB, APAIBC, BCAC, .BC PAC. (2) (1)知 BCAF,又 AF_LPC, .AF_L面PBC, AAFIPB,又 PB_LAE, .PB_L面AEF.如图：ABCDABCD是正方体.求证：(1 ) AC_LDB； ( 2 ) A,C IBC,解析：(1 )连 AC,则 AC_LBD,又CG_L面AC,由三垂线定理可知ACJ_BD,仿(1 )可证；B.如图：PA_L平面 PBC, AB=AC, M 是 BC 的中点，求证BC_LPM.B解析：由 AB=AC 得 AAMJ_BC,又 PA_L面 PBC, BCu爷 /.B

15、ClffiAMP, .BCPM.如图：RtaABC中，NB=90, P为三角形所在平面外一点，PA1 平面ABC,指出四面体PABC中有哪些三角形是直角三角形，说明理由.由 PA_L面ABC 得 PA_LAB, PAAC, PA1BC；又 BC_LAB, .BC_L面PBA, .,.APAB, APBC, APAC, ZABC 都是直角三角形.已知直线a 直线b, aL平面a,求证b_La.解析：过a与a的交点作两相交直线m、n ,由a _L a ,则a_Lm, a n , X b a , b m, b n ,b a.在正方体ABCDABCD中,E为CG中点，F为AC和BD的交点.求证：AF_

16、L平面BED.解析：VAAil ABCD, AF 是 AiF 在 ABCD 上的射影，由 AC_LBD 得 AiF_LBD,取 BC 的中点 G,连 FG, B,G,由 AB_LBG, AFGlffiBC.,BG是AF在面BG上的射影,又BG_LBE, .BEA,F, .AF_L面BED；. P是AABC所在平面外一点，若AP8C和AA8C都是边长为2的正三角 形，PA=G 求二面角P-BC-A的大小。90解析：取BC的中点D,连结PD、AD,易证NPDA为二面角的平 面角.如图，是等腰直角三角形，AC=BC=a, P是所在平面外一 点，PA=PB=PC=V2a o (1)求证：平面 PA8_

17、L 平面 ABC/为 求 PC 与 AA8C 所在平面所成的角。/ 解析：(1)取AB的中点O,连PO,证明PO_L面 ABC, (2)60。.如图，A是直二面角a-敏-夕的棱EF上的点，AB、CD分别是a、pga内的射线，ZEAB = ZEAC = 45,求NBA。的大小解析：60余弦定理可得。作B（HDF,可得130_1平面），解三角形ABC,根据余弦定理可得。解析：（1）半，*.（如图）已知正方形ABCD的边长为1,过D作PD_l平面ABCD,且 PD=1,E、F分别是AB和CD的中点。（1）求D点到平面PEF的距离；（2） 求直线解析：（1）半，*.作DG_L直线PF,则可得AC_L平

18、面PDB,所以EF_L平面PDB.-. EF1DG .DGJ_平面PEF。DG为D点到平面PEF的距离.过点。作平行于DG的直线，则为所求。189.在三棱锥SABC中，SA_L底面ABC, ABBC, DE垂直平分SC,且 分别交AC和SC于D和E,又SA=AB, SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC 为面的二面角度数.TE为 SC 的中点 ，BE_LSC .,.SClSBDE SCBD 面SA_LBD ABD_L面SAC 即 BD_LAC BDDE ，/EDC 为所求.ZSCA=30设 5人=2则人8=a SB=BC=V2a SC=2a ZASC=60ZSCA=30EDC=60EDC=

19、60图1图图1图2. P是AABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，G为4PAB的重心，E、F分别是BC、PB上的点，且BE ： EC=PF ： FB，求证：平面GEF_L平面2PBC解析：G为HAB的重心，.瑞1嘴，GFPA.VPA1PB PAPC,PA_L面 PBC. GF_L面 PBC, /.面 GFE_L面 PBC.如图1所示，边长AC=3, BC=4, AB=5的三角形简易遮阳棚， 其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面 成30角，试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面 ABD面积最大？解析：易知，AABC为直角三角形，由C点引AB的垂

