同济课件截面几何特性

1、 -1截面的静矩和形心位置y设任意形状截面如图d A静1矩.静矩静（或矩或一一次次矩矩）矩Cycyyd AxdSx ASOxxycAm3A。可值为：正可为正负可、或为负正或。负0）或。）。x ）常(常用：或位mm32.形心坐标公式（=均质等厚薄板质的心质坐心标质坐心标坐）标xx(t dA)dASyxAA Ac tAAy y(dtA)dASyAA Ax tcAA3.静矩与形心坐标的关系 A xc A ycS yS x结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。组合截面的静矩由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应4.等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:nn Ai AixciyciS yS x

2、i1i1( Ai 和xc i , yc i分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）例 I-1试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。yC面积形心Oxb易求 b( y) b (h y)h所以对x轴的静矩为解：取平行于x轴的狭长条，bh因此 d A (h y) d y2h b (h y) y d y bhAy d A Sxh60hyd ybh2或：S x 6( bh h )23b ( y )h3bh25.常用图形的面积和形心n=1,2,3用于分布力的等效力计算，以及以后内力图面积、图乘法计算。 I-2极惯性矩 惯性矩 惯性积设任意形状截面ydA极惯1性.极矩惯性或矩截（面二惯或次性截极矩

3、面或二矩截次面极矩）次极矩2d AI pA惯性2.惯矩性矩（性或矩截面二轴次轴矩矩）矩2x2 d Ayd AI yI xmm4)x 2AAOxx22y由于所以所以所I以2 d A x2 )d AI2(yIpxyAAyy惯性3积.惯性积惯性积 xydAI xyA在惯4性.半4.径4惯.性半径惯性半径I yAI xAiiyxmm）y截面对于对包称含轴对在称内轴的对在称内轴的一对正交轴的惯性积为0。dA内的Oxx例I-2试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。y解：则取平行于x轴的狭长条，dA=b dyh2A2d A d y by2yI xh2xC同理b(a)hd yyhb3I

4、 y 12bh312y若截面是高度为h的平行四边形（图b），则其对形心轴x 的惯性矩同样为xCb(b)h3I bhx12例 I-4试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的惯性矩。y取平行于z轴的狭长条解：易求 b( y) b (h y)h(h y) d ybh因此 d A 所以对z轴的惯性矩为：Ozbbhh d A (h y22y) yd yI zA0hyd ybh312b ( y )-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式yc任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：yxxc dAycxcCx xby yaCCyxObay2 d A yAca2 d

5、A AI x 2d A 2a2yycd Aad AcAAA 2a A y a 2 A I x I xccyca 2 Aycxc dAx同理，有：ycxCc I y I y b A2c Ixy Ix y abAccyxOb（平行移轴公式）aI I a2 Axxc2.组合截面的惯性矩和惯性积组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积），等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：nI I i xyxyi1nI I i yyi1nI I i xxi1例I-5 求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。（1）求形心坐标解：yb( y) 2y2dR2b(y)yd Ayb(y)d y2SxxCA0c

6、ycd2 y2 R2 y2 d y d3x120dd 3S122dyc x Ad 283y（2）求对形心轴xc的惯性矩b(y)xcCycd 4 64d 4I x128x2d由平行移轴公式得：d 2d 4d 4I x I x ( yc )c2812818例I-7 试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。y解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。（1）矩形对x的惯性矩：d 2a380 2003I x11212x 5333 104 mm4（2）一个半圆对其自身形心轴xc的惯性矩（见上例）Cd 2d 4d 4 I x ( yc )2I x812818d =80c(a)40100a =100402da +

7、3 （3）一个半圆惯对性x的矩惯性矩惯：性矩由平行移轴公式得：2d22dx2 a IIx3 8c2d 4401mm23423（4）整个截面对于对称惯轴性x的矩惯性矩惯：性矩I53331227010 2434647mm410 410 Ac2 1600104 8000802 6.72 107 mm4I 上上Z1IZ 1.344108 mm4I 总上Z12IZ-4惯性矩（积）转轴公式 截面的主惯性轴惯性1矩.惯性矩惯（性积矩）的转轴公式任意面元任意面元任dA意在面旧元坐标系oxy新系和坐新标系坐o关x标1系y1系的为关系为关：系为y nisnissoxcxyyx11 soyc 入惯代性入矩的代惯定入

8、性义矩式惯的性定矩义式的：定义式Ay2 d AIx11xy和新坐和标代OxI x cos y d A sin x d A22221AA2 sin cos A xy d A I x cos I y sin 2Ixy sin cos22利用二倍角函数代入上式，得转轴公式 ： I x I yI yI xcos 2 Isin 2Ix1xy22I y I x I yI xcos 2 Isin 2Iy1xy22 I x I ysin 2 Icos 2Ix1 y1xy2将前两式相加得Iy（截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩）xI y I xI

9、112.主惯性轴和主惯性矩由转轴公式可知，当坐标轴旋转时，必存在一特定的角度0，使截面关于新坐标轴x0、 y0的惯性积等于零。yxyOx2.截面的主惯性轴和主惯性矩主惯性轴定义:截面对其惯性积等于零的一对坐标轴。主惯性矩定义:截面对于主惯性轴的惯性矩。形心主惯性轴定义：坐标原点为形心的主惯性轴。形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。主惯性3、轴主惯性轴主位惯置性的轴确定*根据主惯性轴的定义:IIy0cos0 x sniI xy 2I20 xy211y即:2Ixy2tan0IIxyxyOx4、 形心主惯性轴 的特性：若截面有一根（或两根）对称轴，则此轴即为形心主惯性轴，并且过形心并与对称轴垂直的坐标轴也为形心主惯性轴。若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。例如：正n边形n=3,4,5-5截面弯曲中心（又称：扭心）截面弯曲中心的定义弯曲中心是梁截面这样一个点，当横向力作用线通过