20、线，垂足为Q, 则应有DQ为CQ在地面上的斜射影,且AB垂直于平面CQD,如图2所示. 因太阳光与地面成30角，所以NCDQ=30 ,又知在ACQD中，CQ=?, 由正弦定理，有CQ _ QD sin 30 sin Z.QCD 即 QD = 9sinNQCD.为使面ABD的面积最大，需QD最大，这只有当NQCD=90时才可达到, 从而NCQD= 60 .故当遮阳棚ABC与地面成60角时，才能保证所遮影面ABD面积最大.如图所示，已知三棱锥SABC中，SA=SB=SC,且AC2+BC2=AB2, 由此可推出怎样的结论？解析：引S0L平面ABC （0为垂足），连结0C.SA=SB=SC, .OA=

21、OB=OC,.,.0是A ABC的外心，（结论1）XVAC2+BC2 = AB2,， ABC是直角三角形，且AB是斜边，故0是斜边AB的中点.因而SOu平面SAB （结论2），平面SABJL平面ABC （结论3）.正三棱柱ABCABG中，各棱长均为2, M为AA1中点，N为BC的 中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.41 Qi J i解析：(1)从侧面到N,如图1,沿棱柱的侧棱AAi剪开，并展开，则MN VAM + AN +(2 + 1)- - VFo从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.则 MN = ylAM2 + AN2 -2AM - ANcos20=

22、Jl2+(V3)2+2xlxV3xi =74 + 731+百 Vio.* MN mm = 44 + 百.已知二面角ABCD为150 , ABC是边长为a的等边三角形, A BCD是斜边为BC的等腰直角三角形.求两个顶点A和D间的距离.解析：.取BC的中点E,连DE和AE,利用余弦定理AD=a2195.如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.(1)求证：AD JLEC,且与二面角FADC的大小无关；(2)FC与FE所成的角为30时，求二面角FADC的余弦值.解析：正六边形ABCDEF,在折叠前有AD,EC,设AD与EC交于M, 折叠后即有AD_LME, AD_LMC.则ADJ

23、_平面EMC,无论NEMC的大小如何, 总有ADJ_EC.利用余弦定理，有cos/EMC = Z9.在直角BVC的角顶点V,作直角所在平面的斜线VA,使二面角 AVBC与二面角AVCB都等于45 ,求二面角BVAC的 度数.解析：在VA上取A作平面VCB的垂线，垂足为O,作OC VC, OBZ VB,连 A C、N B;,则NA，C O 和NA，Bz O 分别为二面角A-VCB与二面角AVBC的平面角.易证VB，0C为正 方形.设 VB =a,可求得 A B =VIa.VA =ga.过 B作 B D_LVA,连结C D.贝IJNB DC为二面角BVAC的平面角.在RtAB，VA中，可求 B，D

24、a,又 DE_LB，C，, B，E=*a,则在 RtAB，DE中可求得NB DE = 60 .二面角 BVAC 为 120 .已知直线1与平面a内交于一点O的三条直线OA、OB、OC成等角，求证角，求证：l_La解析：若1过。点，在/上任取一点P,作PH_La ,垂足H,则H即在NA0B的平分线上，又在NB0C的平分线上，.H是它们的公共点，故H 与0重合；若1不过。点，可作过0的直线1,，使1 1即可证明.空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都为1,点以在AD上移 动，点Q在CB上移动，求点P与点Q的最短距离。/口解析：。如图作辅助线，可得PQ为AD, BC的公垂线。在直角三角形BQP中

25、可求得。.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥解析：DA8C是正三角形，所以OC=AC,而AOC是直角三角形, 0C为直角边，AC为斜边，矛盾，所以正棱锥不是六棱锥。. A、B为球面上相异的两点，则通过A、B可作大圆（）A.一个 B.无穷多个 C.零个D. 一个或无穷多个 解析：D 当A, B点在球直径上，这样的大圆有无数个，当不在球直径上，与球心0三个点唯一确定一个平面。立体几何基础题题库201-250 （有详细答案）201.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的半，且AB=BC=AC=2,求球的体积。解析：过A、B

26、、C三点截面的小圆的半径就是正AABC的外接圆的半径2V3T它是R t 中60。所对的边，其斜边为J即球的半径为t ./ =空; 3381202.正四面体棱长为a,求其内切球与外接球的表面积。解析:设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为o”.，连结A3与叫并延长，必交于CD的中点E, XBE = a 9 O2E = a ,连接802,在Rt 26 8。2七中，BO2 =坐,连结4。1与8。2交于。3,由 RtA A/7/=a / J3 =/7/=b/d = a/a ,这与a与平面a相交矛盾。故b不平行a。综上所述，b与a必相交。.如图222：在长方体AC1中,D, C,图 222(1)求证

27、：BC”平行平面D, C,图 222(2)若E、F分别是DiC, BD的中点,则EF/ADD1A】解析:(1) VDiCiZ/DCz/AB.ABGD是平行四边形BCJ/AD又BCc平面ABiDi，又ADiu平面AB1D1BG平面ABD1(2)证明：连结 AF、CF、ADP；ABCD是正方形，且F是BD的中点，知A、F、C三点共线，且F是AC的中点，又E是CD】的中点/.EF/AD,又 EF(z平面 ADDA，ADu平面 ADD,，EF平面ADD】Ai216.在正方体木块ABCDAiBiGD的表面上有一动点P由顶点A出发 按下列规则向点C1移动；点P只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动；点P每

28、一变化位置，都使P点到G点的距离缩短。动点P共有 种不同的运行路线。解析：通过画图逐一计数，共得12种不同路线(从B到Ci，就有3种 不同路线)经过一条边，一条对角线的情况有6种，A - 与一 G，A f C - G , A - 0 - G经过三条边的情况有6种：A T B T Bl T Cl , AfBfC f G，A _D D、G， 4 4 -g， a -4 - Z)1 -g217.判定下列命题的真假(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的 直线，必垂直于另一个平面；(2)两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一 定分别与另一平面垂直；(3)两平面垂直，分

29、别在这两个平面内的两直线互相垂直。解析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图2 55,正方体AG中，平面ACJ_平面AD,平面ACH 平面 ADi=AD,在AD上取点A,连结ABi,则AB-AD,即过棱上一点A的直线ABi 与棱垂直，但AB】与平面ABCD不垂直，其错误的原因是ABi没有保证 在平面ADDA内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂 直，如图2 56,在正方体A3中，平面ADiL平面AC, ADv平面ADDA, ABu平面ABCD,且AB_LADi,即AB与A相互垂直，但A与平面ABCD 不垂直；(3)如

30、图2 56：正方体AG中，平面ADDAL平面ABCD, ADy平 面ADDA, ACu平面ABCD, ADi与AC所成的角为60,即A”与AC不 垂直解：由上面的分析知,命题、都是假命题。图 2解：由上面的分析知,命题、都是假命题。图 256点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：两个平面垂直；直线必须在其中一个 面内；直线必须垂直它们的交线。218.已知平面a _L平面B ,平面a 平面丫，且B G 丫 =a,求证： a_L a o解析：此题需要作出辅助线，可有多种证明方法。证法1:如图2 57：在a内取一点P,作PA_LB于A, PB丫于B, 贝lPAJLa,

31、PBa,又 PAu a , PBu a , PADPB=P, a a o证法2：如图2 58,在a上任取一点Q,作QC，（1于& C 丫 =a, .*.QG B ,又8_La , .QCuB,同理可证QCuY,，QC为B与丫的交线a, .二 a_L a o证法3：如图2 59,在a上取点R,在B内作RD垂直于a、B的交 线/于D,/.RD a ,同法在丫内，作RE垂直于a,交a与丫的交线m于E, 则RE_La,过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，RD、RE 重合，则它既包含于B,又包含于丫，a a o证法4：如图2 60,在8、丫内分别取M、N分别作a、B的交线, 和a、丫 的交线 m 的

32、垂线 c, d,则 c_J_a, d_L a , c/d, c/a, /. a_L a o点评：此题是线线，线面，面面垂直转化典型题，多解题，对沟通 知识和方法，开拓解题思路是有益的。219.下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个A.B.C.D.A.B.C.D.解析：c220.如图，将锐角A为60 ,边长为a的菱形ABCD沿BD折成60*.* a y , .*.c a ,又.c_LB,I. a B222.求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个 相交平面的交线平行。已知：如图：a/a , a/B , a Cl B =b,求证：a/b解析：本题可利用线面平行的性

33、质定理来证明线线平行。证明： 如图2-28,过a作平面丫、5 ,使得丫 G a =c, 8 n P=d,那么有/Acr |I du/7 cuaalia = a/c = elld = cH/3 = ellb| =auj 同理。4) c(Z /? I= b 同理 acj使的点评：本题证明过程，实际上就是不断交替 用线面平行的判定定理、性质定理及公理4 过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。使的.如图229：四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个 矩形，（1）求证：CD/平面 EFGH；（2）求异面直线AB、CD所成的角。打口 证明：（1） ,截面EFGH是一个矩形，图 229EF/GH,

34、又 GHu平面 BCDEF平面 BCD,而 EFu平面 ACD,面 ACDG 面 BCD = CDEF/ CD, CD平面 EFGH解：（2）则（1）知 EFCD,同理 AB/FG, 由异面直线所成角的定义知NEFG即为所求的角。.,.AB、CD所成的角为90.如图 2 31：设 a、b 是异面直线，AGa, Bb, AB1a, ABb, 过AB的中点O作平面a与a、b分别平行，M、N 仲词 b上任意 两点，MN与a交于点P,求证：P是MN的中点。-/Bn-b证明：连结AN,交平面a于点Q,连结PQ, OQi-31,? b/a , bu平面 ABN,平面 ABNCI a =OQ,.b/OQ,又

35、O为AB有中点，Q为AN的中点。Va/a , a u平面 AMN,平面 AMNGa=PQ,/.a/PQ,，P是MN的中点。225.如图232：平面EFGH分别平行于CD、AB, E、F、G、H分别 在 BD、BC、AC、AD,且 CD=a, AB=b, CD18(1)求证：EFGH是矩形被内c(2)点E在什么位置时，EFGH的面积最大囱(1)证明：:CD/平面EFGH,而平面EFGHP平面即F /.CD/EF,同理 HGCD, .0.EF/ZHG,同理 HEGF, 7C四边形EFGH为平行四边形，由CD/EF, HE/ AB,图2/. ZHEF为CD和AB所成的角XVCD1AB, .HEIEF

36、，四边形EFGH为矩形/. ZHEF为CD和AB所成的角XVCD1AB, .HEIEF，四边形EFGH为矩形(2)解：由(1)可知在ABCD中EFCD,设 DE=m, EB=n.EF BECD - DB*又CD = a, A EF = 5a, m + n由 HE/AB,HE DEAB - DB乂 AB = b,HE = 5b m + n乂 四边形EFGH为矩形WEreH=HE.EF = -b-n mn , a =z-abm + n (m + n),/ m + n 2jmn, /. (m + n)2 4mn/. mn ,4L,当且仅当m = n时取等号，(m + n) 4即E为BD的中点时，即%

37、形efghmn vab ZBCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。证明：连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。VM N、G 分别为ABC、AABD ZkBCD 的重心,则有：吧=型=四=2 MP NF GH连结 PF、FH、PH 有 MNPF,又 PFu平面 ACD, .MN平面 ACD。同理：MG平面 ACD, MGDMN=M,平面MNG 平面ACD(2)分析：因为MNG所在的平面与4ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由(1)可知独=3=2,PH BH 3.MG=-PH,又 PH=AD, .,

38、.MG=1aD 323同理：ng = 1ac, mn=1cd, 33A AMNGAACD,其相似比为1： 3, , SamNG AADC _ 1 ： 9点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几 何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点 的距离等于它到对边中点距离的2倍。.如图：在正方体ABCDEFGH中，求证：平面AFH/平面BDGo解析：易证BD/平面AHF, BG/平面AHF,，平面BDG平面AHFo图 2-26P、的中 解.如图：在正方体ABCD EFGH中，M、N、 Q、R、S 分别是 AE、EH、EF、CG、BC、CD 点，求证：平面MNP

39、/平面图 2-26P、的中 解析：先证明 SR/BD, BD/HF,HF/NP,SR/平面MNP,再证RO平面MNP,从而证明平面MNP/平面QRS230.判断题：正确的在括号内打“ J”号，不正确的打“X”号. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个 平面垂直().垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边( ).过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 ( ).如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直 线确定的平面()解析：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答 的问题。解答：1

40、.直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外 乎有两种平行，异面，因此应打X.该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系，若为平行， 则该命题应打号；若为相交，则该命题应打“X”号，正是 因为这两种可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关 系，则该命题应打“义”号.垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打.前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂 直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题 知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂 直的直线都在过点A且与直线a

41、垂直的平面内，该命题应打“.三条共点直线两两垂直，设为a, b, c且a, b, c共点于0, Vab, ale, bGc = 0,且 c 确定一平面，设为 a ,则 a_L a , 同理可知b垂直于由a, c确定的平面，c垂直于由a, b确定的平面 /.该命题应打“ J ”点评:此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵 活运用。.如图235：在空间四边形ABCD中，已知BC=AC, AD=BD,引 BECD, E为垂足，作AH_LBE于H,求证：AHJL平面BCD。解析：要证AHJ_平面BCD,只须利用直线和a平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD/ ： 中两条相交直线即可

42、。证明：取AB中点F,连结CF、DF,DVAC=BC, /.CFAB,图 235XVAD=BD, .DFAB, AB_L平面 CDF, 又 CDu 平面 CDF, A CD AB 又 CDJLBE,，CDJ_平面 ABE, CDAH又 AHLBE,，AH_L平面 BCD。点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证 线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平 面a内的任何直线，则a_L a ,反之，若a_L a ,贝！卓于平面a 内的任何直线。.如图：已知PA_LG)O所在的平面，AB是。0的直匍球C是异于A、B的。0上任意一点，过A作AE_LPC于E , 求证

43、：AE_L平面PBC。证明：.PA，平面 ABC, APAIBC,又：AB是。0的直径，.BC1AC而 PAGAC=A,，BC_L平面 PAC又,AEu平面 PAC, ABCIAE.PC_LAE 且 PCPIBC=C,，AE_L平面 PBC。233.如图：BC是RtaABC的斜边，AP_L平面ABC,连结PB、PC, 作PD_LBC于D,连结AD,则图中共有直角三角形8a与:宁c解析:RtAPAB. RtAPAC RtAABC RtAADPo可证BC，平面 APD,由 可证BC可得 RCPBD、RtAPDC RtAADB. RtAADC共8个。.如图：已知ABCD是空间四边形，AB = AD,

44、 CB=CD求证：BDACa证明：设BD的中点为K,连结AK、CK,; AB=AD, K 为 BD 中点BcAAK1BD同理 CK_LBD,且 AKGKC = K.,.BD_L 平面 AKCABD垂直于平面AKC内的所有直线.如图240： P是aABC所在平面外的一点，PAPB, PB1PC,PC1PA, PH_L平面 ABC, H 是垂足。求证：H是ABC的垂心。证明：VPA1PB, PB1PC,，PA_L平面 PBC, BCu平面 PBC.BC1PA:PH_L平面 ABC, BCu平面 ABCABCIPH，BC_L平面 PAH, AHu平面 PAH.*.AHBC,同理 BH_LAC, CH

45、1AB, 因此H是aABC的垂心。236.在正方体ABCD-ABiGDi中，P为DD1中点，0为底面ABCD中心，求证：BQ_L平面PAC。证明：如图：连结AB，CB,设AB=1.ABi = CB = AO=CO, .,.BiOlAC,连结 PB|, V OB = OB2+BB=-2apb；=pd； + bH=GOP2 = PD2 + DO2 = 一4OB； +OP2 = PB；.BQ_LPO,.BO_L平面 PACo237.正方体各个面所在的平面能将空间分成m个部分，m应等于( )A. 27 B. 21 C. 18D.9解析：A如果将正方体各个面延展，可视为将如果将正方体各个面延展，可视为将

46、空间分成三个层面，上面如图标出直角的层面，中间一层，下面一层, 而上面一个层面中，又分成九个部分，共9x3=27个部分。.三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上一 点Q到侧面PAB、侧面PBC、侧面PAC的距离依次为2, 3, 6。求：P、Q两点间的距离。C解析：如图，作QEjL面PAB,QM_L面PBC, QH_L面PAC, E、M、N 为垂足。由PA、PB、PC两两垂直，所以PC_L面 PAB, PB_L、啜& 面PAC,A6PA上面PBC,可得三个侧面两两垂直。设平面QEM与PB交于F,平面QEH与PA交于G,平面MQH与PC交于N, 连接 EF、MF、GH、GQ

47、、NH、NM,可证明 QMNH-EFPG 是长方体。:.pq=/ie,*qm1*qK,=7。.已知：如图，ABCD是边长为2的正方形，PC_L面ABCD, PC=2, E、F 是 AB、AD 中点。求：点B到平面PEF的距离。解析：由BDEF可证DB平面PEF,则点B到平面PEF的距离转化为 直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平面PEF,故DB与AC的交 点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。方法一：连接DB, AC交于。点，设AC交EF于G,连PG,作OHJLPG, H为垂足。VE F 是 AB、AD 中点,，EFDB,，DB面 PEF,TABCD 是正方形，.ACBD, .EFAC

48、,.PC_L面ABCD, .EFPC, .EF_L面PCG,EFu 面 PEF,：.面 PEF _L 面 PCG,VOHPG, OH_L面PEF,即OH为所求点B到平面PEF的距离。由 ABCD 边长为 2, .-.AC=2JS, GO=，GC二丁，VPClffiABCD, A PCAC,OH OG .,.OHGAPCG, ：.kk,由PC=2, PG/“醇喟李.0H= T =iF即点B到平面PEF的距离为岑o方法二：如图，连接BF、PB,设点B到平面PEF的距离为d,1由 Vp-BEF SabEF * PC1 1X 2 XBEXAFXPC iiX 1 X 1 X 2=3连AC交EF于G,连P

49、G,由方法一知mi 5旧PG=T,EF=A,Spef= 2 X 赤父 2 - 21Vb-PEF= , SapeH , d 二Vp-BEF=J,.Td=l d=TT2jf7即点B到平面PEF的距离为F-。.如图，在正方体 ABCD-AiBiGDi 中，E、F、G、H、L、M、N 分 别是 ADi、A|B|、BC、CD、DA、DE、CL 的中点，(1)求证：EF1GF； (2)求证：MN平面EFGH； (3)若AB=2,求MN到平面EFGH的 距离。解：(1)证：取BQ中点Q,则GQ_1面AiBQDi，且EFj_FQ,由三 垂线定理得EFGF；(2)在三角形DEG中，MN/EG,由此可证MN/平面

50、EFGH；(3)设所求距图为 h,由 Ve-ngh=Vn-heg，得;, 又SaAWG = SSEHG = EL=2，故=-O 46.已知点P是正方形ABCD所在的平面外一点，PD，面AC,PD=AD=/,设点C到面PAB的距离为d”点B到平面PAC的距离为d2,则()(A) l d, d2 (B) d, d2/ (C) d,/d2 (D) d2di/解析：4=4-/, d2 = -l,故 d2di/,选 D。242.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是 1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M 在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0aV2). (1)求 MN 的长;（2

51、）当“为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA 与面MNB所成的二面角a的大小。解析：（1）作MP/7AB交BC于点P, NQ AB交BE于点Q,连接PQ, 依题意可得MPNQ,且MP=NQ,即MNQP是平行四边形。，MN=PQ, 由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=l,=后，里=,也=，即 =后，里=,也=，即 CP = BQ = 隼,1 a/2 1 -v 2J2MN的长最小，最小值为经 2取 MN 的中点 G,连接 AG、BG, ：AM=AN,BM=BN,，AG_LMN,BG MN,NAGB即为二面角。的平面角。又 w邛，所以由余弦定理有哈+(沙-lo故所求二面角CO

52、S a = L L =6 V6 32 44243.如图，边长均为a的正方形ABCD、243.如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为6(0。点M在AC上，点N在BF 上，若 AM=FN ,(1)求证:MN/面 BCE ; (2)求证:MN_l AB;(3)求MN的最小值.解析：(1)如图，作 MG/AB 交 BC 于 G, NH/AB 交 BE 于 H, MP/BC 交 AB于P,连PN,GH,易证MG/NH,且MG=NH,故MGNH为平行四边 形，所以 MN/GH,故 MN/面 BCE;易证AB上面MNP,故MN_lAB;(3) NMPN即为面ABCD与ABEF所成二面

53、角的平面角，即NMPN = 6,设AP=X ,则 BP=a X, NP=a X , 所以：MN = yjx2 +(a-x)2 - 2x(a - x) cos 0=2(1 + cos0)(x - -|)2 + - (1 - cos6)a2 ,故当.区时，MN有最小值口(l-cos。)*7*2V 2/244.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF 上移动，若 CM=x ,BN=y, (0 x,yV2). (1)求 MN 的长(用 x,y 表示)；(2)求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC, BF之间的距离O解析：在面AB

54、CD中作MP_lAB于P,连PN,贝ijMPl面ABEF,所以MP1PN, PB=l-AP=x在aPBN中，由余弦定理得：2PN2=(x)2 + ,2 +-V2xycos45= -x2 +y2-xy ,在 RMMN 中,MN=yjMP2 + PN2 =yx2 + y2 - xy - y2x+ 1 (0 x, y PC2=(i)2+l2= ,在 APCN 中 cosNPNC =1624416PNCM-PC?,所以 cosNPNC=2,因此应选 D.2PNCN5.已知异面直线a与b所成的角为50 , P为空间一定点，则过点 P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有（）A. 1条 B. 2条 C.

55、 3条 D. 4条解析：过P点分别作直线a a,b b，则a与b的夹角为50 , 由异面直线所成的角的定义可知，过P点与a ,b成30角的条数， 就是所求的条数.画图可知，过P点与、bz成30角的直线只有两条./.应选B.260.若a、b为异面直线，P为空间一点，过P且与a、b所成角均为。 的直线有()A.二条B.二条或三条C.二条或四条D.二条、三条或四条解析：D.已知空间四边形ABCD, E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是 边BC、DC的三等分点.求证：对角线AC、BD是异面直线，EF和HG必交于一点，且交点在AC上.解析：提示：用反证法，或者用判定定理.提示：先证 EHFG, E

56、H d共面若有三线共点，不妨设b、c、d相交于A,a Cl b B, a C c=C, a G d = D.a与A可确定平面a .*.* BGa.B a ,于是 bu a .同理，cu a , du a .从而a、b、c、d共面.266.正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为 o衿解析：易知A2/8C,故4。与叫两条体对角线相交,设交点为0（如图）, 则N8OC或NA08即为所成的角o设正方体棱长为1,则A,C = V3,BC=1,所以火/540 BC=1,所以火/540 =事，2x也tgZBOC = 272 ，艮|,8sin2 NBOC = -；. sin Z.BOC =9AG二AB267.长

57、方体 ABC。-A|BC2 中，所成角的大小为而 40C = 2NgC,故J cos2 NB0C = + tg2ZBOCZe 3V2V14BC = , CD = -, DD. 22o6060解析：如图所示，将3a平移到4尸,则在AA/C中A/ = 2； &C = 3； CF =近,故cos ZFAtcos ZFAtC =22 +32 -（77）22x2x3：.NgC = 60268.根据叙述作图，指出二面角a 4夕的平面角，并证明.(1)已知anp=/, A/(图9-39).在a内作B4JU于A,在，内 作QAJJ于A.图 9-39(2)已知二门夕=/, Aa, an (图9-40).作于尸，在a内作人。_1/于。，连结PQ.图 9-40(3)已知 an/?=/, Awa, A” (图 9-41).作 4。_1_a于。，AQ ，夕于Q, /A平面B4Q=，连结PH、QH.解析：(1) PAa, QA0B，PAll, QALl, ：. /以。为二面角的平 面角.APP，：. P。为AQ在平面力内的射影，：AQ